ei2i4 – HF Licence EEA Filtrage Analogique T.Ditchi

I. Introduction

I. Introduction Filtrage analogique élimination d'une partie du spectre d'un signal - Radiocommunication : sélection du canal - élimination d'un bruit - sélection de fréquence à la sortie d'un circuit non linéaire ( mélangeur, oscillateur…) - analyse spectrale - …. Filtrage numérique même application que le filtrage analogique + transformation de signaux - apparition d'échos - modification d'une voix - …. 3

I. Introduction les filtres passifs fréquences HF (qq 10 MHz  1GHz) ou µOnde (1GHz  100GHz) car inductances… les filtres actifs (à Amplificateurs Opérationnels) fréquences BF ( 0 à qq MHz ) car gain AOP… les filtres à résonateurs à quartz ( piézo-électrique) ( 100MHz ) - cavité métallique ou diélectrique ( 1GHz  100GHz ) les filtres à ondes de surface qq 100 MHz 4

les filtres passifs en µOnde I. Introduction les filtres passifs en µOnde Optimisation de la puissance disponible composants non dispersifs : C, L,… Technologie hybride Technologie Intégrée (MMIC) Technologie Lignes 5

I. Introduction 6 filtres à onde de surface filtres à cavité filtres à quartz filtres passifs à lignes et hybride les filtres actifs AOP les filtres passifs à composants MMIC 1kHz 10kHz 100kHz 1MHz 10MHz 100MHz 1GHz 10GHz 100GHz 6

II. Les systèmes linéaires

II. Les systèmes linéaires Signal : Toute grandeur physique Température = fonction ( lieu) Tension = fonction ( temps ) Signaux : continus (physique) ou discontinus (approximation de certains cas physiques) transitoires commence à un instant (t=0) se termine au bout d'un temps fini ou périodiques 10

II. Les systèmes linéaires Exemples de signaux Signal sinusoidal Signaux transitoires ou impulsionnels Portes Impulsion triangulaire Echelon de Heavyside Impulsion exponentielle Impulsion de Dirac Signaux périodiques discontinus peignes créneau 1/T T 2/T T 11

II. Les systèmes linéaires On remarque que : Définition de l'Impulsion de Dirac : d(t) d(t) : Impulsion de largeur nulle mais de surface unité : … t t t t t Exemple avec l’impulsion triangulaire 12

x II. Les systèmes linéaires Quelques propriétés de l'Impulsion de Dirac : d(t) t t0 t e(t) e(t0) d(t-t0) x t t t 13

II. Les systèmes linéaires e1(t) s1(t) e2(t) s2 (t) linéaires : a e1(t) + b e2(t) a s1(t) + b s2(t) Invariant dans le temps : e (t-t) s (t-t) (e retardé de t) (s retardé de t) Système Linéaire Indépendant du temps S.L.I 14

II. Les systèmes linéaires e(t) ~e(t) t signal e(t) et signal approché ~e(t) : Impulsion carrée amplitude 1/T T donc Produit de convolution 15

II. Les systèmes linéaires d(t) h(t) réponse impulsionnelle S.L.I t d(t-t') h(t-t') S.L.I t t' e(t) t S.L.I s(t) S.L.I t 16

II. Les systèmes linéaires h(t) réponse impulsionnelle d(t) e(t) 17

18

19

20

III. Les systèmes linéaires Par Transformée de Laplace et de Fourier

III.1 Les systèmes linéaires Par Transformée de Laplace 22

III.1 Les systèmes linéaires par Transformée de Laplace Transformée de Laplace unilatérale (signaux causaux) T.L s(t) T.L-1 S(p) s(t<0)= 0 23

III.1 Les systèmes linéaires par Transformée de Laplace 24

III.1 Les systèmes linéaires par Transformée de Laplace e(t) s(t) Système Dans le cas d’un système du 2nd degré Par Transformée de Laplace 25

III.1 Les systèmes linéaires par Transformée de Laplace Si système au repos avant la première exitation s(0+)=s(0-)= e(0+)=e(0-) C'est-à-dire noté Fonction de Transfert (opérationnelle) 26

III.1 Les systèmes linéaires par Transformée de Laplace plus généralement Fonction de Transfert (opérationnelle) Remarque : le dénominateur est l'équation caractéristique vue au chapitre II e(t) Système T.L Donc la fonction de Transfert est la Transformée de Laplace de la réponse impulsionnelle 27

III.1 Les systèmes linéaires par Transformée de Laplace e(t) s(t) Calculons la fonction de transfert de ce système Domaine temporel Domaine de Laplace T.L d'où c.a.d 28

