Fonctions Logiques & Algèbre de BOOLE Chapitre II Fonctions Logiques & Algèbre de BOOLE

Plan du chapitre Introduction : Algèbre de BOOLE Définitions Table de vérité Équation logique à "1" d'une sortie Fonctions logiques Opérateurs logiques Représentation des fonctions logiques complexes : Le logigramme Théorèmes de l'algèbre de BOOLE Optimisation des systèmes combinatoires

Introduction : Algèbre de BOOLE Publication par Georges BOOLE, en 1854 d'un essai de raisonnement sur des propositions auxquelles les seules réponses possibles étaient : Oui ou Non.  L'ensemble d'opérations forme une structure mathématique (algèbre) nommée "Algèbre de BOOLE" Cette algèbre est basée sur l'utilisation de variable ne pouvant prendre que deux valeurs : 0 et 1

Définitions Variable logique : Grandeur, représentée par un identificateur (lettre ou nom) qui peut prendre la seule valeur 0 ou 1. Niveau logique : En électronique, une variable logique est concrétisée par un signal électrique (tension ou courant) qui peut prendre deux niveaux électriques (ou niveaux logiques) : - le niveau logique Haut (H) ou High - le niveau logique Bas (L) ou Low Algèbre de BOOLE : Ensemble de variables à 2 états, de valeur (ou état) "1" (Vrai) ou "0" (Faux) et muni d'un petit nombre d'opérateurs fondamentaux :, ET, OU et NON.

Table de vérité Une table de vérité est une représentation graphique (tableau) faisant connaître la réaction du circuit logique, c’est à dire l’état de la sortie S en fonction de toutes les combinaisons de valeurs que peuvent prendre les variables binaires d’entrées : E1, E2, …, Ei, …,En. Exemple d’une table de vérité d'une fonction logique à deux entrées E1 et E2 et une sortie S :

Table de vérité - suite Nombre de variables d’entrées : 2 Nombre de combinaisons de valeurs possibles pour les variables d’entrées : 22 = 4

Table de vérité - suite 1ère forme canonique de Shannon La fonction peut être écrite comme la somme des termes pour lesquels la fonction vaut 1. La décomposition en une "Somme de produits" est appelée la 1ère forme canonique de Shannon.

Table de vérité - suite 2ème forme canonique de Shannon La fonction peut être écrite comme produit des termes pour lesquels la fonction vaut 0. La décomposition en un "Produit  de sommes" est appelée la 2ème forme canonique de Shannon.

Équation logique à "1" d'une sortie L’équation logique à "1" d’une sortie traduit, sous forme d’une équation mathématique, le comportement de la sortie de la fonction logique. Elle consiste en l’écriture d’une équation des cas où la sortie S de la fonction logique est égale à "1". L’équation logique peut être trouvée à partir de la table de vérité d’une fonction.

Équation logique à "1" d'une sortie - suite Exemple : Rechercher l’équation logique de la fonction "OU EXCLUSIF" dont la table de vérité est donnée au paragraphe précédent. Écriture des cas où S est à "1" : Remarque : Nous verrons par la suite qu’il est possible de simplifier une équation logique.

Fonctions logiques En général, dans un Système Technique Industriel (S.T.I) la chaîne électronique de traitement de l’information fonctionne avec des variables binaires. Cette chaîne de traitement est constituée par un assemblage de fonctions logiques représentatives de l’électronique numérique.

Opérateurs logiques Opérateur logique NON (NOT) Table de vérité Symbole Équation logique (à "1") de la sortie

Opérateurs logiques – suite Opérateur logique OU (OR) Table de vérité Symbole Équation logique (à "1") de la sortie

Opérateurs logiques – suite Opérateur logique ET (AND) Table de vérité Symbole Équation logique (à "1") de la sortie

Opérateurs logiques – suite Opérateur logique NON-OU (NOR) Table de vérité Symbole Équation logique (à "1") de la sortie

Opérateurs logiques – suite Opérateur logique NON-ET (NAND) Table de vérité Symbole Équation logique (à "1") de la sortie

Opérateurs logiques – suite Opérateur logique OU-EXCLUSIF (XOR) Table de vérité Symbole Équation logique (à "1") de la sortie

Représentation des fonctions logiques complexes : Le logigramme Le logigramme (ou diagramme logique) permet la représentation graphique d’une fonction logique complexe constituée d’un ensemble d’opérateurs interconnectés. La réalisation d’un logigramme consiste en l’association organisée d’opérateurs logiques traduisant une équation logique sans se soucier de la technologie adoptée.

Représentation des fonctions logiques complexes : Le logigramme – suite Exemple 1 Dessiner le logigramme correspondant à l’équation Logique : S1 = Exemple 2 Trouver l’équation logique correspondant au logigramme

Représentation des fonctions logiques complexes : Le logigramme – suite Exercices Établir le logigramme correspondant à l’équation suivante : S2 = Établir le logigramme correspondant à l’équation suivante : S3 = Établir les tables de vérité correspondantes respectivement aux équations logiques de S1, S2 et S3.

