Qu’apprend-on dans ce chapitre Qu’est-ce que la classification pour une image ; Des exemples de classification ‘simple’ : Non paramétrique : les k-PPV ; Non supervisée : seuillage de Otsu, les c-moyennes ; Qu’est-ce qu’une classification bayésienne et comment se formule le critère Maximum A Posteriori ; Qu’est-ce que la classification SVM et dans quel cas est- elle particulièrement intéressante ;

Classification : objectifs Mettre en évidence les similarités/ dissimilarités entre les ‘objets’ (e.g. pixels) Obtenir une représentation simplifiée (mais pertinente) des données originales Mettre sous un même label les objets ou pixels similaires  Définitions préalables Passer de l’espace des caractéristiques à celui des classes → règle : supervisée / non supervisée, paramétrique / non paramétrique, probabiliste / syntaxique / autre, avec rejet / sans rejet Espace des caractéristiques d (sS, ysd) Espace de décision = ensemble des classes W (sS, xsW), W = {wi, i[1,c] } Règle de décision ( = d(ys) ) Critère de performance

Ex. de classification non paramétrique  Possibilité de modélisation de loi complexes, de forme non nécessairement paramétrique (ex. en 2D disque et couronne) Classification k-ppv (plus proches voisins) On dispose d’un ensemble (de ‘référence’) d’objets déjà labelisés Pour chaque objet y à classifier, on estime ses k ppv selon la métrique de l’espace des caractéristiques, et on lui affecte le label majoritaire parmi ses k ppv Possibilité d’introduire un rejet (soit en distance, soit en ambiguïté) Très sensible à l’ensemble de référence Exemples : Euclidienne, Mahanolobis… 1-ppv 3-ppv 5-ppv k-ppv (/24)

Connaissance des caractéristiques des classes Cas supervisé Connaissance a priori des caractéristiques des classes Apprentissage à partir d’objets déjà étiquetés (cas de données ‘complètes’) Cas non supervisé Définition d’un critère, ex. : - minimisation de la probabilité d’erreur - minimisation de l’inertie intra-classe  maximisation de l’inertie inter-classes Définition d’un algorithme d’optimisation

Equivalence minimisation de la dispersion intra-classe / maximisation de la dispersion inter-classes

Application : seuil automatique d’Otsu Algorithme Calcul de l’histogramme de l’image Initialisations: m1=min(I), |C1|=0, m2=<I>, |C2|=N, s=0, Dmax=0 Pour chaque bin j de l’histogramme centré autour de xj et ayant nj pixels m1  (|C1|m1+nj.xj)/(|C1|+nj) ; |C1|  |C1|+nj ; m2  (|C2|m2-nj.xj)/(|C2|-nj) ; |C2|  |C2|-nj ; si |C1||C2|(m1- m2)2>Dmax, alors Dmax= |C1||C2|(m1- m2)2 et s=xj

Seuil automatique d’Otsu : exemples 130 136 33

Algorithme des c-moyennes (cas non sup.) Initialisation (itération t=0) : choix des centres initiaux (e.g. aléatoirement, répartis, échantillonnés) Répéter jusqu’à vérification du critère d’arrêt : t++ Pour chaque pixel, labelisation par la plus proche classe Nombre de changements : Mise à jour des centres par minimisation de l’erreur quadratique : Estimation du critère d’arrêt (e.g. test sur nb_ch(t) ) Exemple : (s=30) Remarques : Nombre de classes a priori  Dépendance à l’initialisation c=3 c=4 c=5 c=2

Variantes K-moyennes ISODATA Nuées dynamiques Regroupement ou division de classes  nouveaux paramètres : qN=nbre min objets par classe, qS seuil de division (division de la classe i si : maxj[1,d]sij > qS et nbre objets de la classe > 2qN+1 et Iintra(i) > Iintra), qC seuil de regroupement (regroupement des classes i et j si : dist(mi, mj)qC), nbre max itérations Nuées dynamiques Remplacement de la mesure de ‘distance’ par une mesure de ‘dissemblance’ dis(ys,wi)  minimiser classe i représentée par son ‘noyau’, e.g. centre ( K-moyennes), plusieurs ‘échantillons’ de référence zl l[1,p] (dis(.,.) = moyenne des distances de l’objet aux  zl)