III.1 Les systèmes linéaires par Transformée de Laplace e(t) s(t) Calculons la réponse impulsionnelle h(t) de ce système Domaine temporel Domaine de Laplace T.L or c.a.d T.L-1 29

III.2 Les systèmes linéaires Par Transformée de Fourier 30

Transformée de Fourier Etudions maintenant la réponse des systèmes à un signal d'entrée périodique Transformée de Fourier 31

III.2 Transformée de Fourier signaux périodiques (T0 = 1/f0) Série de Fourier où w0 = 2 p /T0 où par exemple : créneau de périodeT0 T0 2T0 t 32

III.2 Transformée de Fourier Série de Fourier d'un créneau de période T0 T0 2T0 t t 33

III.2 Transformée de Fourier signaux périodiques (période finie) Signaux non périodiques (période infinie) Série de Fourier Transformée de Fourier 34

III.2 Transformée de Fourier T0 2T0 par exemple : créneau de périodeT0 t s(t) f f0 3f0 5f0 |S(f)| T.F par exemple : porte de largeur T t s(t) f |S(f)|=T sinc(p f t) T.F 35

III.2 Transformée de Fourier s(t-t0) 36

III.2 Transformée de Fourier Système e(t) s(t) Par Transformée de Fourier : Réponse fréquentielle Obtenue en remplaçant p par jw dans la fct de transfert opérationnelle 37

III.2 Transformée de Fourier Réponse fréquentielle e(t) Système T.F Donc la réponse fréquentielle est la Transformée de Fourier de la réponse impulsionnelle 38

III.2 Transformée de Fourier e(t) s(t) Calculons la réponse fréquentielle de ce système Domaine temporel Domaine de Fourier T.F d'où c.a.d 39

III.2 Transformée de Fourier Prenons une entrée sinusoïdale : T.F La réponse à cette entrée vaut : or et donc 40

III.2 Transformée de Fourier T.F-1 donc Le gain G(w0) du système e0/s0 à w0 = | H(w0) | Le déphasage j(w0) de s(t) par rapport à e(t) à w0 = argument( H(w0) ) Diagramme de Bode = représentation de | H(w0) | et de j(w0) 41

43

44

III.3 Diagramme de Bode

III.3 Diagramme de Bode 46 On a montré que : Système Le gain Cad Le déphasage de s(t) par rapport à e(t) = j(w0) =argument( H(w0) ) Diagramme de Bode = représentation de log10| H(w) | et de j(w) 46

III.3 Diagramme de Bode Exemple : soit un filtre du 1er ordre et 47

III.3 Diagramme de Bode 48 Comportement asymptotique comportement du système à certaines fréquences caractéristiques par ex qd w0 ou qd w∞ Quand w0 Droite horizontale 0 dB 48

III.3 Diagramme de Bode 49 Comportement asymptotique Quand w∞ quand w 10 w alors -20 log(w)  -20 log(10w)=-20log(w)-20 Droite de pente -20 dB/décade d’ordonnée à l’origine 49

III.3 Diagramme de Bode 50 Comportement asymptotique Droite horizontale 0dB Droite de pente -20 dB/decade d’ordonnée à l’origine 1E4 1E3 1E5 -20 -15 -10 -5 -25 freq, Hz dB(out) 50

III.3 Diagramme de Bode 51 Comportement asymptotique Les asymptotes se croisent quand cad quand w=1/t et G(w=1/t )= -3dB 1E4 1E3 1E5 -20 -15 -10 -5 -25 freq, Hz dB(out) -3dB 51

III.3 Diagramme de Bode 52 -45° pour w=1/t phase(out), deg freq, Hz -80 -60 -40 -20 -100 freq, Hz phase(out), deg -45° pour w=1/t 52

IV. Les systèmes du 1er et du 2nd ordre Seuls les systèmes du 2eme ordres sont traités très rapidement dans cette présentation. (Voir polycopié de cours)

IV. Les systèmes du 1er et 2ème ordre Gain en fonction de la fréquence normalisée pour plusieurs coefficients d’amortissement z z=0.1 z=6 z=0.3 z=0. 707 54

IV. Les systèmes du 1er et 2ème ordre Phase en fonction de la fréquence normalisée pour plusieurs coefficients d’amortissement z z=6 z=0. 707 z=0.3 z=0.1 55

IV. Les systèmes du 1er et 2ème ordre Réponse indicielle pour plusieurs coefficients d’amortissement z z=0. 1 z=0.3 z=0.707 z=1 z=3 56

