Numération à l’école primaire Essai de synthèse ARF NT2 2008 F. Vautrot CPCAIEN Saint-Dizier

Numération à l’école primaire essai de synthèse Les nombres autour de l’enfant. Quelles représentations ? Cardinal ? Ordinal ? Autre chose ? L’horloge mondiale La double écriture spécifique des nombres dont l’une est internationale. Un enfant en maternelle est confronté à de multiples écritures chiffrées. On peut s’interroger sur ce qu’il sait : de leur utilité à leur ordre de grandeur. Nous-mêmes, avons-nous bien conscience de la valeur de certains nombres dits « naturels » ? Que signifie par exemple 300 milliards d’Euros consentis aux banques françaises pour garantir leurs emprunts ? Essayons de compter un euro par seconde (même si cela devient matériellement impossible avec les plus grands nombres) Combien de temps faudrait-il ? (environ 9512 ans) Si l’on veut s’intéresser aux représentations initiales des enfants, il semble nécessaire d’en discuter avec eux, dès la moyenne section, et tenter un premier classement de ces nombres de la vie courante entre ceux qui expriment des quantités, ceux qui expriment un ordre et ceux qui ont perdu ce rôle (numéro de téléphone, maillot des joueurs, plaque des maisons, immatriculation, marque de voitures ou numéro de série d’appareils électroménager…Pour le caractère ordinal, on peut s’appuyer sur ce que Brissiaud appelle les mots-nombres et que Stella Baruk nomme les nombres de…, même si l’utilisation faite de ces deux concepts diffèrent fondamentalement entre ces deux auteurs. ARF NT2 2008 F. Vautrot CPCAIEN Saint-Dizier

Numération à l’école primaire essai de synthèse S’appuyer sur ces premières représentations, ces premiers savoirs : Premiers essais de comptage. Les jeunes enfants connaissent bien souvent une partie de la comptine numérique, qui relève plus d’une connivence sociale que d’une véritable connaissance de la suite des nombres. Elle est d’ailleurs parfois citée pour elle-même, sans souci de dénombrement. Celle-ci étant néanmoins présente, il est convenu aujourd’hui qu’elle peut être un point d’appui des premiers apprentissages numériques. Un travail systématique peut être entrepris dans cette continuation : réciter la comptine le plus loin possible, réciter à deux en alternance (ping-pong à intervalles variables), taire un nombre sur deux, sur trois… ARF NT2 2008 F. Vautrot CPCAIEN Saint-Dizier

Numération à l’école primaire essai de synthèse Classe d’équivalence ? Un projet de classe Le langage atout ou obstacle aux apprentissages numériques ? Le nombre comme idée qui s’exprime par ses représentants. Toutefois, un des premiers travaux à entreprendre avec des enfants et qui durera très longtemps, c’est de leur faire prendre conscience que cette notion de nombre ( extrêmement complexe : essayer de la définir …) s’attache pour commencer à cette notion de classe d’équivalence d’ensemble équipotent. Il faut donc définir une propriété d’une collection qui ne dépend « ni de sa taille, ni de sa couleur ou de ses fonctions », mais uniquement de la quantité de ses éléments. Cette notion de quantité pose d’ailleurs le problème, loin d’être négligeable, de la cohérence de cette collection : nombre de/Mots-nombres de …quoi ? Le langage prend ici toute sa place et on pourra y retrouver un certain nombre de travaux autour de la catégorisation. Qu’est-ce qui peut autoriser à « mettre ensemble » des éléments aussi divers qu’un coléoptère, un éléphant, une fillette, un arbre… Enfin ces travaux pourront amener progressivement aux différentes écritures du représentant symbolique d’un ensemble équipotent : 1+1+1 désignant le même ensemble que 6/2 ou 4-1, ou -pourquoi pas- 3. On s’éloigne alors d’une logique de calcul pour lui-même pour aller vers une explicitation des représentations, même si celle-ci devront un jour s ‘effacer pour cause d’efficacité, de performance experte de calcul. ARF NT2 2008 F. Vautrot CPCAIEN Saint-Dizier

Numération à l’école primaire essai de synthèse Comptage – numérotation vs comptage - dénombrement… Le travail de Brissiaud dans « Comment les enfants apprennent à calculer » RETZ 2003 réédition Quelques comptines Un des dangers noté par Brissiaud de la pratique abusive du comptage, c’est ce qu’il appelle le comptage-numérotage. L’élève ne comprendrait pas le dernier nombre cité dans un comptage comme le représentant de la quantité de la collection dénombrée –la signification cardinale-, mais comme un numéro (le cinquième) Brissiaud suggère donc d’apprendre aux enfants dès leur plus jeune âge les procédures de décomposition – recomposition de ces collections grâce aux possibilités de reconnaissance immédiate (subtizing puis organisation spatiale ) de collections, en utilisant à la fois le langage et les collections témoins de doigts –collection analogique qui permettent une première abstraction du nombre : (en montrant trois chiens les doigts) ça c’est deux et encore un-. Plus tard, un travail portant directement sur le symbolisme mathématiques sera mis en place (9+4 c’est équivalent à 9+1+3, soit 10+3). Voir le travail sur l’album à calculer. Pour autant, il serait abusif d’en conclure qu’il faut délaisser le comptage, notamment la relation entre la bande numérique (4+5, c’est partir de 4 et avancer de 5 : surcomptage) et les réunions de collections – collections témoins réorganisées entre autres – disjointes. Il est plus que probable que les deux procédures doivent être proposées aux enfants. ARF NT2 2008 F. Vautrot CPCAIEN Saint-Dizier