Probabilités et mesure de l’information Probabilités fréquencistes / subjectivistes Physique stat. : répétition de phénomènes dans des ‘longues’ séquences  probabilité = passage à la limite d’une fréquence ≠ Modèle de connaissance a priori : degré de confiance relatif à un état de connaissance  probabilité = traduction numérique d’un état de connaissance Remarque : Quantité d’information et probabilités I = -log2(pi)  I ≥ 0, information d’autant plus importante que évènement inattendu (de faible probabilité)

Théorie bayésienne de la décision La théorie de la décision bayésienne repose sur la minimisation du ‘risque’ Soit Ct(x,x’) le coût associé à la décision de x’ alors que la réalisation de X était x La performance de l’estimateur x’ est mesurée par le risque de Bayes E[Ct(x,x’)] = P(x’/x,y)=P(x’/y) car décision selon y seul Coût marginal (conditionnel à y) à minimiser Or x’P(x’/y)=1 et x’, P(x’/y)≥0, La règle qui minimise le coût moyen est donc celle telle que P(x’/y)=1 si et seulement si xP(x/y)Ct(x,x’) minimale

Exemple Détection d’un véhicule dangereux (V) Décider V si et seulement si  Cas où a>b, on va décider plus facilement V que V en raison du coût plus fort d’une décision erronée en faveur de V que de V

Critère du MAP Maximum A Posteriori : Ct(x,x’) = 0, si x’ = x Lien avec le MV :

Cas d’un mélange de lois normales Exemples

Estimation de seuils (cas supervisé) Image = ensemble d’échantillons suivant une loi de distribution de paramètres déterminés par la classe ex. : distribution gaussienne Cas 1D (monocanal), si seuil de séparation des classes wi et wi+1, probabilité d’erreur associée : Maximum de vraisemblance :

Maximum de vraisemblance (suite) : Maximum A Posteriori : 

Estimation de seuils : exemple mu_k 50 150 var_k 625 MV Delta' 3,91E+09 s_i 100 mu_k 50 110 var_k 625 2500 P_k 10 24 MV Delta' 7,39E+09 s_i 75,84448 MAP Delta' 6,27E+09 s_i 72,24777

Lien c-moyennes / théorie bayésienne Maximum de vraisemblance sur des lois de paramètres qi (e.g. qi=(mi,Si)) inconnus : Cas d’échantillons indépendants : max. de la logvraisemblance d’où : (*) or : d’où (*)  Cas gaussien, Si connus, mi inconnus  résolution itérative c-moyennes : Si=Id i[1,c] et P(wi | ys,q) = 1 si wi = xs, = 0 sinon en effet : en effet : d’où :

Classification SVM (Séparateurs à Vastes Marges) (Vapnik, 1995) Exemple de classification à base d’apprentissage Hyp. :  1 classifieur linéaire dans un espace approprié  utilisation de fonctions à noyau pour projetter les données dans cet espace Exemple simplissime (cas binaire & linéairement séparable) Supervisé / Semi-supervisé Hyperplan séparateur Critère d’optimalité  maximisation de la marge Vecteurs de support distance entre hyperplan et ens. des échantillons Marge Ensemble d’apprentissage {(y1,x1), (y2,x2), …, {(yN,xN)}  équation de l’hyperplan

Cas séparable : il ‘suffit’ de maximiser la marge Ex. de noyaux : polynômial, sigmoïde, gaussien, laplacien. Cas non séparable  projection dans 1 espace de dimension supérieure :

Calcul de l’hyperplan (cas linéaire, 2 classes) xi{-1,1} Éq. de l’hyperplan séparateur : h(y) = wTy + w0 = 0 Cas séparable linéairement : Problème sous sa forme ‘primale’ marge = On choisit que min(wTy + w0 ) = 1 (i.e. pour les vecteurs de support)  minimiser sous contrainte  minimiser lagrangien : {(y1,x1), (y2,x2), …, {(yN,xN)} échantillons d’apprentissage Pour un hyperplan d’éq. wTy + w0 = 0, la distance d’un point M est Maximiser 1/||w|| (i.e. la marge) 

Calcul de l’hyperplan (cas linéaire, 2 classes) |wTy + w0|1 Problème sous sa forme ‘duale’ en annulant les dérivées partielles du lagrangien / w0 et w : À injecter dans l’eq. du lagrangien Soluble par programmation quadratique  Ne fait intervenir que les vecteurs de support

