Estimation de la structure par terme des taux d’ intérêt

Introduction Marché des taux d’ intérêt Construction de la courbe Modélisation Estimation de la courbe des taux Plan 2 Introduction Marché des taux d’ intérêt Construction de la courbe des taux Modélisation Estimation de la courbe des taux Conclusion

FINANCE : Allocation de ressources rares au cours du temps. PRODUIT FINANCIER : Ensemble de cash flows futurs définis selon une règle établie à priori. Introduction Marché des taux d’ intérêt Construction de la courbe Modélisation Estimation de la courbe des taux Conclusion

2 problèmes fondamentaux de la finance de marché :  le pricing ( tarification )  le hedging ( couverture) Introduction Marché des taux d’ intérêt Construction de la courbe Modélisation Estimation de la courbe des taux Conclusion

Principaux marchés :  Marché des matières premières  Marché des actions  Marché des changes Introduction Marché des taux d’ intérêt Construction de la courbe Modélisation Estimation de la courbe des taux Conclusion

Introduction Marché des taux d’ intérêt Construction de la courbe Modélisation Estimation de la courbe des taux Conclusion Marché des taux d'intérêt Marché monétaire Marché obligataire

Lors de l'émission d'obligation, l'émetteur doit préciser :  le prix d'émission  l'intérêt payé à chaque année à date fixe par détachement de coupon.  le prix de remboursement  les conditions de remboursement Introduction Marché des taux d’ intérêt Construction de la courbe Modélisation Estimation de la courbe des taux Conclusion

Maturity Date Face Value Issue Date Taux facial Taux de rendement Date de liquidation Le prix 14/04/ ,0014/04/199710,25%4,503%02/03/ ,49 06/01/ ,0006/01/20035,90%4,348%02/03/ ,67 18/04/ ,0018/04/20113,90%4,084%02/03/ ,90 04/12/ ,0004/12/20064,50%4,557%02/03/ ,36 Introduction Marché des taux d’ intérêt Construction de la courbe Modélisation Estimation de la courbe des taux Conclusion

 Courbe des taux:  La structure par terme des taux d’intérêt (ou courbe des taux ou encore gamme des taux) est la fonction qui à une date donnée et pour chaque maturité en abscisse, indique le niveau du taux d’intérêt associé en ordonnée. Introduction Marché des taux d’ intérêt Construction de la courbe Modélisation Estimation de la courbe des taux Conclusion

Introduction Marché des taux d’ intérêt Construction de la courbe Modélisation Estimation de la courbe des taux Conclusion Les courbes de marché Les courbes implicites  Obligations ( taux de rendement à maturité )  Swaps  La courbe des taux zéro-coupon  La courbe des taux forward

datematuritétaux 02/03/ ,420% 02/03/ ,440% 02/03/ ,540% 02/03/ ,605% 02/03/ ,895% 02/03/ ,931% 02/03/ ,039% 02/03/ ,285% 02/03/ ,355% 02/03/ ,488% 02/03/ ,504% 02/03/ ,510% 02/03/ ,626% Introduction Marché des taux d’ intérêt Construction de la courbe Modélisation Estimation de la courbe des taux Conclusion

Les modèles de reconstitution de la courbe des taux zéro-coupon au comptant ont trois principales applications en pratique:  Ils permettent d’évaluer à la date de reconstitution les produits de taux à flux déterministes  Ils permettent de dériver les autres courbes implicites  Ils sont le point de de départ pour la mise en place de modèles stochastiques Introduction Marché des taux d’ intérêt Construction de la courbe Modélisation Estimation de la courbe des taux Conclusion

Maturité initiale : 5479 (jours) Introduction Marché des taux d’ intérêt Construction de la courbe Modélisation Estimation de la courbe des taux Conclusion Maturity Date Face Value Issue Date Taux facial Taux de rendement Date de liquidation Le prix 14/04/ ,0014/04/199710,25%4,503%02/03/ ,49 06/01/ ,0006/01/20035,90%4,348%02/03/ ,67 18/04/ ,0018/04/20113,90%4,084%02/03/ ,90 04/12/ ,0004/12/20064,50%4,557%02/03/ ,36 datematuritétaux 02/03/ ,420% 02/03/ ,440% 02/03/ ,540% 02/03/ ,605% 02/03/ ,895% 02/03/ ,931% 02/03/ ,039% 02/03/ ,285% 02/03/ ,355% 02/03/ ,488% 02/03/ ,504% 02/03/ ,510% 02/03/ ,626%

Méthode de calcul sur le cours terme : Avec : t m, le taux monétaire, t a, le taux actuariel, n, le nombre de jours du placement, f, la fraction d'année du placement (base exact/exact). Introduction Marché des taux d’ intérêt Construction de la courbe Modélisation Estimation de la courbe des taux Conclusion datematuritétaux actuariel 02/03/ ,420% 02/03/ ,440% 02/03/ ,540% 02/03/ ,605% 02/03/ ,895% 02/03/ ,931% 02/03/ ,039% 02/03/ ,285% 02/03/ ,355% 02/03/ ,488% 02/03/ ,504% 02/03/ ,510% 02/03/ ,626%

