Séminaire académique Mathématiques La proportionnalité au cycle 3 Rectorat de Poitiers - Jeudi 14 décembre 2017 Bernadette VIÉ – Sébastien PEYROT La proportionnalité est un thème mathématique dont l’étude s’étend de l’école primaire au lycée et même au-delà. Cette notion en prise directe avec la vie courante est un incontournable de toutes les disciplines scientifiques. C’est pourquoi l’initiation aux raisonnements propres à la proportionnalité est particulièrement importante. 1

Le programme Dans les classes Le programme du cycle 3 Des incontournables Quelques apports théoriques Les compétences mathématiques Des ressources Le programme que nous vous proposons pendant cet atelier est le suivant. Qu’observez-vous dans les classes à propos de l’enseignement de cette notion? Les références à la proportionnalité dans le programme de cycle 3. Une liste non exhaustive de conseils pour mettre en œuvre un enseignement efficace de la proportionnalité. Quelques apports théoriques visant à réaliser un état des lieux des procédures les plus courantes en matière de résolution de problèmes de proportionnalité. Les problèmes de proportionnalité permettent de développer les compétences mathématiques. B. VIÉ - S. PEYROT 2 2

Dans les classes Quelles pratiques pédagogiques observez-vous dans les classes en ce qui concerne l’enseignement de la proportionnalité? Les participants à cet atelier travailleront environ dix minutes à répondre à cette question. B. VIÉ - S. PEYROT 3 3

Dans les classes Quelles pratiques observe-t-on aujourd’hui? Les situations proposées … Les démarches et procédures de résolution … La temporalité et la progressivité … Les supports de communication … Les écrits institutionnalisés. Dans les classes, que pouvez-vous observer? La liste n’est pas exhaustive… La proportionnalité est présente dans les situations mathématiques dès la maternelle. Exemple. Une bille rouge vaut deux billes bleues. Si je te donne trois billes bleues, combien me donneras-tu de billes rouges? Le concept est aussi abordé au cycle 2 à travers l’apprentissage des tables de multiplication? Exemple. Si 1 vaut 6, combien valent 5 x 6? Dans le cadre d'une formation d'enseignants : Les questionner en amont du temps de formation sur l'enseignement de la proportionnalité ( où, quand, comment, avec quels supports, …) ou en début de module de formation En présentiel, conduire une analyse des supports élèves ( manuels – fichiers) : établir les constats quant à : la durée du module d'apprentissage proposé, Le positionnement dans l'année scolaire, Le nombre de séances proposées, Les procédures mises en jeu, et leur représentation La trace écrite proposée, ... B. VIÉ - S. PEYROT 4 4

Le programme du cycle 3 Compétences travaillées Modéliser Reconnaitre et distinguer des problèmes relevant de situations additives, multiplicatives, de proportionnalité. Dans la rubrique « Compétences travaillées » du programme du cycle 3, on trouve une référence à la proportionnalité en ce qui concerne la compétence « Modéliser ». B. VIÉ - S. PEYROT 5 5