V. Gabarits – Normalisation – Transposition Quasiment non traité dans cette présentation. (voir polycopié de cours)

V. Gabarits – normalisation - transposition Filtre Passe Bas parfait … est il possible ? |H(w)| G wp w 58

V. Gabarits – normalisation - transposition Filtre Passe Bas parfait … est il possible ? | H(f) | 1 fréquences 59

V. Gabarits – normalisation - transposition Filtre Passe Bas parfait … est il possible ? -500 -400 -300 -200 -100 100 200 300 400 500 0.2 0.4 0.6 0.8 1 | H(f) | -500 -400 -300 -200 -100 100 200 300 400 500 -0.02 -0.01 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 h(t) temps Non causal !!! TF-1 fréquences -500 -400 -300 -200 -100 100 200 300 400 500 -60 -50 -40 -30 -20 -10 10 Arg(H(f)) 60

V. Gabarits – normalisation - transposition 1 fa/fp=1/k Passe Bas wn Gmin Gmax w wp wa 61

G V. Gabarits – normalisation - transposition 1 Passe Haut wn w wa wp fa/fp=1/k 1 wn Gmin Gmax w wa wp 62

G V. Gabarits – normalisation - transposition Passe Bande wn Gmin 1 wn Gmin wa= w’2 – w2 Gmax wp= w’1 – w1 w w2 w1 w0 63

V. Gabarits – normalisation - transposition Coupe Bande G’ w2 w1 w0 w Gmin Gmax wp wn 1 64

VI. Recherche de H(p) à partir de |H(w)| 68

VI.1 Stabilité des systèmes linéaires (poly chapitre 2 - page 10) 69

VI.1 Stabilité des systèmes linéaires e(t) Système s(t) de fonction de Transfert : Par exemple, dans le cas d’un circuit RLC série, on a un système du 2eme ordre e(t) i(t) s(t) R L 70

Stabilité Solutions de l'équation différentielle : solution générale : solution de l'équation sans second membre cad ( e(t)=0 régime libre) + solution particulière : solution de l'équation avec second membre cad ( régime forcé = transitoire + régime permanent) Stabilité étude du régime libre, cad étude de la réponse du système avec e(t)=0 un système est dit stable si quand e(t>0) = 0 71

VI.1 Stabilité des systèmes linéaires les fonction de la forme s(t) = e p t sont solutions de cette équation différentielle et on a : d'où : or : donc : appelée équation caractéristique 72

VI.1 Stabilité des systèmes linéaires résoudre l'équation différentielle revient donc à trouver les solutions de l'équation caractéristique : C’est-à-dire les pôles de la fonction de transfert. Ces pôles sont notées : p1 , p2 , …, pn sont soient simples réels ou complexes, ou bien doubles réels . 73

dans tous les cas, réponse stable si : ai < 0 VI.1 Stabilité des systèmes linéaires Les solutions possibles de l’équation différentielle sont donc : dans tous les cas, réponse stable si : ai < 0 où ai = Re( pôles de H(p) ) 74

Conclusion VI.1 Stabilité des systèmes linéaires fonction de transfert s(t) stable si les pôles de la fonction de transfert sont à Re < 0 Im(pi) pi Dans le plan complexe Re(pi) p*i Systèmes stables Systèmes instables 75

VI.2 Recherche de H(p) stable 76

VI.2 Recherche de H(p) stable On connait ou on choisit On cherche Pour déterminer e(t) s(t) K=1 R0 q C0 m C0 77

VI.2 Recherche de H(p) stable e(t) s(t) S.L.I où ai et bi sont réels positifs constants dans le temps La réponse fréquentielle H(jw) s'écrit : 78

VI.2 Recherche de H(p) stable 1°) propriété de |H(w)| fct Réelle paire en w fct réelle paire en w impaire en w 79

VI.2 Recherche de H(p) stable 1°) propriété de |H(w)| de même fct Réelle paire en w fct réelle paire en w impaire en w d'où 80

VI.2 Recherche de H(p) stable 1°) propriété de |H(w)| donc cad est une fonction de w2 uniquement 81

VI.2 Recherche de H(p) stable 2°) pôles et zéros de H(p)H(-p) où p1 , p2, …pn sont les pôles de H(p) et z1 , z2, …zm sont les zéros de H(p) On a vu que : - les pôles et les zéros de H(p) sont soient réels soient complexes conjugués - Re(pôles) et Re(zéros) sont négatives (pour stabilité et déphasage minimum) Re Im pi p*i zi zi* d'où la répartition suivante : 82

VI.2 Recherche de H(p) stable 2°) pôles et zéros de H(p)H(-p) de plus cad donc les pôles et les zéros de H(p) H(-p) sont répartis comme ci dessous Im Re pi p*i zi zi* -pi -p*i -zi -zi* 83

VI.2 Recherche de H(p) stable 3°) Calcul de H(p) On sait que : de plus : donc donc donc |H(w)|2 est fct de w2 uniquement 84

