Retour sur la notion de taux d’intérêt actualisation Taux d’intérêt composés

1. Taux d’intérêt réel / nominal

Supposons que je prête 100€ pour un an… Le taux d’intérêt est de 5 % L’inflation est de 3 % Donc la somme que l’on me rendra sera multipliée par… Donc la valeur de l’euro aura été divisée par… 1,05 1,03 X1=X0+X0 x i X1 = X0 (1+i) Avec i=5%=5/100=0,05 Les prix ont été multipliés par 1,03, la valeur de la monnaie a été divisée par 1,03

En prêtant 100€ me suis-je vraiment enrichi de 5 % ? On m’a remboursé 5% d’euros en plus : je suis 1,05 fois plus riche. Au total on m’a remboursé 100 x 1,05 / 1,03 = 101,94 Mais ces euros se sont dépréciés de 3% : ils valent 1,03 fois moins Donc le taux d’intérêt est en réalité de… 1,94% X1 en euros constants / x0 = 101,94/100 = 1,0194

Quel est le taux d’intérêt réel dans l’exemple précédent ? Rappelez la définition du taux d’intérêt réel et du taux d’intérêt nominal : internet internet Que signifie un taux d’intérêt réel négatif ? Tx nominal – Tx d’inflation = 5-3 = 2% Tx nominal < Tx d’inflation

Retenons la formule (approximative) Tx d’int. réel (ir) =Tx d’int. nominal (in) – tx d’inflation (t) Etes vous capable d’écrire la formule rigoureuse ? ir=[(1+in)/(1+t)] - 1

Quizz… L’inflation favorise… les créanciersles débiteurs Quand les anticipations d’inflation sont fortes les prêteurs vont proposer… des taux plus élevésdes taux plus bas

2. Taux d’intérêt composés

Supposons le taux d’intérêt égal à 3% Je prête 100 euros pour une période de 10 ans. (on néglige ici l’inflation) De quelle somme serai-je remboursé ?

D’où la formule X n =X o (1+i) n Avec X o la somme initialement prêtée, X n la somme rendue après n années, i le taux d’intérêt en vigueur

Compliquons un peu Je prête 200 € pour 12 ans Le taux d’intérêt nominal est de 6% Le taux d’inflation moyen est de 2% Combien aurai-je gagné en € courants ? en € constants ?

En euros courants La somme rendue sera égale à 200 x (1+0,06) 12 = 402,44 Remarquons au passage qu’un taux d’intérêt de 6% appliqué pendant 12 ans accroit la somme, non pas de 6x12= 72 % mais de 101,22 %

En euros constants Première méthode (rigoureuse) Calculons rigoureusement le taux d’intérêt réel Chaque année le montant prêté est multiplié par 1,06 Mais la valeur de l’euro est divisée par 1,02 1,06 / 1,02 =1,0392 (taux d’intérêt réel = 3,92 %) 200 x 1, = 317,32 €

En euros constants Deuxième méthode (approximative) Calculons approximativement le taux d’intérêt réel Taux d’intérêt réel = taux d’intérêt nominal – taux d’inflation = 6% - 2% = 4% 200 x 1,04 12 = 320,21 €

En euros constants Troisième méthode (rigoureuse) Puisqu’on me rembourse 402,44 € en euros courants Je n’ai qu’à les ramener à des euros constants 402,44 / 1,02 12 = 317,32 € Les prix ont été multipliés par 1,02 12 Le pouvoir d’achat de l’euro a été divisé par 1,02 12 Le résultat est le même qu’avec la première méthode

3. Actualisation

Supposons que je prête 100 euros à 3% pour 10 ans (en négligeant l’inflation) Inversement si on me propose de me verser 134 € dans 10 ans… Donc la somme que l’on me rendra sera multipliée par… A combien suis-je prêt à renoncer aujourd’hui pour cela ? 1,03 10 =1, €

Par le biais des intérêts, une somme actuelle est multipliée dans n années par (1+i) n Donc pour calculer la valeur actuelle d’une somme perçue dans l’avenir on la divise par (1+i) n

C’est la même opération inversée somme actuelle somme dans n années multiplier par(1+i) n diviser par(1+i) n

Un investissement va rapporter… euros l’an prochain euros l’année suivante 8000 euros l’année d’après et c’est tout. Quel est le montant qu’on peut y engager si le taux d’intérêt est de 7% ?

Actualisons le revenu futur € l’an prochain = / 1,07 aujourd’hui € dans deux ans = / (1,07) 2 aujourd’hui 8000 € dans 3 ans = 8000 / (1,07) 3 aujourd’hui / 1, / (1,07) / (1,07)3 = 28977,76

Que signifie ce résultat ? La valeur actualisée des annuités futures de ce projet représente 28977,76 € Si j’avais 28977,76 € et que je les plaçais au taux d’intérêt courant (7%) je pourrais obtenir dans un an, dans deux ans et 8000 dans 3 ans (en retirant progressivement les fonds placés) Et cela, sans rien faire ni courir de risque Il n’est donc pas rationnel d’engager plus de , 76 € dans ce projet. Et si le taux d’intérêt augmentait, serais-je prêt à y engager plus ou moins de fonds ? Moins, car la valeur actualisée des annuités futures diminue quand le taux d’intérêt augmente.

Quizz… Si le taux d’intérêt augmente une somme future représente en valeur actualisée… plus qu’avantmoins qu’avant Plus le taux d’intérêt est élevé, plus les agents économiques préfèrent les revenus actuels aux revenus futurs préfèrent les revenus futurs aux revenus actuels  

Quizz… Si le taux d’intérêt diminue, un titre qui rapporte 1000€ par an vaudra plus cher qu’avantmoins cher qu’avant  Ce principe gouverne l’évolution du marché obligataire : les obligations sont des titres de créances porteurs d’un intérêt fixe. Quand les taux baissent les cours des obligations augmentent Quand les taux augmentent les cours des obligations baissent