Exercice 1°) Résoudre dans R séparément les 2 premières conditions, puis déterminez les x satisfaisants les 3 conditions en même temps : √2 1 sin x < - cos x > - 2 2 17π ≤ x ≤ - 14,5π 2°) Résoudre en valeurs exactes sans démontrer avec la calculatrice sin ( x + π/4 ) < ½ dans [ 12π ; 14π ]
sin x < - (√2)/2 π/4 angle remarquable trajet π/4 – 0 = π/4 -π 0 -π 0 symétries -3π/4 -π/4 + S = union ] -3π/4 + k2π ; -π/4 + k2π [ pour tous les k de Z
cos x > - ½ 2π/3 π/3 angle remarquable trajet π/3 – 0 = π/3 -π 0 -π 0 symétries -2π/3 + S = union ] -2π/3 + k2π ; 2π/3 + k2π [ pour tous les k de Z
sin x < - (√2)/2 cos x > - ½ - 17π ≤ x ≤ - 14,5π π/3 π/4 -π 0 + S = union ] -2π/3 + k2π ; -π/4 + k2π [ pour tous les k de Z
sin x < - (√2)/2 cos x > - ½ - 17π ≤ x ≤ - 14,5π Amplitude = (- 14,5π) – (- 17π) = 2,5π = 1,25 tour π/3 π/4 -17π 0
sin x < - (√2)/2 cos x > - ½ - 17π ≤ x ≤ - 14,5π Amplitude = (- 14,5π) – (- 17π) = 2,5π = 1,25 tour π/3 π/4 -17π 0
sin x < - (√2)/2 cos x > - ½ - 17π ≤ x ≤ - 14,5π Amplitude = (- 14,5π) – (- 17π) = 2,5π = 1,25 tour π/3 π/4 -17π + π/3 = -50π/3 -17π 0 -17π + 3π/4 = -65π/4 -50π/3 + 2π = -44π/3 S = ] -50π/3 ; -65π/4 [ union ] -44π/3 ; - 14,5π ]
sin ( x + π/4 ) < ½ dans [ 12π ; 14π ] 2°) Résoudre en valeurs exactes : les solutions correspondent à des angles remarquables, π/6 ; π/4 ; π/3. Donc x = nπ/12 x dans [ 12π ; 14π ] donc n est un entier dans [ 12×12 ; 14×12 ] sin ( x + π/4 ) < ½ donc l’ensemble des solutions est un ( ou plusieurs ) intervalles. Je crée donc la courbe de la fonction f(x) = sin ( xπ/12 + π/4 ) - ½ avec la calculatrice graphique et je recherche les x solutions de f(x) < 0
sin ( x + π/4 ) < ½ dans [ 12π ; 14π ] f(x) = sin ( xπ/12 + π/4 ) - ½ n est un entier solution de f(x) = 0 dans [ 144 ; 168 ] 151 167 sin ( x + π/4 ) < ½ f(x) < 0 x dans ] 151π/12 ; 167π/12 [