Chapitre 2: Les équations et les inéquations polynômes MHF4U

Les parties d’une division 43 / 6 = 7 + 1/6 Identifier le: Quotient Diviseur Dividende Reste

2.1: Le théorème du reste Divisions avec chiffres: Ensemble 68 352 / 12 234 234 / 12 Individuellement 10 335 / 15 66 426 / 15

Division d’un polynôme par un binôme Division de polynôme par un binôme (sans reste) (6x2 + 17 x + 7) / (2x + 1) Division de polynôme par un binôme (avec reste) (-3x2 + 2x3 + 8x – 12) / (x – 1)

Exemple #3: Application de la division longue (p.86) Le volume V (en centimètres cubes) d’une boîte rectangulaire est défini par l’équation V(x) = x3 + 7x2 + 14x + 8. Détermine les expressions qui représentent les dimensions possibles de la boîte si la hauteur h (en centimètres) est définie par x + 2.

Votre travail Terminer le travail distribué hier.

Énoncé correspondant * L’énoncé correspondant, qu’on peut utiliser pour vérifier une division, est: P(x) = (x - b) ∙ Q(x) + R P(x) = polynôme Q(x) = quotient R = reste

Théorème du reste * Lorsqu’on divise une fonction polynôme P(x) par x – b, le reste de la division est P(b) et lorsqu’on la divise par ax – b, le reste de la division est P(b/a), où a et b sont des nombres entiers et a ≠ 0.

Exemple #4: Appliquer et vérifier le théorème du reste (p.89) Sers-toi du théorème du reste pour déterminer le reste lorsqu’on divise P(x) = 2x3 + x2 – 3x – 6 par x + 1. Vérifie ta réponse à l’aide de la division par méthode extensive. À l’aide du théorème du reste, détermine le reste lorsqu’on divise P(x) = 2x3 + x2 – 3x – 6 par 2x – 3.

Exemple #5: Résoudre une équation à coefficient inconnu Détermine la valeur de k de telle sorte que lorsqu’on divise 3x4 + kx3 – 7x – 10 par x – 2, le reste égale 8.

Votre travail P.91 #5, 7, 8, 10, 14

2.2: Le théorème des facteurs

Le théorème des facteurs * X – b est un facteur d’un polynôme P(x) si et seulement si P(b) = 0. De la même manière, ax – b est un facteur de P(x) si et seulement si P(b/a) = 0, où a et b sont des entiers et a ≠ 0.

Exemple #1: Appliquer le théorème des facteurs (p.95) Parmi les binômes suivants, lesquels sont des facteurs du polynôme P(x) = 2x3 + 3x2 - 3x – 2? Sers- toi de ta réponse pour présenter P(x) sous forme factorisée. X – 2 X + 2 X + 1 X – 1 2x + 1

Comment décider quels facteurs essayer? Si P(x) = x3 + 2x2 – 5x – 6…

Le théorème du zéro entier * * Si x – b est un facteur d’une fonction polynôme ayant un coefficient dominant 1 et que le reste des coefficients sont des nombres entiers, alors b est un facteur du terme constant.

Exemple #2: Diviser pour factoriser un polynôme de 2 manières (p.97) Factorise entièrement x3 + 2x2 – 5x – 6.

Exemple #3: Combiner le théorème des facteurs et la factorisation par regroupement (p.99) Factorise l’expression x4 + 3x3 – 7x2 – 27x – 18.

Votre travail P.102 #4, 5

2.3: Les équations polynômes

Quelle est la différence entre A et B? F(x) = x3 – x2 – 2x Y = 3x3 + x2 – 12x – 4 x3 – x2 – 2x = 4 3x3 + x2 – 12x – 4 = 0 Dans quelle catégorie mettrais-tu les éléments suivants? 2x3 + 3x2 – 11x – 6 = 9 H(x) = 2x3 + 3x2 – 11x – 6

Quelle est la différence entre A et B? Fonction Équation F(x) = x3 – x2 – 2x Y = 3x3 + x2 – 12x – 4 x3 – x2 – 2x = 4 3x3 + x2 – 12x – 4 = 0 La réponse peut être n’importe quel chiffre. Dans quelle catégorie mettrais-tu les éléments suivants? 2x3 + 3x2 – 11x – 6 = 9 H(x) = 2x3 + 3x2 – 11x – 6

Que remarques-tu? * Abscisses à l’origine Zéros Racines de l’équation f(x) = 0 f(x) = x4 – 13x2 + 36 F(x) = (x-3)(x-2)(x+3)(x+2) X = 3, 2, -3, -2 0 = x4 – 13x2 + 36 0 = (x-3)(x-2)(x+3)(x+2) Un GRAPHIQUE a une abscisses à l’origine. Une FONCTION a un zéro. Une ÉQUATION a une racine.