Le programme du cycle 3 Partie « Nombres et calculs » Proportionnalité Attendu de fin de cycle : « Résoudre des problèmes en utilisant des fractions simples, les nombres décimaux et le calcul. » Proportionnalité Connaissances et compétences associées Reconnaitre et résoudre des problèmes relevant de la proportionnalité en utilisant une procédure adaptée. Exemples de situations, d’activités et de ressources pour l’élève. Situations permettant une rencontre avec des échelles, des vitesses constantes, des taux de pourcentage, en lien avec l’étude des fractions décimales. Mobiliser les propriétés de linéarité (additives et multiplicatives), de proportionnalité, de passage à l’unité. Utiliser des exemples de tableaux de proportionnalité. La proportionnalité apparaît dans toutes les parties du programme de cycle 3 : « Nombres et calculs », « Grandeurs et mesures » et « Espace et géométrie ». Elle est évoquée dans trois attendus de fin de cycle sur neuf. Les attendus de fin de cycle 3 Utiliser et représenter les grands nombres entiers, des fractions simples, les nombres décimaux. Calculer avec des nombres entiers et des nombres décimaux. Résoudre des problèmes en utilisant des fractions simples, les nombres décimaux et le calcul. Comparer, estimer, mesurer des grandeurs géométriques avec des nombres entiers et des nombres décimaux : longueur (périmètre), aire, volume, angle. Utiliser le lexique, les unités, les instruments de mesures spécifiques de ces grandeurs. Résoudre des problèmes impliquant des grandeurs (géométriques, physiques, économiques) en utilisant des nombres entiers et des nombres décimaux. (Se) repérer et (se) déplacer dans l’espace en utilisant ou en élaborant des représentations. Reconnaitre, nommer, décrire, reproduire, représenter, construire des figures et solides usuels. Reconnaitre et utiliser quelques relations géométriques (notions d’alignement, d’appartenance, de perpendicularité, de parallélisme, d’égalité de longueurs, d’égalite d’angle, de distance entre deux points, de symétrie, d’agrandissement et de réduction). B. VIÉ - S. PEYROT 6 6

Le programme du cycle 3 Partie : « Grandeurs et mesures ». Dans le cadre des grandeurs, la proportionnalité sera mise en évidence et convoquée pour résoudre des problèmes dans différents contextes. Attendu de fin de cycle : « Résoudre des problèmes impliquant des grandeurs (géométriques, physiques, économiques) en utilisant des nombres entiers et des nombres décimaux. » Proportionnalité Connaissances et compétences associées Identifier une situation de proportionnalité entre deux grandeurs Graphiques représentant des variations entre deux grandeurs. Exemples de situations, d’activités et de ressources pour l’élève. Comparer distance parcourue et temps écoulé, quantité d’essence consommée et distance parcourue, quantité de liquide écoulée et temps écoulé, etc. Les grandeurs à appréhender par exemple : longueurs, aires, volumes, durées, prix, masses. On pourra signaler les travaux de l’IREM de Poitiers; « Enseigner les mathématiques par les grandeurs », recherches s ’appuyant sur des textes du didacticien Yves CHEVALLARD (AER et PER). Le site « M@ths en-vie » donne aussi des exemples de situations à utiliser en classe. B. VIÉ - S. PEYROT 7 7

Le programme du cycle 3 Partie « Espace et géométrie » Les activités spatiales et géométriques sont à mettre en lien avec les deux autres thèmes : résoudre dans un autre cadre des problèmes relevant de la proportionnalité ; utiliser en situation les grandeurs (géométriques) et leur mesure. Attendu de fin de cycle : « Reconnaitre et utiliser quelques relations géométriques. » Proportionnalité Connaissances et compétences associées Reproduire une figure en respectant une échelle. Agrandissement ou réduction d’une figure. Exemples de situations, d’activités et de ressources pour l’élève. Reproduire une figure à partir d’un modèle (l’échelle pouvant être donnée par des éléments déjà tracés). La proportionnalité est peut-être moins investie dans cette partie du programme au cycle 3. B. VIÉ - S. PEYROT 8 8

Le programme du cycle 3 Repère de progressivité : la cas particulier de la proportionnalité La proportionnalité doit être traitée dans le cadre de chacun des trois domaines « nombres et calculs », « grandeurs et mesures » et « espace et géométrie ». En CM1, le recours aux propriétés de linéarité (additive et multiplicative) est privilégiée dans des problèmes mettant en jeu des nombres entiers. Ces propriétés doivent être explicitées ; elles peuvent être institutionnalisées de façon non formelles à l’aide d’exemples (« si j’ai deux fois, trois fois … plus d’invités, il me faudra deux fois, trois fois … plus d’ingrédients » ; «  si 6 stylos coûtent 10 euros et 3 stylos coûtent 5 euros, alors 9 stylos coûtent 15 euros »). Les procédures du type passage à l’unité ou calcul du coefficient de proportionnalité sont mobilisées progressivement sur des problèmes le nécessitant et en fonction des nombres (entiers ou décimaux) choisis dans l’énoncé ou intervenant dans les calculs. À partir du CM2, des situations impliquant des échelles ou des vitesses constantes peuvent être rencontrées. Le sens de l’expression «  … % de » apparait en milieu de cycle. Il s’agit de savoir l’utiliser dans des cas simples (50 %, 25 %, 75 %, 10%) ou aucune technique n’est nécessaire, en lien avec les fractions d’une quantité. En fin de cycle, l’application d’un taux de pourcentage est un attendu. Cette diapositive ainsi que les trois précédentes vont justifier quelques-uns des incontournables qui vont suivre. B. VIÉ - S. PEYROT 9 9

Des incontournables Les situations proposées Choisir des situations de la vie quotidienne, ou en lien avec les autres disciplines qui sont porteuses de sens. Varier les situations en les choisissant dans les trois parties du programme. Confronter aussi les élèves à des situations qui ne relèvent pas de la proportionnalité. Se méfier des situations réelles et des représentations que peuvent en avoir les élèves. Le travail technique et le sens doivent se nourrir l’un de l’autre. Il semble naturel de faire fréquenter la notion de proportionnalité aux élèves par la résolution de problèmes concrets dans le but de donner du sens aux principales procédures qui feront l’objet d’un enseignement sur le long terme (liaison école-collège). Dans cet objectif, technique et sens doivent se nourrir l’un l’autre. Exemple de situations qui ne relèvent pas de la proportionnalité : taille et poids ; nombre de buts et nombre de matchs ; nombre d’enfants et nombres de familles, etc. B. VIÉ - S. PEYROT 10 10

Des incontournables Les démarches et procédures de résolution Apprendre à mobiliser différentes procédures pour résoudre les problèmes relevant de la proportionnalité. Permettre l’élaboration de procédures qui s’appuient sur le sens. Ne pas les imposer aux élèves à priori (paramètre de différenciation). Permettre les échanges entre élèves pour comparer l’efficacité des procédures dans le contexte proposé. Comparer ces procédures pour « mesurer » éventuellement leur efficacité selon les nombres en jeu. Les temps de recherche en classe La problématisation doit être dévolue aux élèves. Préserver l’exercice de l’autonomie des élèves et favoriser les prises d’initiatives. L’activité des élèves Rechercher, extraire et organiser l’information utile. Raisonner, argumenter. Présenter la démarche suivie, les résultats obtenus, communiquer à l’aide d’un langage adapté. La participation des élèves Utiliser les interventions individuelles pour l’avancement de la classe. Valoriser les productions, savoir utiliser l’intérêt didactique des erreurs qui font partie intégrante du processus d’apprentissage. Le sens. Utiliser des situations riches et variées qui excitent la curiosité, qui amènent à problématiser, réfléchir, comprendre … Eviter ce qui n’est que répétitif et technique. B. VIÉ - S. PEYROT 11 11

Des incontournables Les démarches et procédures de résolution Voici quelques procédures d’élèves réalisées par des élèves … Il s’agit pour l’élève de bien comprendre la distinction entre proportionnalité et croissance (toujours dans l’optique de dépasser l’obstacle de la persistance du modèle additif). B. VIÉ - S. PEYROT 12 12

Des incontournables La temporalité et la progressivité Mettre en œuvre une progression spiralée sur le thème de la proportionnalité (cf. les parties du programme du cycle 3). Proposer des situations qui permettent le respect des repères de progressivité en ce qui concerne le travail des procédures (variables didactiques notamment). Eviter le traitement d’un seul chapitre de proportionnalité dans l’année (travail massé). Envisager le travail de cette notion comme un fil rouge tout au long des années du cycle 3 (travail filé). L’image est la spirale d’ULAM … A mettre en lien avec le tableau récapitulatif d'une proposition de situation déclinée du début de CM1 à la fin de la 6ème : progressivité sur l'année et sur les 3 années du Cycle 3 Proposer dans le cadre des rituels, tri de situations relevant de la proportionnalité ou non, avec résolution ou non B. VIÉ - S. PEYROT 13 13

Quelques apports théoriques Théorie des proportions Deux suites de nombres qui se correspondent un à un sont proportionnelles lorsque les rapports de deux nombres correspondants sont égaux. Par exemple, les suites (2 ; 5 ; 8,5) et (3 ; 7,5 ; 12,75) sont proportionnelles car 2 : 3 = 5 : 7,5 = 8,5 : 12,75. Le rapport commun entre les nombres qui se correspondent est appelé coefficient de proportionnalité. La technique dite de retour à l’unité est précisément le calcul de ce coefficient. Modéliser, c’est trouver une façon de décrire le problème que l’on doit résoudre dans un cadre théorique pertinent. Mais souvent plusieurs cadres sont possibles. Et pour ce qui concerne la proportionnalité, l’étude des programmes de l’école élémentaire montre que l’on est passé d’un enseignement basé au début du XXe siècle sur la théorie des proportions à un enseignement basé sur la linéarité. La théorie des proportions n’a de sens que lorsque les rapports (lien entre écritures fractionnaires et quotient) ont été étudiés. Exemple de technique de retour à l’unité. Si 3 billes pèsent 51 g, le rapport 51 : 3 = 17 est la valeur de l’unité (c’est-à-dire la masse unitaire en g des billes). On pourra aussi commenter la figure … B. VIÉ - S. PEYROT 14 14

Quelques apports théoriques Théorie des proportions Cette théorie débouche sur la technique du « produit en croix » (a : b = c : d implique ad = bc) dont la « règle de trois » est une expression contextualisée. Le « produit en croix » est une technique développée dans le cadre numérique (nombres sans unité). La « règle de trois » est une technique développée dans le cadre des grandeurs (nombres avec unité), liée à un contexte. Le « produit en croix » implique la « règle de trois ». (a : b = c : d) implique (ad = bc) implique (a = bc : d). a : b = c : d (a : b) x b = (c : d) x b a = (c : d) x b a x d = (c : d) x b x d ad = (c ; d) x d x b ad = cb ad : d = cb : d a = bc : d Peut-être prendre un exemple avec des nombres sur une situation de proportionnalité B. VIÉ - S. PEYROT 15 15

Quelques apports théoriques Modèle linéaire Une fonction réelle f d’une variable réelle est dite linéaire, si elle est définie par f(x) = ax, où a désigne un nombre réel donné lié à la fonction f. Toute situation qui peut être modélisée par une fonction linéaire est une situation de proportionnalité. La représentation graphique d’une fonction linéaire est une droite ; le nombre a est son coefficient directeur ; c’est aussi le coefficient de proportionnalité de la situation. a est aussi égal à f(1) ; c’est l’image de l’unité par la fonction f. Dans la théorie des proportions, on définit le coefficient de proportionnalité comme étant le rapport commun. Ce coefficient est aussi celui de la fonction linéaire sous- jacente à la situation de proportionnalité. Réciproquement la donnée d’une fonction linéaire permet la construction de deux suites proportionnelles (ces deux suites peuvent être vues comme les nombres d’un tableau de valeurs de la fonction linéaire). Les deux modèles sont équivalents, ils décrivent les mêmes situations. Ces deux modèles théoriques ne sont pas enseignés pour eux-mêmes à l’école élémentaire (les rapports égaux n’ont de sens que lorsque la notion de rapport en tant que division en a un, 6e/5e, et les fonctions linéaires sont enseignées en classe de 3ème). B. VIÉ - S. PEYROT 16 16

Quelques apports théoriques Modèle linéaire Par exemple au marché, si les carottes sont vendues 1,50 € par kg, le prix à payer en fonction de la masse de carotte achetée est une situation de proportionnalité modélisée par la fonction f, qui au nombre x de kg fait correspondre 1,5x, le prix à payer en €. La fonction f définie par f(x) = 1,5x est la fonction linéaire qui modélise la situation. Les fonctions linéaires sont caractérisées par deux propriétés. La propriété dite additive : f(x + y) = f(x) + f(y). La propriété dite multiplicative : f(kx) = kf(x). On en déduit une propriété dite mixte : f(x + ky) = f(x) + kf(y). f(x + y) = a(x + y) = ax + ay = f(x) + f(y). f(kx) = a(kx) = k(ax) = kf(x). f(x + ky) = a(x + ky) = ax + aky = ax + k(ay) = f(x) + f(y). On vient de démontrer que : le prix de x + y kg de carottes est la somme du prix de x kg de carottes et de y kg de carottes. ; Le prix de kx kg de carottes est k fois le prix de x kg de carottes. B. VIÉ - S. PEYROT 17 17

