Application : ( énoncé identique à l’exo 4 ) Déterminez la forme de la courbe de la fonction définie sur R par f(x) = - 5x² + 20x - 15, et déduisez-en le nombre de points d’intersection avec l’axe des abscisses, et le signe de leurs abscisses.

- 5x² + 20x - 15 f(x) = ax² + bx + c donc la fonction est une fonction polynôme de degré 2, donc la courbe est une parabole.

- 5x² + 20x - 15 f(x) = ax² + bx + c donc la fonction est une fonction polynôme de degré 2, donc la courbe est une parabole.

- 5x² + 20x - 15 f(x) = ax² + bx + c donc la fonction est une fonction polynôme de degré 2, donc la courbe est une parabole. a = - 5 < 0 donc la parabole est orientée vers le bas.

- 5x² + 20x - 15 f(x) = ax² + bx + c donc la fonction est une fonction polynôme de degré 2, donc la courbe est une parabole. a = - 5 < 0 donc la parabole est orientée vers le bas. Elle admet un axe de symétrie d’équation x = - b/(2a) = - 20 / (2(-5)) = 2

- 5x² + 20x - 15 f(x) = ax² + bx + c donc la fonction est une fonction polynôme de degré 2, donc la courbe est une parabole. a = - 5 < 0 donc la parabole est orientée vers le bas. Elle admet un axe de symétrie d’équation x = - b/(2a) = - 20 / (2(-5)) = 2 et un sommet de coordonnées ( 2 ; f(2) ) = ( 2 ; 5 ) car f(2) = - 5(2²) + 20(2) – 15 = - 20 + 40 – 15 = 5

- 5x² + 20x - 15 f(x) = ax² + bx + c donc la fonction est une fonction polynôme de degré 2, donc la courbe est une parabole. a = - 5 < 0 donc la parabole est orientée vers le bas. Elle admet un axe de symétrie d’équation x = - b/(2a) = - 20 / (2(-5)) = 2 et un sommet de coordonnées ( 2 ; f(2) ) = ( 2 ; 5 )

- 5x² + 20x - 15 f(x) = ax² + bx + c donc la fonction est une fonction polynôme de degré 2, donc la courbe est une parabole. a = - 5 < 0 donc la parabole est orientée vers le bas. Elle admet un axe de symétrie d’équation x = - b/(2a) = - 20 / (2(-5)) = 2 et un sommet de coordonnées ( 2 ; f(2) ) = ( 2 ; 5 ) yS > 0 et a < 0 donc elle croise l’axe des x en deux points.

- 5x² + 20x - 15 f(x) = ax² + bx + c donc la fonction est une fonction polynôme de degré 2, donc la courbe est une parabole. a = - 5 < 0 donc la parabole est orientée vers le bas. Elle admet un axe de symétrie d’équation x = - b/(2a) = - 20 / (2(-5)) = 2 et un sommet de coordonnées ( 2 ; f(2) ) = ( 2 ; 5 ) yS > 0 et a < 0 donc elle croise l’axe des x en deux points.

- 5x² + 20x - 15 f(x) = ax² + bx + c donc la fonction est une fonction polynôme de degré 2, donc la courbe est une parabole. a = - 5 < 0 donc la parabole est orientée vers le bas. Elle admet un axe de symétrie d’équation x = - b/(2a) = - 20 / (2(-5)) = 2 et un sommet de coordonnées ( 2 ; f(2) ) = ( 2 ; 5 ) yS > 0 et a < 0 donc elle croise l’axe des x en deux points.

- 5x² + 20x - 15 f(x) = ax² + bx + c donc la fonction est une fonction polynôme de degré 2, donc la courbe est une parabole. a = - 5 < 0 donc la parabole est orientée vers le bas. Elle admet un axe de symétrie d’équation x = - b/(2a) = - 20 / (2(-5)) = 2 et un sommet de coordonnées ( 2 ; f(2) ) = ( 2 ; 5 ) yS > 0 et a < 0 donc elle croise l’axe des x en deux points.

- 5x² + 20x - 15 f(x) = ax² + bx + c donc la fonction est une fonction polynôme de degré 2, donc la courbe est une parabole. a = - 5 < 0 donc la parabole est orientée vers le bas. Elle admet un axe de symétrie d’équation x = - b/(2a) = - 20 / (2(-5)) = 2 et un sommet de coordonnées ( 2 ; f(2) ) = ( 2 ; 5 ) yS > 0 et a < 0 donc elle croise l’axe des x en deux points.

- 5x² + 20x - 15 f(x) = ax² + bx + c donc la fonction est une fonction polynôme de degré 2, donc la courbe est une parabole. a = - 5 < 0 donc la parabole est orientée vers le bas. Elle admet un axe de symétrie d’équation x = - b/(2a) = - 20 / (2(-5)) = 2 et un sommet de coordonnées ( 2 ; f(2) ) = ( 2 ; 5 ) yS > 0 et a < 0 donc elle croise l’axe des x en deux points.

