Module: Logique Mathématique

SOMMAIRE 1- Notions d’ensembles 2- Constructions d’ensembles 3- Cardinal d’ensembles 4- Relations d’ensembles ordonnées 5- Trellis 6- Algèbre de Boole 7- Fonctions booléennes 8- Calcul propositionnels

Chapitre1: Notions d’ensembles

Quelques ensembles usuels  l’ensemble des entiers naturels N = {0,1,2,3,...}.  l’ensemble des entiers relatifs Z = {..., −2, −1,0,1,2,...}  l’ensemble des nombres complexes C.

1- les ensembles 1-1 Définition:  Informellement, Un ensemble est une collection d’éléments Exemple:{0,1}, {rouge,noir}, {0,1,2,3,...} = N.  Un ensemble particulier est l’ensemble vide, noté ∅ qui est l’ensemble ne contenant aucun élément.  On note:  Voici une autre façon de définir des ensembles : une collection d’éléments qui vérifient une propriété. Exemple:

1.2. Inclusion, union, intersection, complémentaire  L’inclusion: E ⊂ F si tout élément de E est aussi un élément de F. Autrement dit : ∀ x ∈ E (x ∈ F ). On dit alors que E est un sous-ensemble de F ou une partie de F.  L’égalité: E = F si et seulement si E ⊂ F et F ⊂ E.  Complémentaire. Si A ⊂ E,

 Union: Pour A, B ⊂ E, 1.2. Inclusion, union, intersection, complémentaire  Intersection:

1.3. Règles de calculs  Soient A, B, C des parties d’un ensemble E. (1) (2) (3) (4) (5) (6)

1.3. Règles de calculs Voici les dessins pour les deux dernières assertions. (7) (8) (9) (10) (11)

Correspondance entre propriétés et ensembles  On se donne un ensemble E et trois propriétés P,Q,R susceptibles d'être vérifiées par des éléments de l'ensemble E.  À chacune des propriétés, on associe un sous ensemble de E. P et Q P(x) et Q(x) P ou Q P(x) ou Q(x) non P non(non(P)) ⇔ P non(P et Q) ⇔(non(P) ou non( Q)) non(P ou Q) ⇔(non(P) et non( Q)) P ou (non P) P et (non P) Impossible

Les preuves sont pour l’essentiel une reformulation des opérateurs logiques, en voici quelques- unes : x ∈ A∩ (B ∪ C) ⇐⇒ x ∈ A et x ∈ (B ∪ C) ⇐⇒ x ∈ A et (x ∈ B ou x ∈ C) ⇐⇒ (x ∈ A et x ∈ B) ou (x ∈ A et x ∈ C) ⇐⇒ (x ∈ A∩ B) ou (x ∈ A∩ C) ⇐⇒ x ∈ (A∩ B) ∪ (A∩ C). Preuve de A∩ (B ∪ C) = (A∩ B) ∪ (A∩ C): Remarquez que l’on repasse aux éléments pour les preuves Règles de calculs

1.4. Produit cartésien  Soient E et F deux ensembles. Le produit cartésien, noté E × F, est l’ensemble des couples (x, y) où x ∈ E et y ∈ F. Exemple 1.

Exo d’application

2. Applications 2.1. Définitions  Une application (ou une fonction) f : E → F, c’est la donnée pour chaque élément x ∈ E d’un unique élément de F noté f ( x).  Nous représenterons les applications par deux types d’illustrations : les ensembles « patates », l’ensemble de départ (et celui d’arrivée) est schématisé par un ovale ses éléments par des points. L’association x → f ( x) est représentée par une flèche.

2. Applications  L’autre représentation est celle des fonctions continues de R dans R (ou des sous-ensembles de R). L’ensemble de départ R est représenté par l’axe des abscisses et celui d’arrivée par l’axe des ordonnées. L’association x → f ( x) est représentée par le point ( x, f ( x)).  Égalité. Deux applications f, g : E → F sont égales si et seulement si pour tout x ∈ E, f ( x ) = g ( x ). On note alors f = g.