VI.2 Recherche de H(p) stable 3°) Calcul de H(p) donc inconnu connu On cherche H(p) stable et à déphasage minimum Re Im pi p*i zi zi* -pi -p*i -zi -zi* On ne garde que ces pôles et zéros que l’on associe à H(p) On élimine ces pôles et zéros que l’on associe à H(-p) 85

VI.2 Recherche de H(p) stable 3°) Calcul de H(p) par ex : d'où cad recherche des pôles et des zéros : - pas de zéro - pôles : cad cad 86

VI.2 Recherche de H(p) stable 3°) Calcul de H(p) cad 87

VI.2 Recherche de H(p) stable 3°) Calcul de H(p) cad Et on peut choisir Pour obtenir une fct normalisée ( gain max = 1) donc 88

VII. Prototypes de Filtres

VII.1 Temps de propagation de groupe - retard de phase 90

VII.1 Temps de propagation de groupe - retard de phase 2 1.5 1 0.5 -0.5 -1 -1.5 -2 200 400 600 800 1000 1200 1400 1600 1800 2000 91

VII.1 Temps de propagation de groupe - retard de phase 2 1.5 1 0.5 -0.5 -1 -1.5 -2 200 400 600 800 1000 1200 1400 1600 1800 2000 92

VII.1 Temps de propagation de groupe - retard de phase 2 1.5 1 0.5 -0.5 -1 -1.5 200 400 600 800 1000 1200 1400 1600 1800 2000 93

VII.1 Temps de propagation de groupe - retard de phase 2 4 6 8 10 12 14 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 Carré initial j(w) Carré filtré avec déphasage linéaire en fct fréq 0.8 0.6 0.4 0.2 -0.2 -0.4 -0.6 -0.8 -1 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 94

VII.1 Temps de propagation de groupe - retard de phase Carré initial 2 4 6 8 10 12 14 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 j(w) Carré filtré avec déphasage NON linéaire en fct fréq Déformation 0.8 0.6 0.4 0.2 -0.2 -0.4 -0.6 -0.8 -1 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 95

VII.1 Temps de propagation de groupe - retard de phase phase = fonction linéaire de la fréquence Pas de déformation des signaux dans la bande passante 96

VII.2 Prototypes 97

1°) Filtres de Butterworth VII.2 Prototypes 1°) Filtres de Butterworth 1°) Filtres de Butterworth calcul de H(w) Réponse la plus plate possible 98

1°) Filtres de Butterworth VII.2 Prototypes 1°) Filtres de Butterworth On désire normaliser à -3dB Donc on veut cad d'où La fréquence normalisée vaut : wn = w/wp 99

1°) Filtres de Butterworth VII.2 Prototypes 1°) Filtres de Butterworth Calcul de la fonction de Transfert On cherche les pôles de H(pn) H(-pn) 100

1°) Filtres de Butterworth VII.2 Prototypes 1°) Filtres de Butterworth Prenons par exemple une fonction d'ordre 2 pôles cad donc donc donc 101

1°) Filtres de Butterworth VII.2 Prototypes 1°) Filtres de Butterworth qui se répartissent comme suit : Re Im p1 -p1 -p1* p1* Pour calculer H(p) on ne doit garder que les pôles à partie réelle négative 102

1°) Filtres de Butterworth VII.2 Prototypes 1°) Filtres de Butterworth cad Im -p1 -p1* Re et H(pn) vaut : cad 103

1°) Filtres de Butterworth VII.2 Prototypes 1°) Filtres de Butterworth 104

|H(wn)| Filtres de Butterworth VII.2 Prototypes 1°) Filtres de Butterworth |H(wn)| Filtres de Butterworth -3dB n=1 asymptotes en -20 n dB/decade n=2 n=3 n=4 0.1 1 10 wn - pulsation de référence (wn=1) =pulsation de coupure à -3dB - pas d'ondulation dans la bande 105

Phase de H(wn) Filtres de Butterworth VII.2 Prototypes 1°) Filtres de Butterworth Phase de H(wn) Filtres de Butterworth 0.1 1 10 0° w n - 45° n=1 - 90° - - 135° n= 2 - 180° n= 3 - 270° n= 4 - 360° 106

2°) Filtres de Chebychev VII.2 Prototypes 2°) Filtres de Chebychev 2°) Filtres de Chebychev A) Polynomes de Chebychev 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 -5 5 10 15 20 25 T2 T3 T4 T5 T6 Tn(x) 107

2°) Filtres de Chebychev VII.2 Prototypes 2°) Filtres de Chebychev B) Filtres de Chebychev de type I 1 e=0.1 0.9 0.8 0.7 n=2 |H(wn)|2 0.6 0.5 0.4 n=3 0.3 0.2 n=4 0.1 wn 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 108

