24/06/20181 TAC-Assurance Qualité

24/06/20182 Optimiser l’organisation des essais expérimentaux de telle manière que l’on obtienne le maximum de renseignements Avec le minimum d’expériences et la meilleure précision possible des résultats But:

24/06/20183 Plan du cours Introduction aux plans d’expériences Problématique Notion d’espace expérimental Plans factoriels complets à deux niveaux: 2 k Plan à deux facteurs Plan à trois facteurs Un exemple de plan à cinq facteurs Notation matricielle Plans factoriels fractionnaires à deux niveaux: 2 k-p Construction des plans fractionnaires Groupe des générateurs d’alias Calcul des contrastes Technique pour désaliaser Présentation d’une étude: Exemple d’application

24/06/20184 Problématique Les systèmes peuvent être complexes. Ils sont pilotés par de nombreux paramètres de conception et de réglages (X 1, X 2, X i,…). L'objet des plans d’expériences (experimental designs) est de quantifier l'influence des paramètres sur la réponse à partir de résultats d'expérimentations.

Facteurs Réponses Y 1 Y 2 Effets Causes X 1 X 2 X 3 Phénomène C J e fais varier… C J’observe des variations… Expériences

Modèle mathématique X 1 X 2 X 3 Facteurs Réponses Y 1 Y 2 Variation Raisonnée des Facteurs Calcul des Effets sur les réponses Plan d’expériences

24/06/20187 Méthodologie de la recherche expérimentale Essayer d'obtenir la meilleure qualité d'information possible BUT pouvoir effectuer le minimum d'expériences. ET

24/06/20188 Pour cela, il existe plusieurs stratégies d'expérimentation : Les plans complets : Cette stratégie consiste à tester toutes les combinaisons des paramètres sélectionnés (très long et coûteux) Les plans réduits : Cette stratégie consiste à tester une partie de toutes les combinaisons des paramètres. Les plans Taguchi : Génichi Taguchi a proposé une sélection de plans réduits (non traité ici). Problématique

24/06/20189 Problématique Méthode classique: on fixe le niveau de toutes les variables sauf une et on mesure la réponse y en fonction de plusieurs valeurs non fixées x 1

24/06/ Problématique Méthode des plans d’expériences On fait varier les niveaux de tous les facteurs à la fois à chaque expérience, mais de manière programmée et raisonnée. Avantages: Diminution du nombre d’essais. Nombre de facteurs étudiés très grand Détection des interactions entre facteurs Détection des optimaux Meilleure précision sur les résultats Optimisation des résultats Modélisation des résultats

24/06/ Plan du cours Introduction aux plans d’expériences Problématique Notion d’espace expérimental Plans factoriels complets à deux niveaux: 2 k Plan à deux facteurs Plan à trois facteurs Un exemple de plan à cinq facteurs Notation matricielle Plans factoriels fractionnaires à deux niveaux: 2 k-p Construction des plans fractionnaires Groupe des générateurs d’alias Calcul des contrastes Technique pour désaliaser Présentation d’une étude: Exemple d’application

24/06/ Représentation d’une étude Etudier le rendement d’une réaction chimique. à chaque essai on mesure le poids du composé dont on cherche à améliorer la préparation. On appelle « réponse » le poids déterminé à chaque essai. Etudier le rendement d’une réaction chimique. à chaque essai on mesure le poids du composé dont on cherche à améliorer la préparation. On appelle « réponse » le poids déterminé à chaque essai. Supposons que cette réaction est influencée par deux variables ( « facteurs » ): la température et la pression. On dit que la réponse dépend de deux facteurs. La valeur donnée à un facteur pour réaliser une essai est appelé « niveau »

24/06/ Notion d’espace expérimental Lorsqu'on étudie l'influence d'un facteur, en général, on limite ses variations entre deux bornes. La borne inférieure est le niveau bas. La borne supérieure est le niveau haut.

