II Fonction dérivée 1°) Définition : f ‘(a) existe pour tout a de l’ensemble de dérivabilité, et est unique, donc tout antécédent a est associé à une unique image f ‘(a), donc a → f ‘(a) est une fonction nommée f ‘.

II Fonction dérivée 1°) Définition : f ‘(a) existe pour tout a de l’ensemble de dérivabilité, et est unique, donc tout antécédent a est associé à une unique image f ‘(a), donc a → f ‘(a) est une fonction nommée f ‘. f ‘ : a → f ‘(a) mais nous avons l’habitude …

II Fonction dérivée 1°) Définition : f ‘(a) existe pour tout a de l’ensemble de dérivabilité, et est unique, donc tout antécédent a est associé à une unique image f ‘(a), donc a → f ‘(a) est une fonction nommée f ‘. f ‘ : a → f ‘(a) mais nous avons l’habitude de nommer x l’antécédent. Peut-on changer tout de suite a en x pour déterminer f ‘(x) ?

II Fonction dérivée 1°) Définition : f ‘(a) existe pour tout a de l’ensemble de dérivabilité, et est unique, donc tout antécédent a est associé à une unique image f ‘(a), donc a → f ‘(a) est une fonction nommée f ‘. f ‘ : a → f ‘(a) mais nous avons l’habitude de nommer x l’antécédent. Peut-on changer tout de suite a en x pour déterminer f ‘(x) ? Non, car on utilise déjà la lettre x comme abscisse de M : f(x) – f(a) f ‘(a) = lim x → a x – a donc on remplacera a par x après avoir déterminé f ‘(a).

Exemple : f(x) = x² Déterminez f ‘(x)

f(x) = x² Déterminez f ‘(x) f(x) – f(a) x² – a² f ‘(a) = lim = lim x → a x – a x → a x – a ( x – a ) ( x + a ) = lim = lim ( x + a ) = … x → a x – a x → a

f(x) = x² Déterminez f ‘(x) f(x) – f(a) x² – a² f ‘(a) = lim = lim x → a x – a x → a x – a ( x – a ) ( x + a ) = lim = lim ( x + a ) = a + a = 2a x → a x – a x → a

f(x) = x² Déterminez f ‘(x) f(x) – f(a) x² – a² f ‘(a) = lim = lim x → a x – a x → a x – a ( x – a ) ( x + a ) = lim = lim ( x + a ) = a + a = 2a x → a x – a x → a f ‘(a) = 2a donc f ‘(x) = 2x A partir de f on a obtenu f ‘ en dérivant, qui correspond au « ’ », on peut écrire : ( x² )’ = 2x

Si l’on avait pris la 2ème formule … f(x+h) – f(x) (x+h)² – x² f ‘(x) = lim = lim h → 0 (x+h) – (x) h → 0 h (x² + 2xh + h²) – x² 2xh + h² = lim = lim = lim 2x + h h → 0 h h → 0 h h → 0 = 2x + 0 = 2x Plus besoin de faire de changement de variable ! Mais la signification de la méthode ( coefficient directeur ) n’apparaît plus !

Exercice 4 : Déterminez f ‘(x) 1°) f(x) = 2x² + 5 2°) f(x) = 3x - 7 3°) f(x) = 1/x définie sur R* 4°) f(x) = 6/(2x+1) définie sur R+ 5°) f(x) = √x définie sur R+* 6°) f(x) = 3√(5x+2) définie sur R+

1°) f(x) = 2x² + 5 Déterminez f ‘(x) f(x) – f(a) (2x²+5) – (2a²+5) f ‘(a) = lim = lim x → a x – a x → a x – a 2( x² – a² ) 2(x + a)(x – a) = lim = lim = lim 2( x + a ) x → a x – a x → a x – a x → a = 2(a + a) = 4a f ‘(a) = 4a donc f ‘(x) = 4x A partir de f on a obtenu f ‘ en dérivant, qui correspond au « ’ », on peut écrire : (2x² + 5)’ = 4x

2°) f(x) = 3x – 7 Déterminez f ‘(x) f(x) – f(a) (3x – 7) – (3a – 7) f ‘(a) = lim = lim x → a x – a x → a x – a 3x – 3a 3( x – a ) = lim = lim = lim 3 = 3 x → a x – a x → a x – a x → a f ‘(a) = 3 donc f ‘(x) = 3 On peut écrire : ( 3x - 7 )’ = 3