2°) Filtres de Chebychev VII.2 Prototypes 2°) Filtres de Chebychev 0.1 1 10 -60 -50 -40 -30 -20 -10 e=0.5  1 dB d'ondulation ordres 2 à 6 -1 -2 0.1 1 109

2°) Filtres de Chebychev VII.2 Prototypes 2°) Filtres de Chebychev C) Propriétés des Filtres de Chebychev - n oscillations dans la bande passante - "equal ripple" - ondulation fonction de e ondulation e=1  ondulation=3 dB e=0.5  ondulation=1 dB |H(wn=1)| = - ondulation  ≠ -3 dB en général asymptotes en -20n dB/decade Coupure + raide que Butterworth phase – linéaire que Butterworth 110

3°) Filtres de Legendre (Papoulis) VII.2 Prototypes 3°) Filtres de Legendre 3°) Filtres de Legendre (Papoulis) où Ln(x) n L (x) n 1 x 2 x 2 3 3 x 3 - 3 x 2 + x 4 6 x 4 – 8 x 3 + 3 x 2 5 20 x 5 - 40 x 4 + 28 x 3 - 8 x 2 + x 6 50 x 6 – 120 x 5 + 105 x 4 – 40 x 3 +6 x 2 111

VII.2 Prototypes 3°) Filtres de Legendre ordre 2 à 5 112 -10 -20 -30 -10 -20 -30 ordre 2 à 5 -40 -50 -60 -70 -80 10 -1 10 10 1 112

VII.2 Prototypes 3°) Filtres de Legendre ordre 2 à 5 113 -0.2 -0.4 -0.2 -0.4 -0.6 -0.8 ordre 2 à 5 -1 -1.2 -1.4 -1.6 -1.8 -2 0.1 1 e=1  gain de -3 dB et donc une ondulation= 3 dB dans la bande passante e=0.5  gain de -1 dB et donc une ondulation= 1 dB dans la bande passante 113

VII.2 Prototypes 4°) Filtres de Cauer 4°) Filtres de Cauer 114 zéros 1 nb extrema dans la bande passante = ordre du filtre nb zéro = Ent(ordre du filtre /2) 114

VII.2 Prototypes 2°) Filtres de Cauer 115 C) Propriétés des Filtres de Cauer - n oscillations dans la bande passante |H(wn=1)| = - ondulation  ≠ -3 dB en général asymptotes ordres impairs :-20 dB/decade ordres pairs : asymptote horizontale Coupure + raide que Chebychev phase – linéaire que Chebychev 115

Recherche de la phase la + linéaire possible VII.2 Prototypes 5°) Filtres de Bessel 5°) Filtres de Bessel Recherche de la phase la + linéaire possible Distorsion du signal la + faible possible 116

VII.2 Prototypes 5°) Filtres de Bessel 117 temps de propagation de groupe (t = -dj/dw) ( u.a) Bessel ordre 2 à 6 -0.1 -0.2 -0.3 ordre 2 -0.4 ordre 3 -0.5 ordre 4 -0.6 ordre 5 -0.7 ordre 6 -0.8 0.1 1 10 pulsations normalisées (wn) 117

VII.2 Prototypes 5°) Filtres de Bessel 5°) Filtres de Bessel 118 Gain des filtres de Bessel (dB) -10 ordre 2 -20 Bessel ordre 2 à 6 -30 3 -40 4 -50 5 -60 -70 6 -80 0.1 1 10 pulsations normalisées (wn) 118

6°) Comparaison des prototypes VII.2 Prototypes 6°) Comparaison des prototypes Comparaison des Gains des prototypes normalisés à – 3 dB Bessel -10 Butterworth -20 Legendre Chebychev -30 -40 Cauer -50 -60 -70 -80 0.1 1 10 119

Phases comparées et linéarité VII.2 Prototypes 6°) Comparaison des prototypes -50 Legendre Butterworth Bessel Chebychev -100 déphasage (°) -150 -200 -250 Phases comparées et linéarité 0.1 1 10 wn 100 Legendre Butterworth Bessel Chebychev Tps de propagation de groupe 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 120

VIII. Synthèse des Filtres Passifs 121

IX. Synthèse des Filtres Actifs

IX. Synthèse des Filtres Actifs II Méthodes de Synthèse T.L. Pbas_1 Phaut_1 Pbas_2 Pbande_2 Phaut_2 Cbande_2 123

Synthèse par variable d'état  Filtres à intégrateurs IX. Synthèse des Filtres Actifs Synthèse par variable d'état  Filtres à intégrateurs 124

IX. Synthèse des Filtres Actifs 1°) Synthèse par variable d'état Comment réaliser ces différentes fonctions ? Prenons par exemple un filtre Passe haut du second ordre : en divisant par 125