24/06/ Notion d’espace expérimental représentation géométrique: Plan d’expérience

24/06/ Modèle mathématique associé aux plans factoriels Y= ao+a1x1+a2x2+a12x1x2 Où: -y est la grandeur à laquelle s’intéresse l’expérimentateur. C’est la réponse. Elle est mesurée au cours de l’expérimentation -x1 représente le niveau attribué au facteur 1 pour réaliser un essai. Elle est connue - x2 représente le niveau attribué au facteur 2 pour réaliser le même essai. Elle est connue. -a0, a1, a2, a12 sont les coefficients du modèle mathématique adopté a priori. Ils ne sont pas connus et doivent être calculés à partir des résultats des expériences.

24/06/ Surface de réponse Notion d’espace expérimental Seuls les réponses correspondants aux points expérimentaux retenus par l’expérimentateur sont connus. On interpole entre les réponses connues pour obtenir la surface de réponse

24/06/ Plan du cours Introduction aux plans d’expériences Problématique Notion d’espace expérimental Plans factoriels complets à deux niveaux: 2 k Plan à deux facteurs Plan à trois facteurs Un exemple de plan à cinq facteurs Notation matricielle Plans factoriels fractionnaires à deux niveaux: 2 k-p Construction des plans fractionnaires Groupe des générateurs d’alias Calcul des contrastes Technique pour désaliaser Présentation d’une étude: Exemple d’application

24/06/ : signifie qu’il s’agit d’un plan Comportant l’étude de k facteurs Prenant chacun deux niveaux

24/06/ PLANS FACTORIELS COMPLETS A DEUX NIVEAUX Ces plans possèdent un nombre de niveaux limité à deux pour chaque facteur. Toutes les combinaisons de niveaux sont effectuées au cours de l'expérimentation. Plans factoriels complets à deux niveaux Exemple: Le rendement d’une réaction dépend de t° et de P. ABCD 60°C80°C60°C80°C 1 bar1bar2 bars2 bars

24/06/ P t C AB D On peut démontrer que la meilleure stratégie consiste à choisir les 4 points aux extrémités du domaine expérimental. Plans factoriels complets à deux niveaux

24/06/ N essaisT (facteur 1)P(facteur 2)rendement Niveau -60°C1 bar Niveau +80°C2 bars Facile: meilleur rendement 80°C, 2 bars Plans factoriels complets à deux niveaux

24/06/ Coordonnées centrées réduites x=(A-Ao)/Pas x:VC (variable codée) T: 60°C à 80°C donc une différence de 20° avec Ao =70°C, Et entre 1 et -1, il y a une différence de 2; c-à-d le Pas=10 L’intérêt des VC est de pouvoir présenter les plans d’expériences de la même manière quels que soient les domaines d’études retenus et quels que soient les facteurs.

24/06/ Représentation d’une étude et des résultats d’essais sous forme de tableau Tableau d’expériences= matrice d’expériences N° essaiFacteur 1Facteur 2Réponse 1 Y1 2 +1Y2 3 +1Y Y4 Niveau -60°C1 bar Niveau +80°C2 bar L’avantage est de pouvoir l’utiliser quelque soit le nombre de dimensions de l’espace expérimental.

24/06/ Effet d’un facteur Y1= +ao-a1-a2+a12 Y2= +ao+a1-a2-a12 Y3= +ao-a1+a2-a12 Y4= +ao+a1+a2+a12 La r é solution de ce syst è me donne : ao= ¼ [+y1+y2+y3+y4] a1= ¼ [-y1+y2-y3+y4] a2= ¼ [-y1-y2+y3+y4] a12= ¼ [+y1-y2-y3+y4]

24/06/ Signification de ao yo= +ao; si x1=x2=0 Centre du domaine d’étude Moyenne des quatres réponses mesurés aux sommets du domaine d’étude.

24/06/ y= +ao+a 1 x 1 ; pour x 2 =0 si x 1 = -1 ; y - = +a 0 -a 1 ; point E y - = ¼ [+y1+y2+y3+y4]- ¼ [-y1+y2-y3+y4] y - = ½ [+y1+y3] et si x1=+1 ; y + =+a 0 + a 1 y + = ½ [+y2+y4] c- à -d a 1 = 1/2[y + -y - ] Signification de a1 Le coefficient a1 s’appelle l’effet du facteur 1: c’est la variation moyenne de la réponse quand on passe du centre du domaine d’étude au niveau haut de ce facteur.

24/06/201827

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24/06/ Calcul de l’effet d’un facteur a1= ¼ [-y1+y2-y3+y4] -On multiplie chaque réponse par le signe correspondant de la colonne du facteur; -On additionne les produits; - On divise la somme par le nombre d’expériences

24/06/ Interprétation des résultats N° essaiFacteur 1Facteur 2Réponse 1 60 g g g g Niveau -60°C1 bar Niveau +80°C2 bar Moyenne ou ao75 g Effet du facteur 1 ou a15 g Effet du facteur 2 ou a210 g Interaction entre les facteurs ou a120 g Tableau des effets

24/06/ Ces résultats montrent que les deux facteurs sont influents sur l’augmentation du rendement et que l’interaction entre la température et la pression est nulle. La modélisation s’obtienne en remplaçant les coefficients par leur valeur numérique. Ainsi: y= 75+5x1+10x2

24/06/ Plans factoriels complets à deux niveaux P t y3y3 y1y1 y2y2 y4y4 60% 80%90% 70% 80% Moyenne des réponses au niveau bas de t Effet moyen de t Effet moyen de P Moyenne des réponses au niveau haut de t

24/06/ Plans factoriels complets à deux niveaux Ajoutons la moyenne

24/06/ Plans factoriels complets à deux niveaux N essaisT (facteur 1)P(facteur 2)rendement Niveau -60°C1 bar Niveau +80°C2 bars Autre exemple, mais cette fois avec un catalyseur

24/06/ Effet moyen de t Effet moyen de P Interaction température pression Plans factoriels complets à deux niveaux

24/06/ N essaisMoyenneT (facteur 1)P(facteur 2)Interactionrendement diviseur4444 Effet76,256,2511,251,25 Plans factoriels complets à deux niveaux

24/06/ Plans factoriels complets à deux niveaux N° essai MF1F2F3Rep Plan complet à trois facteurs 2 3

24/06/ N° essai MF1F2F3I12I13I23I div Effet27, ,25 0,250 Plans factoriels complets à deux niveaux Sans effet

24/06/ Plans factoriels complets à deux niveaux Construction des plans d’expériences Signes du facteur 1: … Signes du facteur 2: … Signes du facteur 3: … Etc…

24/06/ Plans factoriels complets à deux niveaux Plan complet à cinq facteurs

24/06/ Plans factoriels complets à deux niveaux Sans influence

24/06/ Plans factoriels complets à deux niveaux 1,3,9,11 identiques puisque les facteurs 2 et 4 sont sans influence

24/06/ Plans factoriels complets à deux niveaux Tout se passe comme si l’on avait répété quatre fois un plan à trois facteurs

24/06/ Plans factoriels complets à deux niveaux Meilleur résultat: Concentration maïs faible Présence de précurseur Absence de glucose

24/06/ Plans factoriels complets à deux niveaux Notation matricielle N essaisMoyenneT (facteur 1)P(facteur 2)Interaction TP transposée

24/06/ Plans factoriels complets à deux niveaux Matrice vecteur Y des réponses Matrice vecteur E des effets soit X t Y=4E E=X t Y/n Une fois généralisée:

24/06/ Plan du cours Introduction aux plans d’expériences Problématique Notion d’espace expérimental Plans factoriels complets à deux niveaux: 2 k Plan à deux facteurs Plan à trois facteurs Un exemple de plan à cinq facteurs Notation matricielle Plans factoriels fractionnaires à deux niveaux: 2 k-p Construction des plans fractionnaires Groupe des générateurs d’alias Calcul des contrastes Technique pour désaliaser Présentation d’une étude: Exemple d’application

24/06/ Plans factoriels fractionnaires à deux niveaux: 2 k-p Pour 7 facteur, 2 7 = 128 essais!!! Pour diminuer le nombre des essais en conservant la possibilité d'étudier tous les facteurs, les plans factoriels fractionnaires à deux niveaux sont introduits.

24/06/ N° essai MF1F2F3Rep Plan complet à trois facteurs 2 3 N° essai MF1F2F3Rep Plan fract Plans factoriels fractionnaires à deux niveaux: 2 k-p On expliquera ce choix plus tard

24/06/ Plan complet Plan fract. I Fact1 Fact 2 Fact 3 27, ,5 -0,75 -6,25 -4,25 … Très proches finalement… mais quel est le prix à payer?? Plans factoriels fractionnaires à deux niveaux: 2 k-p

24/06/ Reprenons les calculs de E 3 et E 12 e 3 = E 3 + E 12 E 3 et E 12 sont dits aliasés, e 3 peut être appelé alias ou contraste ou simplement effet. Plans factoriels fractionnaires à deux niveaux: 2 k-p

24/06/ Plans factoriels fractionnaires à deux niveaux: 2 k-p Nombre d’expériences divisé par 2. Prix à payer: Les effets calculés ne sont plus « purs », ils sont mélangés ou aliasés avec les interactions. Ici les interactions étaient négligeables donc e 3  E 3

24/06/ Plans factoriels fractionnaires à deux niveaux: 2 k-p Hypothèses d’interprétation 1. Les interactions du troisième ordre ou plus sont considérées comme négligeables. 2. Si un contraste est nul, cela peut signifier : que les effets aliasés sont nuls que les effets aliasés se compensent (cas rare) 3. Si deux effets sont faibles, on supposera que leur interaction l’est aussi 4. Si deux effets sont forts, on se mefiera de leur interaction qui peut également être forte.

24/06/ Plans factoriels fractionnaires à deux niveaux: 2 k-p N° essai IF1F2F3I12I13I23I er demi plan 2 e demi plan Identiques pour les facteurs 1 et 2 Si on considère le ½ plan sup. 3 = 12 équivalent à e 3 =E 3 +E 12 Si on considère le ½ plan inf. 3 = -12 équivalent à e’ 3 =E 3 -E 12 Notation de Box

24/06/ Plans factoriels fractionnaires à deux niveaux: 2 k-p Sur le premier ½ plan: e 1 = E 1 + E 23 e 2 = E 2 + E 13 e 3 = E 3 + E 12 e M = I + E 123 Sur le deuxième ½ plan: e’ 1 = E 1 - E 23 e’ 2 = E 2 - E 13 e’ 3 = E 3 - E 12 e’ M = I - E 123 Une colonne de signes multipliée par elle-même donne une colonne de signes + I = 1 2 = 2 2 = 3 2

24/06/ Plans factoriels fractionnaires à deux niveaux: 2 k-p Générateur d’aliases Pour le ½ plan sup. I = 123 I x 1 = 123 x 1 1 = = 23 2 = 13 3 = 12 générateur d’aliases On comprend maintenant le choix des essais 5, 2, 3, 8. On a pris les essais correspondant aux signes + de l’interaction 123.

24/06/ Plans factoriels fractionnaires à deux niveaux: 2 k-p Méthode dangereuse? Non, on peut toujours réaliser la deuxième moitié du plan s’il y a un doute. Au mieux, seulement la moitié des expériences est réalisée. Outils qui s’adapte parfaitement à l’acquisition progressive des données

24/06/ Plans factoriels fractionnaires à deux niveaux: 2 k-p Construction des plans fractionnaires 2 facteurs -> 3 facteurs (2 3-1 fractionnaire) N° essai MF1F2I N° essai MF1F2F = 12 On prend une interaction d’ordre élevé. Ici I 12 Générateur d’aliases : 123

24/06/ Plans factoriels fractionnaires à deux niveaux: 2 k-p IF1F2F3I23I Construction des plans fractionnaires 3 facteurs -> 5 facteurs (2 5-2 fractionnaire) IF1F2F3F4F = 23 5=123 On prend deux interactions d’ordre élevé. Ici I23 et I123 Deux générateurs d’aliases : I = 234 et I = 1235

24/06/ Plans factoriels fractionnaires à deux niveaux: 2 k-p

24/06/ Ces deux générateurs d’aliases : I = 234 et I = 1235 sont dits indépendants. Ils traduisent le fait que 234 = 1235 = I Si l’on multiplie entre eux les générateurs d’aliases indépendants, on obtient: I x I = 1235 x 234 I = = 145 I = 234 = 1235 = 145 Tous ne présentent que des signes + Le générateur I = 145 est dit dépendant Plans factoriels fractionnaires à deux niveaux: 2 k-p Groupe des générateurs d’aliases des plans 2 k-p

