Scénario Quatre hipsters entrent en collision un dans l'autre dans un ascenseur plein de personnes. En conséquence ils laissent tomber leurs téléphones cellulaires identiques lorsque les portes de l'ascenseur se ferment. Dans la course pour récupérer leurs téléphones, chacun ramasse un des téléphones au hasard. Nous revisitons ce scénario afin de déterminer la probabilité théorique de divers résultats/possibilités associés à l’événement dit «nombre de correspondances correctes» La probabilité de l'occurrence d’un événement aléatoire particulier est définie comme la proportion de fois (la fréquence relative) que l'événement se produirait à long terme--si le processus aléatoire qui le génère serait répété infiniment de fois dans des conditions identiques. Parfois la probabilité d'un événement peut être déterminée en utilisant une analyse théorique pour calculer sa valeur exacte.

Parfois la probabilité d'un événement peut être déterminée en utilisant une analyse théorique pour calculer sa valeur exacte. Dans des situations où les résultats d'un processus aléatoire ont tous la même chance d'occurrence, la probabilité théorique (exacte) de chaque résultat peut être déterminée à l'aide d'une liste de tous les résultats possibles pour calculer la proportion d’eux qui correspondent au résultat d'intérêt. On appelle une telle liste l'espace des possibilités (ou l'espace d'échantillonnage).

Une liste de tous les résultats possibles générés par un processus aléatoire conjointement avec la probabilité de chaque résultat consiste en une distribution de probabilités (de ces résultats)

1. Multipliez chaque résultat par sa probabilité associée Une liste de tous les résultats possibles générés par un processus aléatoire conjointement avec la probabilité de chaque résultat consiste en une distribution de probabilités (de ces résultats) L'on appelle la valeur moyenne à long terme de l’événement «nombre de correspondances correctes» son espérance mathématique (autrement dit «sa valeur prévue» ou «valeur probable») Pour calculer l'espérance mathématique à partir d'une distribution de probabilités:   1. Multipliez chaque résultat par sa probabilité associée 2. Calculez la somme de tous ces résultats pondérés:   Résultat 1 x Prob(résultat 1) + Résultat 2 x Prob(résultat 2) + ...

Une liste de tous les résultats possibles générés par un processus aléatoire conjointement avec la probabilité de chaque résultat consiste en une distribution de probabilités (de ces résultats) L’espérance mathématique du nombre de correspondances correctes est égale à 1,00 (théorique). Ceci consiste en la valeur moyenne à long terme de l’événement «nombre de correspondances correctes». Le graphique ci-dessous montre que la valeur de l’espérance mathématique empirique (en noir) converge vers l’espérance mathématique théorique (en rouge).

Le tableau ci-dessous présente les résultats empiriques de 5000 répétitions (simulées) de l’expérience aléatoire, indiquant la fréquence observée de chaque résultat et la proportion correspondante : On peut estimer de façon empirique le nombre moyen de correspondances correctes par répétition : (1880x0 + 1690x1 + 1240x2 + 0x3 + 190x4)/5000   = (1880/5000)x0 + (1690/5000)x1 + (1240/5000)x2 + (190/5000)x4 = 0,987

(1880x0 + 1690x1 + 1240x2 + 0x3 + 190x4)/5000  = (1880/5000)x0 + (1690/5000)x1 + (1240/5000)x2 + (190/5000)x4  = 0,986 Les étapes et le résultat de ce calcule nous permet de mieux comprendre deux choses : 1) Le nombre moyen de correspondances correctes c’est la même chose que l’espérance mathématique du nombre de correspondances correctes. Donc, en appliquant notre interprétation de la moyenne à ceci on obtient la signification suivante :   L’espérance mathématique du nombre de correspondances correctes signifie le nombre de correspondances correctes qu’aurait chacune des répétitions de l’expérience s’elles avaient toutes le même nombre de correspondances correctes (sans changer leur somme). Cela signifie donc une répartition égale (et fictive) du nombre total de correspondances correctes observée parmi les 5000 répétitions de l’expérience. 2) Ce nombre «fictif» est égal à 0,987, ce qui est très proche à 1,00 --la valeur théorique (obtenue selon la définition donnée précédemment).