- 5x² + 20x - 15 f(x) = ax² + bx + c donc la fonction est une fonction polynôme de degré 2, donc la courbe est une parabole. a = - 5 < 0 donc la parabole est orientée vers le bas. Elle admet un axe de symétrie d’équation x = - b/(2a) = - 20 / (2(-5)) = 2 f(2) = - 5(2²) + 20(2) – 15 = - 20 + 40 – 15 = 5 Donc la parabole a un sommet S de coordonnées ( 2 ; f(2) ) = ( 2 ; 5 ) yS > 0 et a < 0 donc elle croise l’axe des x en deux points. f(0) = - 15 donc elle croise l’axe des x en deux points d’abscisses positives.

Exercice 4 : Déterminez et tracez sur 6 repères différents la forme des courbes des fonctions suivantes définies sur R par f(x), et déduisez-en le nombre de points d’intersection avec l’axe des abscisses, et le signe de leurs abscisses : 1°) 9x² - 6x + 1 2°) 2x² + x – 1 3°) - 3x² + 12x – 13 4°) - 16x² + 8x – 1 5°) 3x² + 6x + 14 6°) - 5x² + 20x + 7

1°) 9x² - 6x + 1 f(x) = ax² + bx + c donc la fonction est une fonction polynôme de degré 2, donc la courbe est une parabole. a = 9 > 0 donc la parabole est orientée vers le haut. Elle admet un axe de symétrie d’équation x = - b/(2a) = - (-6) / (2(9)) = ⅓ et un sommet de coordonnées (⅓ ; f(⅓ ) ) = (⅓ ; 0 ) yS = 0 donc elle croise l’axe des x en un unique point d’abscisse ½ positive. f(0) = 1

2°) 2x² + x – 1 f(x) = ax² + bx + c donc la fonction est une fonction polynôme de degré 2, donc la courbe est une parabole. a = 2 > 0 donc la parabole est orientée vers le haut. Elle admet un axe de symétrie d’équation x = - b/(2a) = - 1 / (2(2)) = - ¼ et un sommet S de coordonnées ( - ¼ ; f(- ¼) ) = ( - ¼ ; - 1,125 ) yS < 0 et a > 0 donc elle croise l’axe des x en deux points f(0) = - 1 donc elle croise l’axe des x en deux points d’abscisses l’une positive l’autre négative.

3°) - 3x² + 12x – 13 f(x) = ax² + bx + c donc la fonction est une fonction polynôme de degré 2, donc la courbe est une parabole. a = - 3 < 0 donc la parabole est orientée vers le bas. Elle admet un axe de symétrie d’équation x = - b/(2a) = - 12 / (2(-3)) = 2 et un sommet de coordonnées ( 2 ; f(2) ) = ( 2 ; - 1 ) yS < 0 et a < 0 donc elle croise l’axe des x en aucun point. f(0) = - 13

4°) - 16x² + 8x – 1 f(x) = ax² + bx + c donc la fonction est une fonction polynôme de degré 2, donc la courbe est une parabole. a = - 16 < 0 donc la parabole est orientée vers le bas. Elle admet un axe de symétrie d’équation x = - b/(2a) = - (2) / (2(-4)) = ¼ et un sommet de coordonnées ( ¼ ; f(¼) ) = ( ¼ ; 0 ) yS = 0 donc elle croise l’axe des x en un unique point d’abscisse ¼ positive. f(0) = - 1

5°) 3x² + 6x + 14 f(x) = ax² + bx + c donc la fonction est une fonction polynôme de degré 2, donc la courbe est une parabole. a = 3 > 0 donc la parabole est orientée vers le haut. Elle admet un axe de symétrie d’équation x = - b/(2a) = - 6 / (2(3)) = - 1 et un sommet de coordonnées ( - 1 ; f(-1) ) = ( - 1 ; 11 ) yS > 0 et a > 0 donc elle croise l’axe des x en aucun point. f(0) = 14

6°) - 5x² + 20x + 7 f(x) = ax² + bx + c donc la fonction est une fonction polynôme de degré 2, donc la courbe est une parabole. a = - 5 < 0 donc la parabole est orientée vers le bas. Elle admet un axe de symétrie d’équation x = - b/(2a) = - 20 / (2(-5)) = 2 et un sommet de coordonnées ( 2 ; f(2) ) = ( 2 ; 27 ) yS > 0 et a < 0 donc elle croise l’axe des x en deux points. f(0) = 7 donc elle croise l’axe des x en deux points d’abscisses l’une positive, l’autre négative.

