Galaxie 2001 Les étoiles et … l’aventure

Groupe Astronomie Lycée Albert Camus Rillieux-la-Pape / Rhône présente …

Détermination de la distance de la Lune au XVIIIème siècle

On étudie ici comment, au XVIIIème siècle, les astronomes Joseph Jérôme Lefrançois de Lalande et l’abbé Nicolas Louis de Lacaille ont déterminé avec une très grande précision la distance de la Lune.

Joseph Jérôme Lefrançois de Lalande. 1732 /1807 L’abbé Nicolas Louis de Lacaille. 1713 / 1762

De manière générale, mesurer la distance d’un objet inaccessible, que ce soit sur Terre ou dans l’espace, passe par une méthode de triangulation. En voici le principe.

Et au milieu coule une rivière …

Distance de l’objet visé Base c Angle b B

Distance de l’objet visé Base c Angle b B

Distance de l’objet visé Base c Angle b B

Dimensions de l’objet visé h = ? C b Angle h A

Exemple

Distance b = 100 x tan( 80°) = 100 x 5.67 = 567 m Exemple : Base c = 100 m Angle b = 80° Angle h = 1° Résultats : Distance b = 100 x tan( 80°) = 100 x 5.67 = 567 m Hauteur h = 567 x tan( 1° ) = 567 x 0.017 = 9.6 m h = ? C b = ? Angle h A Angle b Base c B

Distance de l’objet visé sans angle droit

Distance de l’objet visé sans angle droit Base c Angle a Angle b B

Théorème des trois sinus : énoncé b a a A b c B

Théorème des trois sinus : preuve C b a a A H b B

Théorème des trois sinus : énoncé b a a A b c B

Application : il suffit de connaitre … la base c et deux angles a et b pour en déduire : le troisième angle c et deux distances a et b C c b a a A b c B

Exemple a = 85° et b = 65° la base c = 312 Alors c = 180 – 85 – 65 = 30° C c b a a A b c B

Quelle précision pour ces mesures ?

Retour au cas simple avec angle droit b = ? A Base c Angle b B

Précision de la mesure et … précision du résultat ! Pour un angle b fixé, la précision sur b est proportionnelle à la précision sur la base c. Mais, à base constante, la précision devient très mauvaise quand b s’approche de 90°. Pour vous convaincre, voyez le tableau suivant, où c = 100 m et Db = 0.005°: b b- Db b mini b+Db b maxi b moyen Db Db / b 80,000 89,000 89,900 89,990

Précision de la mesure et … précision du résultat ! Pour un angle b fixé, la précision sur b est proportionnelle à la précision sur la base c. Mais, à base constante, la précision devient très mauvaise quand b s’approche de 90°. Pour vous convaincre, voyez le tableau suivant, où c = 100 m et Db = 0.005°: b b- Db b mini b+Db b maxi b moyen Db Db / b 80,000 79.995 80.005 89,000 89,900 89,990

Précision de la mesure et … précision du résultat ! Pour un angle b fixé, la précision sur b est proportionnelle à la précision sur la base c. Mais, à base constante, la précision devient très mauvaise quand b s’approche de 90°. Pour vous convaincre, voyez le tableau suivant, où c = 100 m et Db = 0.005°: b b- Db b mini b+Db b maxi b moyen Db Db / b 80,000 79.995 80.005 89,000 88.995 89.005 89,900 89,990

Précision de la mesure et … précision du résultat ! Pour un angle b fixé, la précision sur b est proportionnelle à la précision sur la base c. Mais, à base constante, la précision devient très mauvaise quand b s’approche de 90°. Pour vous convaincre, voyez le tableau suivant, où c = 100 m et Db = 0.005°: b b- Db b mini b+Db b maxi b moyen Db Db / b 80,000 79.995 80.005 89,000 88.995 89.005 89,900 89.895 89.905 89,990

Précision de la mesure et … précision du résultat ! Pour un angle b fixé, la précision sur b est proportionnelle à la précision sur la base c. Mais, à base constante, la précision devient très mauvaise quand b s’approche de 90°. Pour vous convaincre, voyez le tableau suivant, où c = 100 m et Db = 0.005°: b b- Db b mini b+Db b maxi b moyen Db Db / b 80,000 79.995 80.005 89,000 88.995 89.005 89,900 89.895 89.905 89,990 89.985 89.995

Précision de la mesure et … précision du résultat ! Calculons les distances extrêmes b mini et b maxi puis leur moyenne b moyen. Calculons ensuite l’écart absolu à cette moyenne Db. Calculons enfin l’écart relatif, celui-qui donne la qualité de la mesure : Db / b. b b- Db b mini b+Db b maxi b moyen Db Db / b 80,000 79.995 566.84 80.005 567.13 567.42 0.15 0.0005 89,000 88.995 89.005 89,900 89.895 89.905 89,990 89.985 89.995