S IX. Synthèse des Filtres Actifs 126 1°) Synthèse par variable d'état 3 e(t) s(t) en sortie 1 on obtient s(t) réponse du filtre passe haut du second ordre 126

S IX. Synthèse des Filtres Actifs 127 1°) Synthèse par variable d'état 3 e(t) s(t) et en sortie 2 on obtient cad qui est un passe bande du second ordre 127

S IX. Synthèse des Filtres Actifs 128 1°) Synthèse par variable d'état 3 e(t) s(t) et en sortie 3 on obtient cad qui est un passe bas du second ordre 128

IX. Synthèse des Filtres Actifs Synthèse à 1 AOP 129

IX. Synthèse des Filtres Actifs 2°) Synthèse à 1 A.O.P Structure Générale de Salen-Key du 2eme ordre Z4 Z1 Z2 + - e(t) s(t) Z5 Z3 R1 R2 Amplificateur de gain K positif (développés dans le chapitre suivant) 130

IX. Synthèse des Filtres Actifs 2°) Synthèse à 1 A.O.P Structure Générale de Rauch du 2eme ordre Z4 Z5 Z1 Z3 - e(t) Z2 + s(t) mais les structure à 1 AOP de type Salen-Key ou Rauch ont une sensibilité croissante avec le coefficient de qualité Q=1/2z  utilisable pour Q<8 cad z>0.06 131

IX. Synthèse des Filtres Actifs 2°) Synthèse à 1 A.O.P à rétroaction double - + e(t) s(t) type Deliyannis et Friend les structures à AOP multiple permettent d'obtenir des coefficients de qualité Q=1/2z > 50 cad z<0.01 132

Synthèse par simulation de composants IX. Synthèse des Filtres Actifs Synthèse par simulation de composants 133

IX. Synthèse des Filtres Actifs 3°) Synthèse par simulation de composants ie is ve(t) Zs vs(t) ve= k vs is= - k' ie Si K est négatif on parle de Negative Impedance Converter (NIC) Si K est positif on parle de Positive Impedance Converter (PIC) Si K est complexe on parle de Generalised Impedance Converter (GIC) 134

IX. Synthèse des Filtres Actifs 3°) a. Circuits convertisseurs d'impédance On part d'une structure de filtre passif en échelle e(t) s(t) et on simule les inductances par des circuits actifs sans utiliser de self 135

IX. Synthèse des Filtres Actifs 3°) a. GIC GIC - + ie R1 R2 is R3 C4 ve R5 vs + - équivalent à une self en parallèle (mise à la masse) 136

IX. Synthèse des Filtres Actifs 3°) a. GIC - + ve ie is R1 R2 C4 R3 R5 v3 v2 i3 or vs=ve vs 137

IX. Synthèse des Filtres Actifs 3°) a. GIC GIC GIC = Generalised Impedance Converter - + ie R1 R2 GIC ve ve R3 ve C4 R5 + - GIC R 138

IX. Synthèse des Filtres Actifs 3°) a. GIC Pour simuler une inductance en série, il faut 2 GIC - + + - R1 R2 R2 R1 R3 R3 C4 C4 + - - + 139

IX. Synthèse des Filtres Actifs 3°) b. Gyrateur Gyrateur ie Rg Rg ve Z Z ou 140

IX. Synthèse des Filtres Actifs 3°) b. Gyrateur Utilisation du Gyrateur C1 C1 Rg C2 L2 141

IX. Synthèse des Filtres Actifs 3°) b. Gyrateur Structure d’un Gyrateur ? Rg Rg ie NIC NIC ve Z vs Rg NIC où Z 142

IX. Synthèse des Filtres Actifs 3°) a.ii. NIC Structure d’un NIC ? - + R Z ie ve - + R Z ie ve ie NIC NIC ve Z 143

IX. Synthèse des Filtres Actifs 3°) a.ii. NIC Calcul du NIC R ie - ve ie vs + i ve i R Z 144

IX. Synthèse des Filtres Actifs 3°) a.ii. NIC Calcul du NIC R ie - ve ie vs donc + i Par Def : ve i R Z D’où 145

IX. Synthèse des Filtres Actifs 3°) b. Gyrateur Calcul du Gyrateur (1/2) Rg Rg ie NIC NIC ve Z Rg Rg ie NIC ve Z+Rg -Rg Rg ie NIC Z' ve 146