Exercice 5 : Soient les courbes des fonctions définies sur R par f(x) = - 5x² - 7x + 10 et g(x) = - 2x² - 7x – 17 1°) Déterminez les points d’intersections des deux courbes. Pour quels x la courbe de f est au-dessus de celle de g ? 2°) Déterminez leurs formes. 3°) Tracez leurs formes sur le même graphe.

f(x) = - 5x² - 7x + 10 et g(x) = - 2x² - 7x – 17 1°) Déterminez les points d’intersections des deux courbes. f g

f(x) = - 5x² - 7x + 10 et g(x) = - 2x² - 7x – 17 1°) Déterminez les points d’intersections des deux courbes. f f(x) = g(x) g

f(x) = - 5x² - 7x + 10 et g(x) = - 2x² - 7x – 17 1°) Déterminez les points d’intersections des deux courbes. f f(x) = g(x) g - 5x² - 7x + 10 = - 2x² - 7x – 17

f(x) = - 5x² - 7x + 10 et g(x) = - 2x² - 7x – 17 1°) Déterminez les points d’intersections des deux courbes. f f(x) = g(x) g - 5x² - 7x + 10 = - 2x² - 7x – 17 - 5x² + 2x² - 7x + 7x = - 17 - 10

f(x) = - 5x² - 7x + 10 et g(x) = - 2x² - 7x – 17 1°) Déterminez les points d’intersections des deux courbes. f f(x) = g(x) g - 5x² - 7x + 10 = - 2x² - 7x – 17 - 5x² + 2x² - 7x + 7x = - 17 - 10 - 3x² = - 27 x² = 9

f(x) = - 5x² - 7x + 10 et g(x) = - 2x² - 7x – 17 1°) Déterminez les points d’intersections des deux courbes. f f(x) = g(x) g - 5x² - 7x + 10 = - 2x² - 7x – 17 - 5x² + 2x² - 7x + 7x = - 17 - 10 - 3x² = - 27 x² = 9 x = 3 ou x = - 3

f(x) = - 5x² - 7x + 10 et g(x) = - 2x² - 7x – 17 1°) Déterminez les points d’intersections des deux courbes. f f(x) = g(x) g - 5x² - 7x + 10 = - 2x² - 7x – 17 - 5x² + 2x² - 7x + 7x = - 17 - 10 - 3x² = - 27 x² = 9 x = 3 ou x = - 3 f(3) = g(3) = - 56 et f(- 3) = g(- 3) = - 14

f(x) = - 5x² - 7x + 10 et g(x) = - 2x² - 7x – 17 1°) Déterminez les points d’intersections des deux courbes. f f(x) = g(x) g - 5x² - 7x + 10 = - 2x² - 7x – 17 - 5x² + 2x² - 7x + 7x = - 17 - 10 - 3x² = - 27 x² = 9 x = 3 ou x = - 3 f(3) = g(3) = - 56 et f(- 3) = g(- 3) = - 14 Réponses : les 2 courbes se croisent aux points ( 3 ; - 56 ) et ( - 3 ; - 14 ).

f(x) = - 5x² - 7x + 10 et g(x) = - 2x² - 7x – 17 Pour quels x la courbe de f est au-dessus de celle de g ? f f(x) > g(x) g - 5x² - 7x + 10 > - 2x² - 7x – 17 - 5x² + 2x² - 7x + 7x > - 17 - 10 - 3x² > - 27 x² < 9 - 3 < x < 3 f(3) = g(3) = - 56 et f(- 3) = g(- 3) = - 14 Réponses : La courbe de f est au-dessus de celle de g pour les x dans ] - 3 ; 3 [.

2°) f(x) = - 5x² - 7x + 10 f(x) = ax² + bx + c donc la fonction est une fonction polynôme de degré 2, donc la courbe est une parabole. a = - 5 < 0 donc la parabole est orientée vers le bas. Elle admet un axe de symétrie d’équation x = - b/(2a) = - (- 7) / (2(- 5)) = - 0,7 et un sommet de coordonnées ( - 0,7 ; f(- 0,7) ) = ( - 0,7 ; 12,45 ) yS > 0 et a < 0 donc elle croise l’axe des x en deux points. f(0) = 10 donc elle croise l’axe des x en deux points d’abscisses l’une positive l’autre négative.

g(x) = - 2x² - 7x – 17 f(x) = ax² + bx + c donc la fonction est une fonction polynôme de degré 2, donc la courbe est une parabole. a = - 2 < 0 donc la parabole est orientée vers le bas. Elle admet un axe de symétrie d’équation x = - b/(2a) = - (- 7) / (2(- 2)) = - 1,75 et un sommet de coordonnées ( - 1,75 ; f(- 1,75) ) = ( - 1,75 ; - 10,875 ) yS < 0 et a < 0 donc elle croise l’axe des x en aucun point. f(0) = - 17

3°) f(x) = - 5x² - 7x + 10 et g(x) = - 2x² - 7x – 17 Je place les points d’intersections 12,45 -3 3 -14 -56

3°) f(x) = - 5x² - 7x + 10 et g(x) = - 2x² - 7x – 17 Je place l’axe de symétrie et le sommet de la 1ère courbe 12,45 -3 3 -14 -56

3°) f(x) = - 5x² - 7x + 10 et g(x) = - 2x² - 7x – 17 Je trace cette courbe 12,45 -3 3 -14 -56

3°) f(x) = - 5x² - 7x + 10 et g(x) = - 2x² - 7x – 17 Je place l’axe de symétrie et le sommet de la 2ème courbe 12,45 -3 3 -14 -56

3°) f(x) = - 5x² - 7x + 10 et g(x) = - 2x² - 7x – 17 Je trace cette courbe 12,45 -3 3 -14 -56