Théorèmes de l'algèbre de BOOLE Propriétés de l'algèbre de BOOLE

Théorèmes de l'algèbre de BOOLE Théorèmes de DE MORGAN Intérêt : Simplifier et optimiser la conception des structures à base d’opérateurs logiques.

Théorèmes de l'algèbre de BOOLE - suite Exemple : S = A + B Exercice1 à l’aide des propriétés de l’algèbre de BOOLE, simplifier les expressions suivantes : S1 = a + ( b . a ) , S2 = a . ( b + a ) Exercice2 Démontrer les égalités suivantes : A + A.B = A + B (A + B) . (A + B) = B

Optimisation des systèmes combinatoires Conception de systèmes de nature combinatoire La réalisation d'un système combinatoire nécessite un cahier des charges (table de vérité ). Tirer une expression booléenne qu'il convient de simplifier afin de réduire la complexité de la réalisation. Plusieurs méthodes d'extraction et de simplification des équations booléennes.

Optimisation des systèmes combinatoires – suite 1ère méthode (méthode algébrique) : Pour chaque sortie, écrire la "somme" logique des lignes où la variable de sortie est à "1". Nota. Lorsque les états "1" sont plus nombreux que les états "0", il est avantageux d'écrire le complément de la somme logique des lignes où la variable de sortie prend la valeur "0". Simplifier l'expression obtenue en utilisant les propriétés de l'algèbre de BOOLE. Nota. Cette méthode peut convenir pour les cas où le nombre de variables d'entrée ne dépasse pas 2 ou 3.

Optimisation des systèmes combinatoires – suite Méthode algébrique : Exemple Soit l'expression S = a.b + a.c + b.c  S = a.b + a.c + b.c.1  S = a.b + a.c + b.c.(a+a)  S = a.b.(1+c) + a.c.(1+b) En définitif : S = a.b + a.c

Optimisation des systèmes combinatoires – suite 2ème méthode (méthode graphique) : Dans le cas où le nombre de variables devient trop important, il est plus avantageux d’utiliser une représentation graphique intitulée "Tableau de KARNAUGH" permettant de trouver directement une expression simplifiée de l’équation de sortie d’une fonction logique.

Optimisation des systèmes combinatoires – suite Définition : Outil graphique de simplification des équations logiques. Le nombre de cases du tableau est égal au nombre de combinaisons possibles pour les entrées soit : C=2n Où : C est le nombre de combinaisons et n est le nombre de variables (entrées).

Optimisation des systèmes combinatoires – suite Méthode graphique : Exemple Avec un opérateur XOR à 2 entrées, le tableau de KARNAUGH comporte 22 soit 4 cases. Remarque: 1 équation  1 tableau de KARNAUGH

Optimisation des systèmes combinatoires – suite Comment obtenir une équation simplifiée d'une sortie ? Groupement des cases On peut réunir les cases adjacentes qui sont à "1" à condition que leur nombre (nombre de cases adjacentes) soit une puissance de 2 : 1, 2, 4, 8, 16, 32, etc. Remarques importantes - On doit réaliser les plus grands regroupements possibles. Il est possible de faire des regroupements par symétrie, c'est-à-dire il est possible de faire des regroupements en regroupant les "1" situés de part et d’autre des deux axes de symétrie du tableau. Les "1" peuvent servir à plusieurs regroupements. Tous les "1" doivent êtres regroupés (au moins par défaut avec eux-mêmes)

Optimisation des systèmes combinatoires – suite

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Optimisation des systèmes combinatoires – suite Lorsque, dans un regroupement, une variable est présente à la fois sous la forme complémentée et non complémenté elle est éliminée.

Optimisation des systèmes combinatoires – suite

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Optimisation des systèmes combinatoires – suite Dans certains cas, nous avons des sorties indéterminés pour certaines conditions d’entrées. Principalement parce que ces conditions ne peuvent jamais exister. Dans ce cas, nous complétons notre diagramme avec des φ (ou X) et nous les considérons de la façon qui nous intéresse le mieux.

Optimisation des systèmes combinatoires – suite

Optimisation des systèmes combinatoires – suite Il est également possible de raisonner sur les cases de valeurs "0". La démarche est identique, le résultat trouvé est alors le complément logique de la sortie. Il suffit donc ensuite de complémenter ce résultat pour obtenir l'expression de la sortie logique S.

Optimisation des systèmes combinatoires – suite Exercices 1. Soit le tableau de KARNAUGH suivant : Écrire l'équation sous la 1ère forme canonique. Écrire l'équation sous la 2ème forme canonique. Écrire la forme algébrique simplifiée de cette équation. Câbler cette fonction en utilisant des portes NOR.

Optimisation des systèmes combinatoires – suite 2. Représenter les équations suivantes, sous forme de tableaux de KARNAUGH, puis déterminer, dans chaque cas, la forme simplifiée de Y. Y = a.b.c.d + a.c.d + a.c.d Y = c.d + a.c.d + a.c.d