24/06/ Plans factoriels fractionnaires à deux niveaux: 2 k-p Calcul des contrastes I = 234 = 1235 = 145 I x 1 = 234 x 1 = 1235 x 1 = 145 x 1 1 = 1234 = 235 = 45 e 1 = E 1 + E E E 45 …

24/06/ Plans factoriels fractionnaires à deux niveaux: 2 k-p Notion de résolution: On appellera plan de résolution III, un plan fractionnaire dans lequel les facteurs principaux seront aliasés aux interactions d’ordre 2. C’est le cas d’un plan défini par I = 123 e 1 = E 1 + E 23 e 2 = E 2 + E 13 e 3 = E 3 + E 12 On appellera plan de résolution IV, un plan fractionnaire dans lequel les facteurs principaux seront aliasés aux interactions d’ordre 3. C’est le cas d’un plan défini par I = 1234 Exemple…

24/06/ Plans factoriels fractionnaires à deux niveaux: 2 k-p Un exemple: le gâteau d’anniversaire La réponse est la hauteur du cake mesurée en millimètres. Plus, il sera haut meilleur sera le résultat. Comme on ne veut pas préparer 32 gâteaux, on décide d'exécuter un plan factoriel fractionnaire en aliasant le facteur 4 sur l'interaction 123 et le facteur 5 sur l'interaction 13.

24/06/ Plans factoriels fractionnaires à deux niveaux: 2 k-p Générateur d’aliases indépendants: 1234 et 135 Générateur d’aliases dépendant: 1234 x 135 = 245 I = 135 = 245 =

24/06/ Plans factoriels fractionnaires à deux niveaux: 2 k-p I = 135 = 245 = 1234 I x 1 = 135 x 1 = 245 x 1 = 1234 x 1 1 = 35 = 1245 = 234 e 0 = E 0 + E E E 1234  E 0 e 1 = E 1 + E 35 + E E 234  E 1 + E 35 e 2 = E 2 + E 45 + E E 1235  E 2 + E 45 e 3 = E 3 + E 15 + E E 2345  E 3 + E 15 e 4 = E 4 + E 25 + E E 1345  E 4 + E 25 e 5 = E 5 + E 13 + E 24 + E  E 5 + E 13 + E 24 e 12 = E 12 + E 34 + E E 145  E 12 + E 34 e 14 = E 14 + E 23 + E E 345  E 14 + E 23 Les contrastes sont simplifiés en tenant compte des hypothèses d'interprétation (Hypothèse 1)

24/06/ e 0  E 0 = 30 e 1  E 1 + E 35 = -11 e 2  E 2 + E 45 = 1 e 3  E 3 + E 15 = -2 e 4  E 4 + E 25 = 1 e 5  E 5 + E 13 + E 24 = 12 e 12  E 12 + E 34 = 2 e 14  E 14 + E 23 = 1 Plans factoriels fractionnaires à deux niveaux: 2 k-p Cinq contrastes sont faibles. D'après l'hypothèse 2, on peut conclure que les effets et les interactions aliasés dans ces contrastes sont tous faibles. On néglige les facteurs Durée (2), Farine (3) et Sucre (4).

24/06/ En revanche les contrastes e 1 et e 5 ne sont pas négligeables. Il faut donc se méfier de l'interaction E 15 qui pourrait être forte (Hypothèse 4). Cette interaction est aliasée avec le facteur 3 dans le contraste e 3. Comme ce contraste est faible, l'interaction l'est aussi (Hypothèse 2). On peut donc conclure qu'il y a 2 facteurs influents sur la hauteur du gâteau, la Température (1) et le nombre d'oeufs (5). Il n'y a pas d'interaction entre ces deux facteurs. Si l'on veut un gâteau de bonne hauteur, il faut travailler à 160°C (niveau bas) et avec 4 oeufs (niveau haut). Plans factoriels fractionnaires à deux niveaux: 2 k-p

24/06/ Technique pour désaliaser Un exemple: Un plan fractionnaire On construit un plan de base 23 que l’on aliase avec les facteurs supplémentaires 4 = 123 et 5 = 13 Le groupe de générateur d’aliases devient I = 1234 = 135 = 245 On obtient après simplification… Plans factoriels fractionnaires à deux niveaux: 2 k-p