Précision de la mesure et … précision du résultat ! Calculons les distances extrêmes b mini et b maxi puis leur moyenne b moyen. Calculons ensuite l’écart absolu à cette moyenne Db. Calculons enfin l’écart relatif, celui-qui donne la qualité de la mesure : Db / b. b b- Db b mini b+Db b maxi b moyen Db Db / b 79.995 566.84 80.005 567.13 567.42 0.15 0.0005 80,000 88.995 5 700.5 89.005 5 757.8 5 729.0 14.4 0.005 89,000 89.895 89.905 89,900 89.985 89.995

Précision de la mesure et … précision du résultat ! Calculons les distances extrêmes b mini et b maxi puis leur moyenne b moyen. Calculons ensuite l’écart absolu à cette moyenne Db. Calculons enfin l’écart relatif, celui-qui donne la qualité de la mesure : Db / b. b b- Db b mini b+Db b maxi b moyen Db Db / b 80,000 79.995 566.84 80.005 567.42 567.13 0.15 0.0005 89,000 88.995 5 700.5 89.005 5 757.8 5 729.0 14.4 0.005 89,900 89.895 54 567 89.905 60 311 57 439 2 872 0.1 89,990 89.985 89.995

Précision de la mesure et … précision du résultat ! Calculons les distances extrêmes b mini et b maxi puis leur moyenne b moyen. Calculons ensuite l’écart absolu à cette moyenne Db. Calculons enfin l’écart relatif, celui-qui donne la qualité de la mesure : Db / b. b b- Db b mini b+Db b maxi b moyen Db Db / b 80,000 79.995 566.84 80.005 567.42 567.13 0.15 0.00025 89,000 88.995 5 700.5 89.005 5 757.8 5 729.0 14.4 0.0025 89,900 89.895 54 567 89.905 60 311 57 439 2872 0.05 89,990 89.985 381 972 89.995 1 145 916 763 944 0.5

Bon … Et la Lune dans tout ça ?

Pour mesurer la distance de la Lune, Lalande et Lacaille ont choisi la plus longue base possible : le premier s’est installé à l’observatoire de Berlin, en Allemagne, le second à l’observatoire du Cap, en Afrique du Sud. Ils ont du également multiplier les mesures angulaires pour augmenter la précision du résultat.

p : parallaxe L P B P C Z B B l T Z C C

L P B P C Z B B 180 - Z B l 180 - Z C T Z C C

D’après le théorème des trois sinus dans TBL puis dans TCL : P B P C B D 180 - Z B R On rappelle que si deux angles sont supplémentaires, alors il ont le même sinus : 180 - Z C T R C

D’après le théorème des trois sinus dans TBL puis dans TCL : P B P C B D 180 - Z B R Comme les parallaxes pB et pC sont petites, leur sinus est égal à l’angle exprimé en radians. 180 - Z C T R C

On alors successivement : P B P C B D 180 - Z B R Or, deux quotients égaux sont aussi égaux au quotient formé par les sommes du numérateur et du dénominateur : 180 - Z C T R C

Mais on ne connait pas les parallaxes !!! On a donc : L P B Mais on ne connait pas les parallaxes !!! P C B D 180 - Z B l R Dans le quadrilatère TBLC la somme des angles vaut 360°. 180 - Z C T R C

Finalement : L P B P C Z B B D R l T Z C R C

Mission de 1751 Latitude Berlin: 52.52° Nord Latitude du Cap : 34.36° Sud Écart en latitude : l = 86.88° Une série de mesures ( imaginaires ) donne : Angle zénithal de la Lune à Berlin : zB = 53.52° Angle zénithal de la Lune au Cap: zC = 34.66° zB + zC – l = 1.30° = 0.0227 rad Avec R = 6 378 km, on trouve D = 381 700 km

Et une autre méthode, mathématiquement équivalente, mais plus facile à pratiquer.

Une autre façon de calculer la somme des parallaxes pB + pC est de comparer la position de l’objet visé à celle d’une étoile réputée à l’infini. L P B eB P C ZB B D R l eC T Z C R C

Comme on avait : On en déduit : L P B eB P C ZB B D R l eC T Z C R C

Et pourquoi pas pour mesurer ainsi la distance des planètes ou des étoiles ? Théoriquement, c’est possible. Cela a même été réalisé , sur Mars et avec une bonne approximation par Cassini, Picard et Richer, dès 1671 ! Mais sur d’autres astres, la parallaxe est si faible que l’erreur relative est inacceptable. Voyez ce que nous avons dit plus haut sur la précision de la mesure. D’ailleurs, en observant la formule rappelée ci-dessous, on voit qu’une très faible parallaxe revient à diviser quasiment par zéro !

Il faudra trouver une autre méthode … mais on verra cela une autre fois !

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