MECANIQUE DES STRUCTURES PREMIERE PARTIE Analyses au second ordre J-M Franssen Notes en collaboration avec Prof. R. Maquoi & J-P Jaspart

≠ Mode d’action des forces sur la configuration non déformée. Mode d’action des forces sur la configuration déformée.

MB = PL/4 V = P/2 N = 0 A B MB < PL/4 VA = (P/2) cos α NA = (P/2) sin α α

MB = PL/4 V = P/2 N = 0 A B MB < PL/4 N > 0 (traction) α

Elastique Plastique 1er ordre 7 premières leçons 2 leçons 2ème ordre Aujourd'hui

Méthodes d'analyse itératives Globale Partielle Méthode d'analyse directe Evaluation des charges critiques d'instabilité élastique linéaire

dans la configuration déformée de la structure Analyse au 2ème ordre Détermination des efforts intérieurs SII qui assurent l'équilibre avec les charges extérieures dans la configuration déformée de la structure Analyse au 1er ordre Détermination des efforts intérieurs SI qui assurent l'équilibre avec les charges extérieures dans la configuration initiale de la structure

SII est exacte, SI est approchée. SII est très différente de SI dans les structures souples Δ Δ Effet P-Δ

!!! Les erreurs ne se répercutent pas Sollicitations S, déplacements v Méthode itérative partielle SI vI(SI) ΔS1(vI) Δv2(ΔS1) ΔS2(Δv2) Δv3(ΔS2) ΔS3(Δv3) Δv4(ΔS3) ΔS4(Δv4) etc Convergence assurée si N < Ncrit !!! Les erreurs ne se répercutent pas SII  SI+Σi ΔSi vII  vI+Σi Δvi

Méthode itérative partielle Illustration VI DV2 DS1 SI DS2

Exemple: méthode itérative partielle 15 kN 510 kN 9000 EI = x A B Détermination de SI NI = 510 kN MI = 15 (h-x) M1A = 135 kNm

Exemple: méthode itérative partielle NI = 510 kN MI = 15 (h-x) 15 kN 510 kN 9000 EI = 38.37 E6 x A B Détermination de vI(SI) y1B = 95 mm

Exemple: méthode itérative partielle NI = 510 kN MI = 15 (h-x) 15 kN 510 kN 9000 EI = 38.37 E6 x A B Détermination de ΔS1

(Théorème de la force unité) Exemple: méthode itérative partielle 15 kN 510 kN 9000 EI = 38.37 E6 x A B Détermination de Δy1B (Théorème de la force unité) Note: en fait, il faudrait calculer Δy1(x) qui serait en x5.

Exemple: méthode itérative partielle 15 kN 510 kN 9000 EI = 38.37 E6 x A B A titre d'approximation, on va supposer que Δy1(x) est parabolique avec une valeur maximale de 40.96 mm

Etc. C'est long. Résultats exacts: M = 220.5 kNm, y = 167.7 mm

En fait,  dépend de x. On choisit  en un point particulier (moment à l'encastrement, déplacement à mi-travée). Si on observe 1 = 2 = … = n = , alors;

(1) Autre forme de la même formule: (1b) On peut simplifier en posant 0 = 1 =  (2)

1: SII = 135 + 48.45 (1/(1-0.43)) = 220 1b: SII = 135 (1 + 0.36/(1-0.43) ) = 220 2 avec 1 : SII = 135/(1-0.43) = 237 2 avec 0 : SII = 135/(1-0.36) = 211

!!! Les erreurs se répercutent de pas en pas Sollicitations S, déplacements v Méthode itérative globale SI vI(SI) ΔS1(vI) S1 = SI+ ΔS1(vI) v2(S1) ΔS2(v2) S2 = SI+ ΔS2(v2) v3(S2) ΔS3(v3) S3 = SI+ ΔS3(v3) v4(S3) ΔS4(v4) etc Convergence assurée si N < Ncrit !!! Les erreurs se répercutent de pas en pas vII  Vn SII  SI+ΔSn

VI V2 DS1 SI S1

V2 DS2 DS1 SI S2 S1

Application de la méthode à un portique multi-étagé.

Position déformée à un niveau lors d'une itération u,i-1 u,i V1 V2 V3 V4 Le déplacement différentiel, u,i - u,i-1, crée un couple du second ordre pour les efforts Vi

Position déformée à un niveau lors d'une itération u,i-1 u,i V1 V2 V3 V4 Hi Hi On applique une paire d'efforts horizontaux Hi donnés par:

Position déformée à un niveau lors d'une itération u,i-1 u,i V1 V2 V3 V4 Hi Hi-Hi+1 Hi-Hi-1 Hi En fait, à cause des étages supérieur et inférieur, on a une différence de forces à chaque niveau.

On peut donc étudier les effets du déplacement horizontal des forces V en étudiant le portique non déformé soumis à des forces horizontales.

Charge critique élastique linéaire On suppose un état de référence libre de toute flexion. Donc vI = SI = 0 On ne peut donc avoir instabilité (et vII  0 et SII  0) que si  = 1 En pratique, pour déterminer , on démarre avec une déformée de flexion estimée

Exemple: colonne bi-articulée Déformée de flexion estimée: (intégration de v'' = -M/EI) donne

donne donc une mesure de l'éloignement vis-à-vis de la charge critique. Si  est petit, P est éloigné de Pcr. Si  est proche de 1, P est proche de Pcr. devient => Si on connaît Pcr (et P, bien entendu), on peut avoir une bonne estimation des sollicitations et des déformations au second ordre.

Rappel de la méthode des rotations appliquée à un portique multi-étagé Méthode directe Rappel de la méthode des rotations appliquée à un portique multi-étagé Dans chaque barre, on a: Mg = mg + 2EI/L ( 2Φg+Φd-3ψ) Md = md + 2EI/L ( 2Φd+Φg-3ψ) avec M: moments d'extrémités dans la barre m: moments d'encastrement parfaits Φ: rotations des nœuds ψ: déviation de la corde de la barre

Dans chaque barre, on a: Mg = mg + 2EI/L ( 2Φg+Φd-3ψ) Md = md + 2EI/L ( 2Φd+Φg-3ψ) A chaque nœud, on a Σi Mi + Mext = 0 A chaque étage, on a: