Méthodes de prévision (STT-3220) Section 5 Concepts fondamentaux de séries chronologiques Version: 7 mars 2017

STT-3220; Méthodes de prévision Lissage exponentiel L’idée est de donner plus de poids aux observations récentes, et moins aux observations passées. Conceptuellement, on a modélisé des données que l’on présumait implicitement dépendantes, sans véritablement exploiter ou décrire la dépendance entre les observations. Le choix du paramètre de lissage est ad hoc. Comment adapter le modèle pour des données affichant une dépendance plus complexe n’est pas évident. 2 STT-3220; Méthodes de prévision

STT-3220; Méthodes de prévision Modèles ARMA et ARIMA Classe de modèles issue de notre compréhension des processus stochastiques stationnaires. Ces modèles peuvent modéliser un grand nombre de séries chronologiques, pouvant admettre une structure assez complexe de corrélation. 3 STT-3220; Méthodes de prévision

STT-3220; Méthodes de prévision Séries chronologiques et processus stochastiques Série chronologique: On considère une série chronologique observée à des temps discrets 1, 2, …, n: z1, z2, …, zn; c’est une réalisation finie d’un processus stochastique. Processus stochastiques: Famille infinie de variables aléatoires et T pourrait être de cardinalité infinie. Fonction moyenne: Fonction de variance: 4 STT-3220; Méthodes de prévision

STT-3220; Méthodes de prévision Processus stationnaires au sens large Le processus est stationnaire au sens large (SSL) si les trois conditions suivantes sont satisfaites: 1) Existence du second moment, 2) La moyenne est invariante dans le temps: 3) La covariance satisfait, pour tous t, s entiers: 5 STT-3220; Méthodes de prévision

STT-3220; Méthodes de prévision Fonction d’autocovariance Puisque , on pose: La fonction  , est appelée la fonction d’autocovariance de délai k du processus . 6 STT-3220; Méthodes de prévision

STT-3220; Méthodes de prévision Propriétés de la fonction d’autocovariance 1. 2. En particulier, La propriété 2. est une application directe de l’inégalité de Cauchy-Schwartz: 7 STT-3220; Méthodes de prévision

STT-3220; Méthodes de prévision Propriétés de la fonction d’autocovariance (suite) 3. La fonction  est symétrique par rapport à 0, i.e. paire, car: 4. La fonction  est définie non-négative, i.e. 8 STT-3220; Méthodes de prévision

STT-3220; Méthodes de prévision Fonction d’autocorrélation Considérons maintenant: On pose: C’est l’autocorrélation de délai k. La fonction  est la fonction d’autocorrélation du processus 9 STT-3220; Méthodes de prévision

STT-3220; Méthodes de prévision Propriétés de la fonction d’autocorrélation 1. 2. 3. 4. La fonction  est définie non-négative, i.e. que 10 STT-3220; Méthodes de prévision

STT-3220; Méthodes de prévision Bruit blanc (faible) Définition d’un bruit blanc (faible): Une suite de variables aléatoires non-corrélées est un bruit blanc (faible). On note Dans ce cas, on remarque que: 11 STT-3220; Méthodes de prévision

STT-3220; Méthodes de prévision Bruit blanc En particulier, un bruit blanc (faible) est stationnaire au sens large. Remarque: Si est iid, on dit que l’on est en présence d’un bruit blanc fort. Est-ce qu’un bruit blanc fort est bruit blanc faible? 12 STT-3220; Méthodes de prévision