Numération à l’école primaire essai de synthèse Quelques outils indispensables Voir C. Rajain « Apprentissages du nombre au cycle 1 » p8: Comptine numérique Bande numérique Cartons éclairs Collections témoins Réorganiser une collection : passage à la logique du calcul Pour conforter ces deux entrées, les outils cités ici sont indispensables et le seront encore longtemps. Voir le travail de Claude Rajain « Apprentissages du nopbre au cycle 1 »à partir de la page 8 ARF NT2 2008 F. Vautrot CPCAIEN Saint-Dizier

Numération à l’école primaire essai de synthèse Le nombre à quoi ça sert ? Cf C. RAJAIN « Apprentissage du nombre au cycle 1 » Définition d’une situation d’apprentissage des mahématiques p6 -7 Problèmes pour apprendre le nombre Le nombre pour mémoriser p13 Le nombre pour anticiper p14 Voir ici le travail mené par Claude « Apprentissages du nombre au cycle 1 » p6. Nous sommes ici dans une posture constructiviste, ce qui signifie que nus allons proposer aux élèves des situations problèmes, des « problèmes », dont la résolution ou mieux la réflexion qu’ils nécessitent va amener à construire une « image mentale » du nombre, de son intérêt, de ses finalités et de la façon de l’utiliser. Nous ne sommes pas si loin, dès lors, des premiers essais des hommes de l’antiquité confrontés au même type de problèmes. Comment garder la mémoire de la quantité de moutons, combien de soldats perdus… ARF NT2 2008 F. Vautrot CPCAIEN Saint-Dizier

Numération à l’école primaire essai de synthèse Les limites du comptage (des unités) : la nécessité du groupement. La numérotation shadock Faire référence à la numération asiatique de Ouzoulias – Brissiaud et co… et aux propositions de S. Baruk ARF NT2 2008 F. Vautrot CPCAIEN Saint-Dizier

Numération à l’école primaire essai de synthèse La nécessité du groupement, ses relations avec le calcul, la question –encore- du langage (dix-sept / 10+7 / les numérotations asiatiques) Voir C. Rajain : apprentissage du système de numération et résolution de problèmes au cycle 2 et 3 p30 et 31 Faire référence à la numération asiatique de Ouzoulias – Brissiaud et co… et aux propositions de S. Baruk ARF NT2 2008 F. Vautrot CPCAIEN Saint-Dizier

Numération à l’école primaire essai de synthèse Groupement et numération de position : Voir C. Rajain : situation sur la numération En admettant que les groupements par dix soient maîtrisés, il faut se poser la question de l’écriture des nombres, de l’ordre des chiffres qui le composent, jusqu’aux significations induites par l’oral (324 c’est 3 centaines, 2 dizaines et 4 unités – mais c’est aussi 32 dizaines) Les différentes représentations, pas forcément avec les chiffres mais en combinant représentations spatiales, groupement connu, signification orale et représentation additive. Par exemple 324 c’est 3 plaques de 100, 2 barres, 4 cubes, c’est-à-dire 3 centaines 2 dizaines et 4 unités, on peut l’écrire 300 + 20 + 4 300 20 4 320 Mais c’est aussi 32 barres et 4 cubes, soit 32 dizaines et 4 unités, représentation absolument nécessaire pour pouvoir à terme résoudre ARF NT2 2008 F. Vautrot CPCAIEN Saint-Dizier

Numération à l’école primaire essai de synthèse La nécessité du calcul mental, calcul réfléchi (« pensé » chez Brissiaud), calcul approché : voir les travaux de Bruno SUCHAUT Pour le calcul « pensé » au cycle 2, on peut faire référence au livre de Brissiaud déjà cité qui propose quatre axes : L’utilisation des doubles : 6+7 = 6+6+1 oraliser »six et six, douze. Douze et un treize. 6+7=13 Le retour au 5 : 8+6 = 5+3+5+1 oraliser « cinq plus cinq, dix, plus trois, treize, plus un quatorze » 8+6=14 Le passage de la dizaine (de la vingtaine…) 9+4=9+1+3 oraliser « neuf plus un, dix plus trois treize » 9+4=13 Le retour à la dizaine : 12+6=10+2+6 oraliser « six et deux, huit et dix, dix-huit » 12+6=18 Le passage du cinq met en jeu de trop petites unités ARF NT2 2008 F. Vautrot CPCAIEN Saint-Dizier