2. Applications  Le graphe de f : E → F est  Composition. Soient f : E → F et g : F → G alors g o f : E → G est l’application définie par g o f ( x ) = g f ( x )

2. Applications Exemple Définissons f, g ainsi

2.2. Image directe, image réciproque Soient E, F deux ensembles. Définition 1.  Soit A ⊂ E et f : E → F, l’image directe de A par f est l’ensemble

2.2. Image directe, image réciproque Définition 2. Soit B ⊂ F et f : E → F, l’image réciproque de B par f est l’ensemble

2.2. Image directe, image réciproque 2.3. Antécédents  Fixons y ∈ F. Tout élément x ∈ E tel que f (x ) = y est un antécédent de y. Sur les dessins suivants, l’élément y admet 3 antécédents par f. Ce sont x 1, x 2, x 3.

Exercice d’application

Cardinal d’ensembles

3. Injection, surjection, bijection 3.1. Injection, surjection Soit E, F deux ensembles et f : E → F une application. Remarque: Définition 4. f est surjective si pour tout y ∈ F, il existe x ∈ E tel que y = f (x ). Autrement dit : ∀ y ∈ F ∃ x ∈ E (y = f (x ))  f est injective si et seulement si tout élément y de F a au plus un antécédent (et éventuellement aucun).  f est surjective si et seulement si tout élément y de F a au moins un antécédent.

3.2. Bijection 3. Injection, surjection, bijection Définition 5. f est bijective si elle injective et surjective. Cela équivaut à : pour tout y ∈ F il existe un unique x ∈ E tel que y = f (x ). Autrement dit : ∀ y ∈ F ∃ ! x ∈ E (y = f (x )) L’existence du x vient de la surjectivité et l’unicité de l’injectivité. Autrement dit, tout élément de F a un unique antécédent par f.

Cardinal d’ensemble fini Définition 6.  Un ensemble E est fini s’il existe un entier n ∈ N et une bijection de E vers {1, 2,..., n}. Cet entier n est unique et s’appelle le cardinal de E (ou le nombre d’éléments) et est noté Card E. Quelques exemples : 1. E = { rouge, noir} est en bijection avec {1,2} et donc est de cardinal N n’est pas un ensemble fini 3. Par définition le cardinal de l’ensemble vide est 0

3. Si A est un ensemble fini et B ⊂ A alors Card (A/ B ) = Card A− Card B. En particulier si B ⊂ A et Card A = Card B alors A = B. Enfin quelques propriétés : 2. Si A, B sont des ensembles finis disjoints (c’est-à-dire A∩ B = ∅ ) alors Card (A ∪ B ) = Card A + Card B. 4. Enfin pour A, B deux ensembles finis quelconques : Card (A ∪ B ) = Card A + Card B − Card (A∩ B ) Cardinal d’ensemble fini

Voici une situation où s’applique la dernière propriété : La preuve de la dernière propriété utilise la décomposition A ∪ B = A ∪ (B \ (A∩ B )) Les ensembles A et B \ (A∩ B ) sont disjoints, donc Card (A ∪ B ) = Card A + Card (B \ (A∩ B )) = Card A + Card B − Card (A∩ B ) par la propriété 2, puis la propriété 3.

Injection, surjection, bijection et ensembles finis Proposition 3. Soit E, F deux ensembles finis et f : E → F une application. Proposition 4. alors les assertions suivantes sont équivalentes : i. Si f est injective ii. Si f est surjective iii. Si f est bijective

4- Relations d’ensembles ordonnées

Introduction  Une relation est définie par son graphe.  Etude des relations : 1- Relation d'équivalence 2- Relation d'ordre

Introduction Définition  Soit un ensemble E, on dit qu'on a défini une relation R sur l'ensemble E, si on s'est donné un ensemble G ⊂ E x E appelé graphe de la relation.  Cette définition revient à dire que pour définir une relation, on se donne l'ensemble des couples (x,y) d'éléments de E qui vérifient la relation. On constate que l'on a ici le même mode de définition que pour une application, qui est un cas particulier de relation, appelée relation fonctionnelle. Au lieu de noter (x,y) x ∈ G, nous noterons xRy Notation:  Dans ce chapitre, nous étudions deux type classiques de relations : 1- les relations d'équivalence 2- les relations d'ordre

1-Relations d’équivalence Définition  On dit qu'une relation est une relation d'équivalence si elle est :  symétrique symétrique  réflexive réflexive  transitive transitive  Dans le cas d'une relation d'équivalence, deux éléments en relation sont aussi dits équivalents.