Nécessaire de connaître uniquement le produit scalaire SVM Cas non linéaire Transformation non linéaire f Nécessaire de connaître uniquement le produit scalaire Fonction à noyau Exemples de noyaux polynômial gaussien

Utilisation des SVM pour la classif. d’image Principalement cas de données de grande dimension  Niveau pixel caractéristiques multi-échelles caractéristiques spectrales  Niveau objet caractéristiques de forme caractéristiques de texture  Niveau image caractéristiques en termes de pixels d’intérêt À comparer avec k-ppv, & réseaux de neurones En entrée de la classif. : 1 image des données + 1 segmentation  labelisat° des segments Classification de l’image, e.g. en terme de type de scène Difficulté principale : choix des caractéristiques en entrée, du noyau de la stratégie pour passer en multi-classes (1 contre 1, 1 contre tous)  SVM  boite ‘noire’ efficace mais interprétation a posteriori limitée

Utilisation des SVM pour la classif. d’image: Cas multi-classes k classes, k3 : Entrainement et exécution de SVM binaires (2 classes) puis combinaison des résultats obtenus par ces SVMs cas de SVM binaires 1 versus 1 : vote majoritaire sur les décisions (si k classes, k-1 SVMs 1vs1 impliquent la ‘bonne classe’ et les autres non  la ‘bonne’ classe recueille 2 fois + de votes que les autres classes) cas de SVM binaires 1 versus all : décision en faveur du score le plus élevé obtenu sur l’ensemble des SVM 1vsAll stratégie nbre de classifieurs SVM temps de calcul Redondance (robustesse) 1 versus 1 Ck2=k(k-1)/2 +++ 1 versus all k + ++

Exemple d’utilisation des SVM pour la classif. d’image (I) Données hyperspectrales, e.g. en chaque pixel : Exemples de spectres initiaux (400 longueurs d’onde)  spectres dérivés ordre 1 (400 longueurs d’onde)

Exemple de classif. SVM(II) 1 versus 1 1 versus all

Classification : exercices (I) Soit l’image à deux canaux suivante : Soit les pixels de référence suivants : label 1 : valeurs (1,03;2,19) (0,94;1,83) (0,59;2,04) label 2 : valeurs (2,08;0,89) (2,23;1,16) (1,96;1,14) Effectuer la classification au k-ppv. Commentez l’introduction d’un nouveau pixel de référence de label 1 et de valeurs (1,32;1,56) 2,48 1,68 2,24 2,55 2,36 1,64 2,20 1,42 1,96 2,43 1,95 1,61 2,23 1,55 2,50 1,57 1,65 1,92 2,34 1,41 2,45 1,50 2,28 2,53 2,11 2,08 2,27 1,63 1,32 0,80 1,20 0,59 0,94 1,36 1,59 1,03 1,14 1,26 1,04 0,83 1,10 1,09 0,64 1,52 0,40 0,55 1,30 1,33 0,95 0,50 1,13 0,70 0,76 1,16 0,56 1,60 1,06 1,33 0,67 0,55 1,32 0,80 1,42 1,44 1,23 0,51 0,95 0,81 1,04 1,03 1,16 0,43 0,45 1,35 0,91 1,21 1,55 1,53 0,60 1,18 0,83 0,89 0,58 1,14 1,47 1,06 1,56 1,52 1,78 2,04 1,79 2,50 1,72 1,83 2,19 2,14 1,76 2,49 1,46 1,41 1,80 2,31 1,68 2,54 1,62 2,44 2,41 2,40 2,56 2,48 2,35 2,28 1,95 1,51 2,24 2,53 1,50

Classification : exercices (II) Sur l’image à deux canaux précédente : Déterminer les seuils de décision pour chacun des canaux si l’on suppose 2 classes gaussiennes de caractéristiques respectives : canal 1 : (m1,s1)=(2.0,0.38), (m2,s2)=(1.0,0.34) canal 2 : (m1,s1)=(1.0,0.36), (m2,s2)=(2.0,0.39) Effectuer la classification par seuillage. Effectuer la classification c-means pour c=2. Comparer avec les résultats précédents. Comparer avec la classification c-means pour c=3.

Exercices (II) : correction