24/06/ e 1  E 1 + E 35 = -2,18 e 3  E 3 + E 15 = -3,33 e 5  E 5 + E 13 + E 24 = -4,55 e 2  E 2 + E 45  0 soit E 2  0 et E 45  0 e 4  E 4 + E 25  0 soit E 4  0 et E 25  0 e 12  E 12 + E 34  0 soit E 12  0 et E 34  0 e 14  E 14 + E 23  0 soit E 14  0 et E 23  0 Semblent non significatifs Semblent significatifs Il est difficile de conclure car l’interaction 35 peut être différente de zéro étant donné que les effets 3 et 5 sont influents. De même pour les interactions 15 et 13… Plans factoriels fractionnaires à deux niveaux: 2 k-p

24/06/ e’ 1  E 1 - E 35 e’ 3  E 3 - E 15 e’ 5  E 5 - E 13 Il faudrait pouvoir calculer les contrastes: E 1 = (e 1 + e’ 1 )/2 E 35 = (e 1 - e’ 1 )/2 parce qu’on obtiendrait: Nous devons donc bâtir un plan complémentaire 4 = 123 et 5 = -13 Avec comme GGA : I = 1234 = -135 = -245 Plans factoriels fractionnaires à deux niveaux: 2 k-p Générateur d’aliases I= -135

24/06/ E 1 E 2 E 3 E 4 E 5 E 15 E 25 E 35 E 45 E 12 +E 34 E 13 +E 24 E 14 +E 23 I +E ,34  1 -0,78  1 -0,07  1 -0,87  1 -3,84  1 -3,26  1 0,97  1 -0,84  1 0,22  1 0,09  1 -0,71  1 -0,68  1 25,45  1 Conclusion Seuls deux facteurs sont influents et une forte interaction existe entre ces deux facteurs Plans factoriels fractionnaires à deux niveaux: 2 k-p

24/06/ Plan du cours Introduction aux plans d’expériences Problématique Notion d’espace expérimental Plans factoriels complets à deux niveaux: 2 k Plan à deux facteurs Plan à trois facteurs Un exemple de plan à cinq facteurs Notation matricielle Plans factoriels fractionnaires à deux niveaux: 2 k-p Construction des plans fractionnaires Groupe des générateurs d’alias Calcul des contrastes Technique pour désaliaser Présentation d’une étude: Exemple d’application

Plan factoriel fractionnaire Exemple: Dépropaniseur 24/06/201874

24/06/ Description de l’étude

2.Objectif de l’étude On désire les réglages de l’unité qui minimisent le coût de l’énergie dépensée pour la séparation des deux gaz. 24/06/201876

3.Poser le problème 3.1. La réponse La réponse est la dépense en francs correspondant à un réglage donné du dépropaniseur Les facteurs étudiés L’expérimentateur pense que quatre facteurs peuvent influencer la réponse:: -facteur 1: la pression au condenseur; -facteur 2: La température de la charge à l’entre de l’unité; -facteur 3 : Le numéro du plateau où l’on introduit la charge; -facteur 4: Le taux de recycle au rebouilleur. 24/06/201877

3.3 Le domaine d’étude 24/06/201878

4. Matrice d’expérience et expérimentation 24/06/201879

24/06/201880

5. Interprétation 5.1 Les contrastes 24/06/201881

5.2. Tableau des effets Trois contrastes sont élevés. Les contrastes e1 à e4 sont égaux aux effets principaux des facteurs 1 à 4 puisque les interactions d’ordre 3 sont considérés negligeables. Le contraste e 23 correspond à l’interaction 14 et non à l’interaction /06/201882

Un diagramme à barre permet de traduire sous une forme plus visuelle. Deux facteurs sont influents et il y a une interaction entre eux: -Facteur 1 : La pression au condenseur; -Facteur 4 : Le taux de recycle au rebouilleur. 24/06/201883

24/06/201884

6. Conclusion Le coût de l’énergie dépensée est au plus faible lorsque la pression au condenseur est basse et que le taux de recycle au rebouilleur est fort. Ces réglages assurent une meilleure rentabilité de l’unité de séparation du propane et du butane. On veillera particulièrement à la pression du condenseur qui est le facteur le plus influent. 24/06/201885