1-Relations d’équivalence Exemple : Voici des exemples basiques. 3. La relation « être perpendiculaire » n’est pas une relation d’équivalence (ni la réflexivité, ni la transitivité ne sont vérifiées). 2. La relation « être du même âge » est une relation d’équivalence.

Définition : Classe d'équivalence 1-Relations d’équivalence  Étant donné un ensemble E muni d'une relation d'équivalence R, on appelle classe d'un élément x l’ensemble: Propriété: Théorème:

1-Relations d’équivalence Démonstration Montrons que la classe y est contenue dans celle de x.

1-Relations d’équivalence Définition : Représentant d'une classe  Ceci justifie d'appeler tout élément d'une classe représentant de cette classe. Partition d'un ensemble L’ensemble E est partagé en une réunion disjointe de classes.  Les classes forment une partition de l'ensemble Chaque élément de E appartient à une classe au moins Chaque élément de E appartient à une seule classe.

Exemples : 1. Pour la relation « être du même âge », la classe d’équivalence d’une personne est l’ensemble des personnes ayant le même âge. Il y a donc une classe d’équivalence formée des personnes de 19 ans, une autre formée des personnes de 20 ans,... Les trois assertions de la proposition se lisent ainsi : On est dans la même classe d’équivalence si et seulement si on est du même âge. Deux personnes appartiennent soit à la même classe, soit à des classes disjointes. Si on choisit une personne de chaque âge possible, cela forme un ensemble de représentants C. Maintenant une personne quelconque appartient à une et une seule classe d’un des représentants. 2. Pour la relation « être parallèle », la classe d’équivalence d’une droite est l’ensemble des droites parallèles à cette droite. À chaque classe d’équivalence correspond une et une seule direction. 1-Relations d’équivalence

EXERCICE D’APPLICATION

2-Relation d’ordre

2-Relations d’ordre Définition Soit E un ensemble. Une relation binaire R dans E est une relation d'ordre, si elle est : relation d'ordre  réflexive réflexive  antisymétrique antisymétrique  transitive transitive

2-Relations d’ordre Exemple La relation d'inclusion ⊂ sur les parties d’un ensemble. Remarque : Notation

2-Relations d’ordre Attention  On dit cependant quelquefois que c'est une relation d'ordre strict, ce qui est dangereux puisque ce n'est pas une relation d'ordre. Même problème pour l'inclusion stricte des ensembles. Définition : Ordre total

Définition : majorant 2-Relations d’ordre  Si M est un majorant de F, tout élément plus grand que M est aussi un majorant. Définition : minorant  Si m est un majorant de F, tout élément plus petit que m est aussi un majorant.

Définition : ensemble majoré 2-Relations d’ordre  On dit qu'un sous-ensemble F de E ensemble ordonné est majoré s'il possède un majorant. (d'après les règles d'usage des quantificateurs) Définition : ensemble minoré  On dit qu'un sous-ensemble F d’un ensemble ordonné E est minoré s'il possède un minorant.

Définition : ensemble borné 2-Relations d’ordre Un sous-ensemble F d'un ensemble ordonné E est borné si il possède à la fois un majorant et un minorant, c'est-à-dire s'il est à la fois majoré et minoré. Définition : plus grand élément On définit de la même façon, plus petit élément m de F:

2-Relations d’ordre Définition: borne supérieure Soit un ensemble ordonné E et F un sous-ensemble de E. On suppose que F est majoré. Si l'ensemble des majorants de F admet un plus petit élément, il est appelé borne supérieure de F et est noté sup F. Définition: borne supérieure Soit un ensemble ordonné E et F un sous-ensemble de E. On suppose que F minoré. Si l'ensemble des minorants de F admet un plus grand élément, il est appelé borne inférieure de F et est noté inf F.

 Il est facile de montrer les implications suivantes qui résultent simplement des définitions. 2-Relations d’ordre Propriété: Soit un ensemble ordonné E et F un sous-ensemble de E  Si F admet un plus grand élément M, alors M est la borne supérieure de F  Si F admet une borne supérieure a, alors a est un majorant de F  Si F a une borne supérieure qui appartient à F, alors c'est aussi le plus grand élément de F  Si F admet un plus petit élément m, alors m est la borne inférieure de F  Si F admet une borne inférieure a, alors a est un minorant de F  Si F a une borne inférieure qui appartient à F, alors c'est aussi le plus petit élément de F