2°) f(x) = 3x – 7 Déterminez f ‘(x) Autre méthode ( utilisable uniquement pour cet exemple ) : La fonction est affine, donc la courbe de f est une droite, donc toutes les tangentes sont confondues avec la droite, donc elles ont le même coefficient directeur, coeff. directeur des tangentes = coeff. directeur de la droite f ‘(x) = 3

3°) f(x) = 1/x Déterminez f ‘(x) 1 1 1a 1x f(x) – f(a) x a xa ax f ‘(a) = lim = lim = lim x → a x – a x → a x – a x → a x – a a - x xa a – x 1 - 1 ( x – a ) = lim = lim × = lim x → a x – a x → a xa x – a x → a xa (x – a) - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 1 ’ - 1 = lim = = f ‘(a) = donc f ‘(x) = = x → a xa aa a² a² x² x x²

4°) f(x) = 6/(2x+1) Déterminez f ‘(x) 6 6 f(x) – f(a) 2x+1 2a+1 f ‘(a) = lim = lim x → a x – a x → a x – a 6(2a+1) 6(2x+1) (2x+1)(2a+1) (2x+1)(2a+1) = lim x → a x – a 6(2a+1) - 6(2x+1) - 12( x – a ) = lim = lim x → a (2x+1)(2a+1) (x – a) x → a (2x+1)(2a+1) (x – a)

4°) f(x) = 6/(2x+1) Déterminez f ‘(x) f(x) – f(a) f ‘(a) = lim = … voir page précédente x → a x – a - 12 - 12 - 12 = lim = = x → a (2x+1)(2a+1) (2a+1)(2a+1) (2a + 1)² - 12 6 ‘ - 12 donc f ‘(x) = et = (2x + 1)² 2x + 1 (2x + 1)²

5°) f(x) = √x Déterminez f ‘(x) f(x) – f(a) √x - √a √x - √a f ‘(a) = lim = lim = lim x → a x – a x → a x – a x → a (√x)² - (√a)² √x - √a 1 1 1 = lim = lim = = x → a (√x - √a) (√x + √a) x → a √x + √a √a + √a 2 √a 1 1 f ‘(x) = donc ( √x )’ = 2 √x 2 √x

6°) f(x) = 3√(5x+2) Déterminez f ‘(x) f(x) – f(a) 3 5x+2 – 3 5a+2 3[ 5x+2 - 5a+2 ] f ‘(a) = lim = lim = lim x → a x – a x → a x – a x → a x – a 3[ 5x+2 - 5a+2 ] × [ 5x+2 + 5a+2 ] = lim x → a ( x – a ) × [ 5x+2 + 5a+2 ] 3[ ( 5x+2 )² - ( 5a+2 )² ] = lim = … x → a ( x – a ) × [ 5x+2 + 5a+2 ]

6°) f(x) = 3 5x+2 Déterminez f ‘(x) f(x) – f(a) f ‘(a) = lim = … voir page précédente x → a x – a 3[ (5x+2) - (5a+2) ] 15x + 6 – 15a - 6 = lim = lim x → a ( x – a ) × [ 5x+2 + 5a+2 ] x → a (x – a)[ 5x+2 + 5a+2 ] 15 ( x – a ) 15 x → a ( x – a ) × [ 5x+2 + 5a+2 ] x → a 5x+2 + 5a+2

6°) f(x) = 3√(5x+2) Déterminez f ‘(x) f(x) – f(a) f ‘(a) = lim = … voir page précédente x → a x – a 15 15 15 = lim = = x → a 5x+2 + 5a+2 5a+2 + 5a+2 2 5a+2 15 15 f ‘(x) = donc ( 3 5x+2 )’ = 2 5x+2 2 5x+2

Si l’on veut utiliser le même outil algébrique que pour la fonction √x :

Si l’on veut utiliser le même outil algébrique que pour la fonction √x : f(x) – f(a) 3 5x+2 – 3 5a+2 3[ 5x+2 - 5a+2 ] f ‘(a) = lim = lim = lim x → a x – a x → a x – a x → a x – a 3[ 5x+2 - 5a+2 ] × 5 = lim x → a ( 5x+2 )² – ( 5a+2 )² 3[ 5x+2 - 5a+2 ] × 5 = lim = … x → a [ 5x+2 + 5a+2 ] × [ 5x+2 + 5a+2 ]

Si l’on veut utiliser le même outil algébrique que pour la fonction √x : f(x) – f(a) f ‘(a) = lim = … voir page précédente x → a x – a 15 15 15 = lim = = x → a 5x+2 + 5a+2 5a+2 + 5a+2 2 5a+2 etc …