Exercice 1°) Soit la fonction f polynôme degré 2 définie sur R par f(x) = bx² - 3x Soit S le sommet de la courbe de f. Soient les fonctions g et h définies par : g(b) = xS et h(b) = yS Déterminez leurs ensembles de définition. Déduisez-en l’évolution du sommet sur le graphe lorsque b varie. idem l’évolution de la courbe de f.

Exercice 1°) Soit la fonction f polynôme degré 2 définie sur R par f(x) = bx² - 3x Soit S le sommet de la courbe de f. Soient les fonctions g et h définies par : g(b) = xS et h(b) = yS Déterminez leurs ensembles de définition. Dh = Dh = R* car si b = 0 la fonction n’est plus polynômiale de degré 2, donc la courbe n’est plus une parabole, donc il n’y a plus de sommet.

1°) f(x) = bx² - 3x - (- 3) 1,5 g(b) = xS = = 2b b - (- 3) 1,5 g(b) = xS = = 2b b g(b) est du signe de b : donc S à gauche pour b négatif, à droite pour b positif.

1°) f(x) = bx² - 3x - (- 3) 1,5 g(b) = xS = = 2b b - (- 3) 1,5 g(b) = xS = = 2b b g(b) est du signe de b : donc S à gauche pour b négatif, à droite pour b positif. 1,5 ‘ 1 ‘ - 1 - 1,5 g’(b) = = 1,5 = 1,5 = < 0 b b b² b² Th. de la monotonie : lorsque b augmente xS diminue donc le sommet se déplace vers la gauche.

1°) f(x) = bx² - 3x 1,5 1,5 ² 1,5 h(b) = yS = f(xS) = f = b - 3 b b b 1,5 1,5 ² 1,5 h(b) = yS = f(xS) = f = b - 3 b b b 1,5² 4,5 1,5² 4,5 - 2,25 = b - = - = b² b b b b h(b) est du signe de - b : donc S en haut pour b négatif, en bas pour b positif.

1°) f(x) = bx² - 3x 1,5 1,5 ² 1,5 h(b) = yS = f(xS) = f = b - 3 b b b 1,5 1,5 ² 1,5 h(b) = yS = f(xS) = f = b - 3 b b b 1,5² 4,5 1,5² 4,5 - 2,25 = b - = - = b² b b b b + 2,25 h’(b) = > 0 b² Th. de la monotonie : lorsque b augmente yS augmente donc le sommet se déplace vers le haut.

idem l’évolution de la courbe de f. f(x) = ax² + Bx + c avec a = b ; B = - 3 et c = 0, donc f est une fonction polynôme degré 2, donc sa courbe est une parabole. Cette parabole est resserrée lorsque |b| est grand, épanouie lorsque |b| petit. Elle est orientée vers le haut lorsque b > 0 et vers le bas lorsque b < 0 Elle a un axe de symétrie et un sommet ( étudiés précédemment ). Elle croise l’axe des y toujours en l’origine puisque f(0) = c = 0

1°) f(x) = bx² - 3x b augmente

1°) f(x) = bx² - 3x b augmente

1°) f(x) = bx² - 3x b augmente

1°) f(x) = bx² - 3x b augmente

1°) f(x) = bx² - 3x b augmente

1°) f(x) = bx² - 3x b augmente

1°) f(x) = bx² - 3x b augmente

1°) f(x) = bx² - 3x b augmente

1°) f(x) = bx² - 3x b augmente

1°) f(x) = bx² - 3x b augmente

Exercice 2°) La fonction f est définie sur R par f(x) = bx² - 3x Déterminez b et a pour qu’une tangente T en un point A d’abscisse a de la courbe de f satisfasse les conditions suivantes : T est parallèle à la droite d’équation 2y – 34x + 5 = 0 T passe par le point B( 3 ; 31 ) 3°) Quelle est alors l’aire du triangle formé par T et les axes x et y ?