 Méthode d’interpolation linéaire : Introduction Marché des taux d’ intérêt Construction de la courbe Modélisation Estimation de la courbe des taux Conclusion datematuritétaux actuariel 02/03/ ,420% 02/03/ ,440% 02/03/ ,540% 02/03/ ,605% 02/03/ ,895% 02/03/ ,931% 02/03/ ,039% 02/03/ ,285% 02/03/ ,355% 02/03/ ,488% 02/03/ ,504% 02/03/ ,510% 02/03/ ,626% Maturity Date Face Value Issue Date Taux facial Taux de rendement Date de liquidation Le prix 14/04/ ,0014/04/199710,25%4,503%02/03/ ,49 06/01/ ,0006/01/20035,90%4,348%02/03/ ,67 18/04/ ,0018/04/20113,90%4,084%02/03/ ,90 04/12/ ,0004/12/20064,50%4,557%02/03/ ,36

 Calcul des taux zéro-coupon sur le cours terme : Sur le court terme, les instruments sont généralement de type zéro-coupon  Calcul des taux zéro-coupon sur le long terme: Introduction Marché des taux d’ intérêt Construction de la courbe Modélisation Estimation de la courbe des taux Conclusion maturitétaux actuTaux zéro coupon 913,416% 1823,486% 3643,572% 7303,745%3,759% 10953,834%3,850% 14603,904%3,924% 18253,972%3,996% 21904,031%4,059% 25554,090%4,124% 29204,131%4,169% 32854,170%4,213% 36504,213%4,263% 40154,258%4,316% 43804,302%4,370% 47454,347%4,425%

L’étude historique des mouvements de la courbe des taux met en relief les points suivants :  - Les taux d’intérêt ne sont pas négatifs.  -Les taux d’intérêt sont affectés par des effets de retour à la moyenne.  - Les taux n’évoluent pas de façon parfaitement corrélés.  - Les taux à court terme sont plus volatiles que les taux à long terme.  - 3 facteurs de niveau, pente et courbure sont à l’origine de plus de 95% des mouvements de la courbe des taux. Introduction Marché des taux d’ intérêt Construction de la courbe Modélisation Estimation de la courbe des taux Conclusion

Vasicek (1977) a proposé de modéliser le taux court par un processus d’Ornstein-Uhlenbeck: où r(t): taux court en t (assimilable au taux JJ). b: moyenne sur long terme du taux court. a: vitesse de retour à la moyenne. W(t): mouvement brownien. Introduction Marché des taux d’ intérêt Construction de la courbe Modélisation Estimation de la courbe des taux Conclusion

Le modèle de COX, INGERSOLL et ROSS (1985) : Où : r(t): : Taux d’intérêt instantané a : Vitesse de retour à la moyenne b : Moyenne sur le long terme du taux instantané σ : Volatilité W(t) : Processus de WIENER Introduction Marché des taux d’ intérêt Construction de la courbe Modélisation Estimation de la courbe des taux Conclusion

Processus d’Ornstein Uhlenbeck : Discrétisation exacte : Où: Introduction Marché des taux d’ intérêt Construction de la courbe Modélisation Estimation de la courbe des taux Conclusion

Introduction Marché des taux d’ intérêt Construction de la courbe Modélisation Estimation de la courbe des taux Conclusion ModèleRR-deuxR-deux ajusté Erreur standard de l'estimation 1,768 a,590,568,00029 Modèle Coefficients non standardisés Coefficients standardisés TSig. A Erreur standardBêta 1(Constante),006,0018,257,000 TMP_1,839,043,83915,188,000 MinimumMaximumMoyenneEcart-typeN Prévision,0331,0340,0335, Résidu-,0059,0066,00000, Erreur Prévision -1,1841,513,0001, Erreur Résidu -2,0632,303,000,975881

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Dans le modèle de Vasicek, le prix d'un zéro- coupon de maturité T est donné par : Et sa volatilité : Introduction Marché des taux d’ intérêt Construction de la courbe Modélisation Estimation de la courbe des taux Conclusion

Courbe des taux Vasicek : Introduction Marché des taux d’ intérêt Construction de la courbe Modélisation Estimation de la courbe des taux Conclusion

« La théorie, c’est quand on sait tout et que rien ne fonctionne.La pratique, c’est quand tout fonctionne et que personne ne sait pourquoi. Ici, nous avons réuni théorie et pratique : rien ne fonctionne et personne ne sait pourquoi ! » Albert Einstein Introduction Marché des taux d’ intérêt Construction de la courbe Modélisation Estimation de la courbe des taux Conclusion