Exemple #1 (p.105) Trouve les racines des équations suivantes: X3 – x2 – 2x = 0 3x3 + x2 – 12x – 4 = 0

Exemple #2: Appliquer le théorème des facteurs pour résoudre une équation polynôme (p.105) Résous l’équation 2x3 + 3x2 – 11x – 6 = 0. Que représentent les valeurs de x par rapport à la fonction polynôme correspondante?

Quels sont les racines de cette équation? (x - 3)(x2 + 1) = 0 Quels seraient le(s) abscisse(s) à l’origine?

Quels sont les racines de cette équation? (x - 3)(x2 + 1) = 0 X=3 ou x=± −1 Puisque la racine carrée d’un nombre négatif n’est pas un nombre réel, la seule racine réelle est x = 3. Une racine peut être complexe, mais une abscisse à l’origine ne peut pas.

Ex. #3: Résoudre un problème par la détermination des racines Pour sculpter les ailes d’un dragon, une sculpteure se sert d’un bloc de glace dont le volume V (en centimètres cubes) peut être modélisé par la fonction V(x) = 9x3 + 60x2 + 249x, où x est l’épaisseur du bloc (en centimètres). Quelle est l’épaisseur maximale des ailes si elles sont sculptées dans un bloc de glace dont le volume est de 2 532 cm3?

Votre travail P.110 #1, 2, 10, 11, 14

Vrai ou faux? Si la représentation graphique d’une fonction quartique admet deux abscisses à l’origine, alors l’équation quartique correspondante admet quatre racines réelles.

Vrai ou faux? Toutes les racines d’une équation polynôme correspondent aux abscisses à l’origine de la représentation graphique de la fonction polynôme correspondante.

Vrai ou faux? Une équation polynôme de degré trois doit admettre au moins 1 racine réelle.

Vrai ou faux? Toutes les équations polynômes peuvent être résolues algébriquement.

Vrai ou faux? Toutes les équations polynômes peuvent être résolues graphiquement.

Réponses Question Réponse 1 Faux. 2 3 Vrai. 4 Vrai (équation quadratique). 5

2.4: Les familles de fonctions polynômes

Activité de départ (5 mins) Trouvez 3 fonctions qui ont les zéros suivants: -1, 3 et 5.

Famille de fonctions polynômes Déf: Groupe de fonctions qui ont des caractéristiques communes, ex. les mêmes zéros. Exemple: Y = (x – 1)(x + 2) Y = 2(x – 1)(x + 2) Y = ½(x – 1)(x + 2) Ne pas changer les fractions en décimales.

Exemple #1 (p.115) Les zéros d’une famille de fonctions quadratiques sont 2 et -3. Détermine une équation qui représente cette famille de fonctions. Écris les équations de deux fonctions quelconques qui appartiennent à cette famille. Détermine l’équation de la fonction de cette famille passant par le point (1, 4).

Exemple #2 (à vous, 5 mins) Les zéros d’une famille de fonctions sont -2, 1, et -3. Détermine une équation qui représente cette famille de fonctions. Écris les équations de 2 fonctions quelconques qui appartiennent à cette famille. Détermine l’équation qui représente la fonction de cette famille passant par l’ordonnée à l’origine -15.

Exemple #4 (p.117) Détermine une équation qui définit une fonction quartique à partir d’un graphique. (voir graphique p.117)

Votre tâche P.119 #1 à 6, 14 , 18 a-b-c

2.5: La résolution d’inéquations à l’aide d’outils technologiques

Activité de départ (10 mins) P.123 #1 et 4 SVP écrire la notation avec ≤, >, etc. (au lieu des parenthèses).

Résoudre les inéquations sur la feuille (5 mins)

Exemple #1(p.126) Résous l’inéquation polynôme suivante à l’aide d’une calculatrice graphique. Arrondis tes réponses au dixième près. 2x3 + x2 – 6x ≥ 0 Écrire la fonction. 2) Graph 3) Calc (2nd Trace) 4) Utiliser les flèches pour un point à sa gauche. Enter. 5) Utiliser les flèches pour un point à sa droite. Enter. 6) Guess = mettre ton curseur le plus près possible.

Votre tâche P.129 #1, 3, 4, 5, 6, 10, 11

2.6: La résolution algébrique d’inéquations

Exemple (p.132) Résous chaque inéquation ci-dessous. Montre la solution sur une droite numérique. X – 8 ≥ 3 (moi) -4 – 2x < 12 (vous) Quand on multiplie ou divise par un chiffre négatif, l’opérateur est inversé.

Exemple #2 (p.133) Résous chaque inéquation: (x + 3)(2x – 3) > 0 (moi) -2(x + 4)(x – 2)(x + 1) ≤ 0 (vous)

Exemple supplémentaire avec facteur constant Résous l’inéquation ci-dessous: -2(x + 3/2)(x – 4) ≤ 0

Votre tâche P.138 #3-4 (20 mins)

p.139 #6a) Résous l’inéquation suivante: X3 + 9x2 + 26 x + 24 < 0

Votre tâche P.139 #8-9