IX. Synthèse des Filtres Actifs 3°) b. Gyrateur Calcul du Gyrateur (2/2) Rg ie NIC Z' ve ie NIC Z" ve ie -Z" ve 147

X. Synthèse des Filtres Actifs

X. Synthèse des Filtres Actifs Rappel sur les Amplificateur Opérationnels Parfaits i+ v+ + i- v- - ( G infini ) donc pour avoir vs ≠ ∞ (ou ±Valim ) il faut v+ = v- de plus les impédances d'entrée sont infinies donc i+ et i- sont nul i+ = i-=0 149

X. Synthèse des Filtres Actifs Rappel sur les Amplificateur Opérationnels Parfaits v+ = v- + e(t) - v- = e Z2 i e(t) s(t) Z1 si Z1 =R1 et Z2 =R2 alors 150

- X. Synthèse des Filtres Actifs 151 Rappel sur les Amplificateur Opérationnels Parfaits s(t) Z2 Z1 - e(t) e(t) + s(t) v+ = v- = 0 151

X. Synthèse des Filtres Actifs 2°) Premiers Ordres R s(t) + - Passe Bas du 1er ordres s(t) C e(t) K=1 K= 1 + R2 / R1 e(t) + - s(t) R2 R1 R C 152

X. Synthèse des Filtres Actifs 2°) Premiers Ordres Passe Bas du 1er ordres R K C e(t) s(t) 153

X. Synthèse des Filtres Actifs 2°) Premiers Ordres Passe Bas du 1er ordres C R2 - R1 e(t) + s(t) 154

X. Synthèse des Filtres Actifs 2°) Premiers Ordres Passe Haut du 1er ordres C K e(t) R s(t) R2 - R1 e(t) C + s(t) 155

X. Synthèse des Filtres Actifs 3°) Salen-Key Structure Générale des Salen-Key du 2eme ordre L’amplificateur de gain K est en général construit autour d’un AOP Z4 K Z1 Z2 i=0 e(t) s(t) Z5 Z3 vi v+ 156

X. Synthèse des Filtres Actifs 3°) Salen-Key Passe Bas de Salen-Key e(t) s(t) K R1 R2 C4 C3 Z1 = R1 Z2 = R2 Y3 = C3 p Y4 = C4 p Z5 = ∞ 157

X. Synthèse des Filtres Actifs 3°) Salen-Key Passe Bas de Salen-Key q C0 K=1 R0 R0 e(t) s(t) m C0 R1 = R2 = R0 C4 = m C0 C3 = q C0 K=1 158

X. Synthèse des Filtres Actifs 3°) Salen-Key e(t) s(t) K=1 R0 q C0 m C0 Passe Bas de Salen-Key 159

X. Synthèse des Filtres Actifs 3°) Salen-Key Passe Bas de Salen-Key : Normalisation q C0 Impédance de référence : R0 la pulsation de référence : K=1 R0 R0 e(t) s(t) m C0 R0 1 C0 1 mC0 m e(t) s(t) K=1 1 q m qC0 q 160

X. Synthèse des Filtres Actifs 3°) Salen-Key Passe Bas de Salen-Key : Normalisation e(t) s(t) K=1 1 q m Impédance de référence : R0 la pulsation de référence : 161

X. Synthèse des Filtres Actifs 3°) Salen-Key Passe Bas de Salen-Key : exemple Butterworth q K=1 1 1 e s m Passe Bas d'ordre 2 de Salen-Key : m=0.7071 ; q=1.4142 162

X. Synthèse des Filtres Actifs 3°) Salen-Key Passe Bas de Salen-Key : exemple filtre normalisé q=1.4142 e s K=1 1 m=0.7071 -20 db( V(Out1) / V(In) ) PasseBasOrdre2_Normalise_Parfait.sch -40 wn 0.1 1 163 10

X. Synthèse des Filtres Actifs 3°) Salen-Key Passe Bas de Salen-Key : exemple filtre dénormalisé à f0 = 1 kHz 225 nF 112.5 nF -0 PasseBasOrdre2_Parfait.sch -20 db( V(Out1) / V(In) ) -40 300Hz 1.0KHz 3.0KHz 10KHz 164 Fréquence

X. Synthèse des Filtres Actifs 3°) Salen-Key Passe Bas de Salen-Key : exemple Passe Bas de Butterworth d'ordre 4 m1=0.9238 ; q1 =1.0823 m2=0.3826 ; q2 =2.6131 résonance G(wr = 0.840 w0 ) = Vm = 1.41 165

X. Synthèse des Filtres Actifs 3°) Salen-Key Passe Bas de Salen-Key : exemple Passe Bas de Butterworth d'ordre 4 G(wr = 0.840 w0 ) = Vm = 1.41 q2 C0 K=1 R0 m2 C0 m2=0.3826 ; q2 =2.6131 m1=0.9238 ; q1 =1.0823 q1 C0 K=1 R0 m1 C0 e s PasseBasOrdre4_Parfait.sch Les Q élevé en tête 166

