Signaux aléatoires

Introduction Définition Signal bidimensionnel dépendant d'une variable d'espace (le temps) et d'une variable aléatoire. Objectifs Comment caractériser ce type de signaux. Notion de stationnarité et d'ergodicité

Fonction aléatoire Soit une fonction aléatoire X(t,) Pour t=ti , X(ti,) = Xi () variable aléatoire Pour i , X(t,i) = Xi (t) fonction classique

Caractéristiques statistiques Espérance Mathématique Pour une infinité de réalisations Moment du 1er Ordre, moyenne statistique.

Caractéristiques statistiques Moments Moment d'ordre n

Caractéristiques statistiques Variance Fluctuation autour de la moyenne

Caractéristiques statistiques Corrélation et Covariance Mesure de la dépendance

Caractéristiques statistiques E[x] E[x]+x) E[x]-x)

Stationnarité Au sens strict Les densités de probabilité jointes de toutes les V.A sont indépendantes du temps Au 2éme ordre Les densités de probabilité jointes jusqu'à l'ordre 2 sont indépendants du temps

Stationnarité Conséquences

Stationnarité propriétés de la fonction de corrélation

Stationnarité propriétés de la fonction de corrélation

Exemples Bruit d'un AOP xn / xn+5 C(x)

Ergodisme Moyennes d'ensemble = Moyennes temporelles Dans la pratique on ne dispose souvent que d'une réalisation du phénomène aléatoire. L'hypothèse d'ergodicité consiste à admettre que l'évolution d'un signal aléatoire au cours du temps apporte la même information qu'un ensemble de réalisations. Très difficile à prouver

Exemples Caractéristiques d'un AOP Ergodique Bruit: après stabilisation thermique, le processus est stationnaire et ergodique Non ergodique Offset: Offset (t,i) = i i loi uniforme entre ± vo le processus est stationnaire et non ergodique

Densité Spectrale de Puissance Un signal alèatoire ne possède pas de TF. Cependant on peut lui associer une notion de densité spectrale de puissance. Calcul de Sxx(f) en TD

Densité Spectrale de Puissance Théorème de Wiener-Kintchine La fonction de corrélation et la densité spectrale de puissance sont TF l'une de l'autre

Généralisation Interactions Soit deux processus aléatoires X et Y CXY et SXY sont complexes

Bruit Blanc Un bruit blanc est un processus aléatoire dont la densité spectrale est constante.

Bruit Blanc Sxx f C  a a 

Bruit Blanc à spectre borné C'est un bruit blanc dont le spectre est constant sur une bande de fréquences.

Bruit Blanc à spectre borné Sxx f C  a 2a 