Numération à l’école primaire essai de synthèse Les problèmes … La séparation entre opération (mentale ?) et calcul À suivre… Deux types de problème : les problèmes pour apprendre le nombre (voir ci-dessus les propositions de Claude RAJAIN). les problèmes qui utilisent le nombre. Dans ce dernier cas, il est nécessaire de passer un contrat didactique fort avec les élèves, qui exclura dans un premier temps le calcul (le « résultat » et la phrase réponse qui relève d’autres compétences) Il s’agira d’abord de déterminer l’opération. En fait, il s’agira plus de « raconter une histoire » en utilisant une symbolique particulière, celle des mathématiques dans un système donné, que de trouver un résultat (normé) qui n’est rien d’autre qu’une représentation particulière du nombre « à trouver ». Dans la somme 13+12, 25 est l’une d’entre elles parmi une infinité d’autres (de 100/4 à 0,25 x 100 en passant par 20+5) Par exemple, dans le problème suivant : Pierre a douze billes en arrivant à l’école, il en gagne treize à la récréation. Combien a-t-il de billes ? La réponse EST 12+13, car c’est bien l’opération « mentale » qui compte ici, c’est-à-dire la prise de conscience que la solution de ce problème passe par la réunion de deux collections disjointes, et sa traduction grâce au symbolisme arithmétique. 12+13 est un nombre-somme qui a toute validité pour décrire la situation proposée. On peut à ce propos relire avec profit Vincent « Leplus » : http://www.premiumwanadoo.com/vincent.cordebard/entiers/revelation1.htm et la suite Pour une réflexion plus complète sur les problèmes on peut aussi consulter http://www.astro52.com/resolution.htm ARF NT2 2008 F. Vautrot CPCAIEN Saint-Dizier

Numération à l’école primaire essai de synthèse Références bibliographiques citées dans cette présentation: « Comment les enfants apprennent à calculer » BRISSIAUD Ed. Retz « J’apprends les maths / L’album à calculer - jeu de fiches à calculer» BRISSIAUD BOULARD OUZOULIAS RIOU Retz/Nathan « Comptes pour petits et grands » Vol. 1 S. BARUK Magnard « Apprentissages numériques » ERMEL/INRP Hatier, 3 volumes : GS/CP/CE1 « Des situations pour apprendre le nombre - Cycle 1 et GS » Lisbeth NEY, Claude RAJAIN, Evelyne VASLOT Sceren/CRDP Champagne-Ardennes ARF NT2 2008 F. Vautrot CPCAIEN Saint-Dizier

Numération à l’école primaire essai de synthèse Références Internet citées dans cette présentation: L’horloge mondiale : http://www.worldometers.info/fr/ Vincent CORDEBARD Le projet cartes-nombres http://dedalila.org/lepluswikini/wakka.php?wiki=CartesNombres Des révélations sur le plus : http://www.premiumwanadoo.com/vincent.cordebard/entiers/revelation1.htm Céline GUILLEMIN expérimentation des cartes-nombres : http://dedalila.org/lepluswikini/wakka.php?wiki=CartesNombresGS Claude RAJAIN Apprentissages du nombre et résolution de problèmes au cycle 1 : http://xxi.ac-reims.fr/ien_st_dizier/ien/file/ApprentissageNombreCycleI.pdf Apprentissage du système de numération et résolution de problèmes au cycle 2 et 3 : http://xxi.ac-reims.fr/ien_st_dizier/maths/Apprentissage_de_la_numeration_Cycle%202.pdf Situation sur la numération : http://xxi.ac-reims.fr/ien_st_dizier/ien/file/Situation_sur_20la_20numeration_n1.pdf ARF NT2 2008 F. Vautrot CPCAIEN Saint-Dizier

Numération à l’école primaire essai de synthèse Références Internet citées dans cette présentation - suite: Bruno SUCHAUT : Les acquisitions en mathématiques à l’école primaire : des compétences au centre des apprentissages : http://halshs.archives-ouvertes.fr/docs/00/18/75/16/PDF/07065.pdf Olivier Batteux : Comment les enfants apprennent à résoudre des problèmes : http://www.astro52.com/resolution.htm Des ressources intéressantes et gratuites Un site australien http://nlvm.usu.edu/fr/nav/category_g_1_t_1.html Le logiciel d’Olivier BATTEUX (GS-CP) : http://astro52.com/dl.php?idfile=002 et son site : http://www.astro52.com/pedagoaccueil.htm Les jeux de Lulu : http://pagesperso-orange.fr/jeux.lulu/ ARF NT2 2008 F. Vautrot CPCAIEN Saint-Dizier