2°) T // d et T passe par B. f(x) = bx² - 3x

2°) T // d et T passe par B. f(x) = bx² - 3x

2°) T // d et T passe par B. f(x) = bx² - 3x

2°) T // d et T passe par B. f(x) = bx² - 3x

2°) T // d et T passe par B. f(x) = bx² - 3x

2°) T // d et T passe par B. f(x) = bx² - 3x

2°) T // d et T passe par B. f(x) = bx² - 3x

2°) T // d et T passe par B. f(x) = bx² - 3x

2°) T // d et T passe par B. f(x) = bx² - 3x

coeff. directeur de la tgte = xM - xA y – f(a) f ‘(a) = x – a M( x ; y ) est un point quelconque de T, donc représentatif de tous les points de T. yM - yA coeff. directeur de la tgte = xM - xA y – f(a) f ‘(a) = x – a y – f(a) = f ‘(a) ( x – a ) y = f ‘(a) x + f(a) – a f ‘(a)

f(x) = bx² - 3x y = f ‘(a) x + f(a) – a f ‘(a) f ‘(x) = 2bx – 3 donc f ‘(a) = 2ba – 3 Equation de la tangente en a : y = (2ba – 3)x + (ba² - 3a) – a(2ba – 3) = (2ba – 3)x + ba² - 3a – 2ba² + 3a = (2ba – 3)x – ba²

T : y = (2ba – 3)x – ba² T est // à la droite d d’équation 2y – 34x + 5 = 0 2y – 34x + 5 = 0 2y = 34x – 5 y = 17x – 2,5 T // d elles ont le même coeff. directeur f ‘(a) = 17 2ba – 3 = 17 ba = 10 T passe par le point B( 3 ; 31 ) 31 = (2ba – 3)3 – ba²

T : y = (2ba – 3)x – ba² T est // à la droite d d’équation 2y – 34x + 5 = 0 2y – 34x + 5 = 0 2y = 34x – 5 y = 17x – 2,5 T // d elles ont le même coeff. directeur f ‘(a) = 17 2ba – 3 = 17 ba = 10 T passe par le point B( 3 ; 31 ) 31 = (2ba – 3)3 – ba² 31 = (17)3 – ba² ba² = 20

T : y = (2ba – 3)x – ba² Il faut résoudre le système T // d ba = 10 B Є T ba² = 20

T : y = (2ba – 3)x – ba² Il faut résoudre le système T // d ba = 10 B Є T ba² = 20 ba² = 20 (ba)a = 20 10a = 20 a = 2 On peut aussi diviser la 1ère équation par la 2ème : ba² 20 = a = 2 ba 10

T : y = (2ba – 3)x – ba² Il faut résoudre le système T // d ba = 10 B Є T ba² = 20 ba² = 20 (ba)a = 20 10a = 20 a = 2 On peut aussi diviser la 1ère équation par la 2ème : ba² 20 10 20 = a = 2 puis b = = = 5 ba 10 a a²

f(x) = bx² - 3x T : y = (2ba – 3)x – ba² a = 2 et b = 5 donnent y = (2(5)(2) – 3)x – 5(2²) = 17x - 20 Réponse : la tangente parallèle à d et passant par B est la tangente d’équation y = 17x - 20 au point d’abscisse 2 de la courbe de la fonction f(x) = 5x² - 3x

3°) Quelle est alors l’aire du triangle formé par T et les axes x et y ? tangente d’équation y = 17x – 20 au point d’abscisse 2 de la courbe de f(x) = 5x² - 3x 0,3 20/17 2 Aire = ½ Base × hauteur = ½ (20/17) × 20 - 20 = 200/17

4°) b n’est plus qu’un entier positif. Soit la suite définie par un = l’aire du triangle délimité par les axes x et y et la tangente à la courbe de f au point A d’abscisse b = n. Déterminez le sens de variation de la suite.

4°) b n’est plus qu’un entier positif. Soit la suite définie par un = l’aire du triangle délimité par les axes x et y et la tangente à la courbe de f au point A d’abscisse b = n. Déterminez le sens de variation de la suite. Question 2° : f(x) = bx² - 3x Tangente en a : y = (2ba – 3)x – ba² Qui donne y = (2b² – 3)x – b3

4°) b3/(2b² – 3) tangente d’équation y = (2b² – 3)x – b3 au point d’abscisse b de la courbe de f(x) = bx² - 3x b3/(2b² – 3) b un = Aire = ½ Base × hauteur 1 n3 - b3 = × × n3 2 2n² – 3

Sens de variation de la suite : 1 n3 n6 un= × × n3 = 2 2n² – 3 4n² – 6 1ère méthode : (n+1)6 n6 un+1 - un = - 4(n+1)² – 6 4n² – 6