Une progressivité 3 billes pèsent 51 g et 5 billes pèsent 85 g. Début CM1 Début CM2 Début 6ème Somme et différence 8 billes ? 2 billes? Somme et différence avec multiples et diviseurs 21 billes? 25 billes? 250 billes? 125 billes? 500 billes? Passage à l’unité et coefficient de proportionnalité Donner la masse de tous les paquets de moins de 180 billes. Fin CM1 Fin CM2 Fin 6ème Somme et différence avec double 6 billes? 10 billes? 13 billes? 7 billes? Passage à l’unité 20 billes? 21 billes? 1 bille? 87 billes? Passage à l’unité, coefficient de proportionnalité, tableau de proportionnalité. Une progressivité des usages des procédures sur le cycle 3. Dans le cadre d'une formation d'enseignants de cycle 3 : pistes de travail de groupes : constituer une base de données avec des situations relevant de la proportionnalité ou non ( cf site m@th en vie), choisies dans les 3 domaines d'enseignement des maths décliner quelques situations selon la progressivité des procédures sur les 3 années et par année B. VIÉ - S. PEYROT 18 18

Les compétences mathématiques Chercher Tester, essayer plusieurs pistes de résolution dans la résolution de problèmes relevant des structures multiplicatives. Modéliser Apprendre à modéliser des situations concrètes et reconnaître si elles relèvent de la proportionnalité ou non. Représenter Se questionner sur le caractère proportionnel d’une situation représentée graphiquement en géographie, en sciences et technologie par exemple (une situation de proportionnalité entre deux grandeurs a pour représentation graphique un ensemble de points alignés avec l’origine). Le travail sur la proportionnalité est particulièrement propice au développement des six compétences travaillées en mathématiques : chercher, modéliser, représenter, calculer, raisonner et communiquer. B. VIÉ - S. PEYROT 19 19

Les compétences mathématiques Raisonner Chacune des étapes de résolution d’un problème relevant de la proportionnalité (compréhension de l’énoncé, identification d’une situation de proportionnalité, recherche, production et rédaction d’une solution) fait appel au raisonnement. Calculer Les nombres en jeu et l’état des connaissances des élèves vont permettre de varier les modalités de calcul mises en œuvre (calcul mental, en ligne, posé, instrumenté). Communiquer L’explicitation de ce qui est fait nécessite un réel travail de communication tant à l’oral qu’à l’écrit. Différencier le vocabulaire des structures additives « de plus » et « de moins » et celui des structures multiplicatives « fois plus » et « fois moins ». Le travail sur la proportionnalité est particulièrement propice au développement des six compétences travaillées en mathématiques : chercher, modéliser, représenter, calculer, raisonner et communiquer. B. VIÉ - S. PEYROT 20 20

Des ressources Enseigner la proportionnalité au CM1 – CM2 (« M@gistère ») https://magistere.education.fr/dgesco/course/view.php?id=1 299 Ressources d’accompagnement du programme de mathématiques du cycle 3 (« éduscol ») http://eduscol.education.fr/cid101461/ressources-maths- cycle-3.html Dans le document « Résoudre des problèmes de proportionnalité au cycle 3 », on trouvera une rubrique « Ressources complémentaires » dans laquelle figure un document très intéressant : « Le nombre au cycle 3, apprentissages numériques ».. Les ressources … B. VIÉ - S. PEYROT 21 21

Merci de votre attention Pour se distraire avec les dominos : https://www.youtube.com/watch?v=y97rBdSYbkg B. VIÉ - S. PEYROT 22 22