X. Synthèse des Filtres Actifs 3°) Salen-Key Passe Bas de Salen-Key : exemple Passe Bas de Butterworth d'ordre 4 Vm = 1.41= 3dB fr = 0.840 f0 -0 1er étage 2eme étage -20 les 2 étages -40 -60 100Hz 300Hz f0 = 1.0KHz 3.0KHz 10KHz 167 Fréquence

X. Synthèse des Filtres Actifs 3°) Salen-Key Passe Haut de Salen-Key R3 K C1 C2 e(t) s(t) R4 Y1 = C1 p Y2 = C2 p Z3 = R3 Z4 = R4 Z5 = ∞ 168

X. Synthèse des Filtres Actifs 3°) Salen-Key Passe Haut de Salen-Key R3=R0 / q 1 C1=C0 C2=C0 e(t) s(t) R4=R0 / m C1 = C2 = C0 R4 = R0 /m R3 = R0 /q K=1 169

X. Synthèse des Filtres Actifs 3°) Salen-Key Passe Haut de Salen-Key e(t) s(t) 1 R0 / q R0 / m C0 170

X. Synthèse des Filtres Actifs 3°) Salen-Key Passe Haut de Salen-Key e(t) s(t) 1 R0 / q R0 / m C0 avec et R0 1 C0 1 R0 / q 1 / q R0 / m 1 / m e(t) s(t) 1 1/ q 1/ m 171

X. Synthèse des Filtres Actifs 3°) Salen-Key Passe Bande de Salen-Key 2eme ordre (mais pentes en ± 20dB/dec ) R R C K e s C 2 R Gain à w0 : mais structure trop sensible aux écarts de valeur 172

X. Synthèse des Filtres Actifs Passe Bande de Rauch 2eme ordre (mais pentes en ± 20dB/dec ) C0 R0 / m q R0 C0 - e + s m R0 1-m2 173

X. Synthèse des Filtres Actifs 3°) Salen-Key Passe Bande de Salen-Key 4eme ordre (pentes en ± 40dB/dec ) q C0 R0 / q 1 1 R0 R0 e C0 C0 R0 / m s m C0 174

X. Synthèse des Filtres Actifs 2°) Salen key Exemple de Passe Bande : Chebychev Ordre 6 de bande relative de 20% (pentes en 1/p3 60dB/dec) 20 PasseBandeOrdre3_Chebychev_0.20_Parfait.sch db(V(Out1)/V(In)) db(V(Out2)/V(Out1)) -0 db(V(Out3)/V(Out2)) Pente 40dB/dec db(V(Out3)/V(In)) -20 -40 Pente 20dB/dec Pente 60dB/dec -60 175 100Hz 300Hz 1.0KHz 3.0KHz 10KHz

X. Synthèse des Filtres Actifs 3°) Sensibilité Rappel sur la sensibilité Soit une fonction f(x1 , x2 , …, xn), la sensibilité notée vaut : Elle représente la variation relative de la fonction f par rapport à la variation relative du paramètre xi exemple : f(x,y)= x2 + 3y A.N : en x=1 et y=1 = 0.5 (50%) = 0.75 (75%) si x varie 20% (dx/x = 0.2 ) alors f varie de [dx/x]*[Sx] soit 0.2 * 0.5 = 0.1 = (10% ) si y varie 20% (dy/y = 0.2 ) alors f varie de [dy/y]*[Sy] soit 0.2 * 0.75 = 0.15 = (15% ) 176

X. Synthèse des Filtres Actifs 3°) Sensibilité Sensibilité d'un filtre de Salen Key e s 1 R1 R2 C2 C1 177

X. Synthèse des Filtres Actifs 3°) Sensibilité Sensibilité d'un filtre de Salen Key e s 1 R1 R2 C2 C1 178

X. Synthèse des Filtres Actifs 3°) Sensibilité Sensibilité d'un filtre de Salen Key 10 2.43KHz -10 -20 -30 1.0KHz 2.7KHz 10KHz Fréquence 179

Bibliographie Analyse et synthèse des filtres actifs analogiques, Gérard Mangiante, Ed. Lavoisier (Bibliothèque Physique Enseignement 612.382 MAN ) Filtres actifs, P. Bildstein, Ed. de la radio Mathématiques Générales, Jacques Velu, Ed. Dunod (équations différentielles) (Bibliothèque Maths-Info Enseignement 03.5 VEL 03E Les Mathématiques en Licence, 1ere année Tome 2, E. Azoulay, J. Avignant, G. Auliac, Ed. EdiScience (équations différentielles) (Bibliothèque Maths-Info Enseignement 03.5 AZO 2(1).03Q 180