Développement de (n+1)6 = ? Pour faciliter l’opération, j’utilise le triangle de Pascal : 1 1 2 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1

Développement de (n+1)6 = ? Pour faciliter l’opération, j’utilise le triangle de Pascal : 1 (n+1)6 = 1x610 + 5x511 + 15x412 + 20x313 1 + 15x214 + 6x115 + 1x016 1 2 1 = x6 + 5x5 + 15x4 + 20x3 3 3 1 + 15x2 + 6x1 + 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1

Sens de variation de la suite : 1 n3 n6 un= × × n3 = 2 2n² – 3 4n² – 6 1ère méthode : n6+6n5+15n4+20n3+15n2+6n+1 n6 un+1 - un = - 4(n² + 2n +1) – 6 4n² – 6

Sens de variation de la suite : 1 n3 n6 un= × × n3 = 2 2n² – 3 4n² – 6 1ère méthode : n6+6n5+15n4+20n3+15n2+6n+1 n6 un+1 - un = - 4n² + 8n – 2 4n² – 6 etc… ( méthode bien difficile algébriquement ! )

Sens de variation de la suite : 1 n3 n6 un= × × n3 = 2 2n² – 3 4n² – 6 2ème méthode : Soit la fonction définie sur R par n6 6n5 (4n² – 6) – 8n(n6) f(x) = f’(x) = 4n² – 6 (4n² – 6)² grâce à la formule (u/v)’ = (u’ v – v’ u) / v²

2ème méthode : Soit la fonction définie sur R par x6 6x5 (4x² – 6) – 8x(x6) f(x) = f’(x) = 4x² – 6 (4x² – 6)² 24x7 – 36x5 – 8x7 16x7 – 36x5 4x5(4x²-9) f’(x) = = = (4x² – 6)² (4x² – 6)² (4x² – 6)²

2ème méthode : Soit la fonction définie sur R par x6 4x5 ( 4x² - 9 ) f(x) = f’(x) = 4x² – 6 (4x² – 6)² x - ∞ - 1,5 0 1,5 + ∞ x5 - - 0 + + 4x² - 9 + 0 - - 0 +

2ème méthode : Soit la fonction définie sur R par x6 4x5 ( 4x² - 9 ) f(x) = f’(x) = 4x² – 6 (4x² – 6)² x - ∞ - 1,5 -√1,5 0 √1,5 1,5 + ∞ x5 - - - 0 + + + 4x² - 9 + 0 - - - - 0 + f ‘(x) - 0 + + 0 - - 0 +

2ème méthode : Soit la fonction définie sur R par x6 4x5 ( 4x² - 9 ) f(x) = f’(x) = 4x² – 6 (4x² – 6)² x - ∞ - 1,5 -√1,5 0 √1,5 1,5 + ∞ x5 - - - 0 + + + 4x² - 9 + 0 - - - - 0 + f ‘(x) - 0 + + 0 - - 0 +

2ème méthode : Soit la fonction définie sur R par x6 4x5 ( 4x² - 9 ) f(x) = f’(x) = 4x² – 6 (4x² – 6)² x - ∞ - 1,5 -√1,5 0 √1,5 1,5 + ∞ x5 - - - 0 + + + 4x² - 9 + 0 - - - - 0 + f ‘(x) - 0 + + 0 - - 0 + f(x)

2ème méthode : Soit la fonction définie sur R par x6 4x5 ( 4x² - 9 ) f(x) = f’(x) = 4x² – 6 (4x² – 6)² x - ∞ - 1,5 -√1,5 0 √1,5 1 1,5 2 3 etc + ∞ x5 - - - 0 + + + 4x² - 9 + 0 - - - - 0 + f ‘(x) - 0 + + 0 - - 0 + f(x)

2ème méthode : Soit la fonction définie sur R par x6 u0 = 0/(- 6) = 0 f(x) = u1 = 1/(- 2) = - 0,5 4x² – 6 u2 = 64/10 = 6,4 u0 > u1 et u1 < u2 < etc… la suite est strictement croissante sur N*. x - ∞ - 1,5 -√1,5 0 √1,5 1 1,5 2 3 etc + ∞ x5 - - - 0 + + + 4x² - 9 + 0 - - - - 0 + f ‘(x) - 0 + + 0 - - 0 + f(x)