Chapitre 2 L’O-R-C-D

Ressources/Couts/délais Objectif Délais Coûts Ressources

Les Ressources La ressource est un moyen technique ou humain destiné à être utilisé pour la réalisation d'une tâche et disponible en quantité limitée, sa capacité. Renouvelables Ressources Consommables

Les ressources d’un projet Deux types : Les ressources renouvelables : ce sont des ressources réutilisables, dès qu’elles se libèrent, c’est à dire dès que la tâche qui leur est allouée se termine. La quantité de ressources accessible à chaque instant, est limitée, mais sa quantité maximale disponible reste invariante sur une période de temps. Deux types de ressources renouvelables : Ressources disjonctives : une seule tâche à la fois Ressources cumulatives : plusieurs tâches simultanées Les ressources consommables : ce sont des ressources utilisables. La quantité de ressources est limitée et décroît au fur et à mesure de son utilisation par les tâches (composants, matières premières). Notion de capacité / charge

Découpage en activités Préparation Vue d’ensemble Découpages

Découpage en activités Analyse/Contrôle Synthèse Réalisation 5

L’ordonnancement Qu’est-ce que c’est l’Ordonnancement? Mission de l’Ordonnancement Ordonnancement : avantages et inconvénients Les Méthodes de l’Ordonnancement Les Caractéristiques de l’Ordonnancement Les 5 niveaux d’Ordonnancement

L’ordonnancement Un problème d'ordonnancement (ou méthode Metra) consiste à organiser dans le temps la réalisation de tâches, compte tenu de contraintes temporelles (délais, contraintes d'enchaînement) et de contraintes portant sur la disponibilité des ressources requises. Il est défini par le planning d'exécution des tâches (« ordre » et « calendrier ») et d'allocation des ressources et vise à satisfaire un ou plusieurs objectifs.

Mission de l’Ordonnancement Prévoir la chronologie du déroulement des tâches Optimiser l’utilisation des moyens nécessaires, et les rendre disponibles Lancer les travaux au mement choisi Contrôler l’avancement et la fin des tâches, et prendre en compte les écartes entre prévisions et réalisations

Ordonnancement : avantages et inconvénients Déterminer la date de réalisation d’un projet. Identifier les marges existantes sur certaines tâches ( avec une date de début au plus tôt et une date au plus tard). La date au plus tard de début d’une tâche, la date à ne pas dépasser sans retarder l’ensemble du projet. Inconvénient : Ne résoud pas tous les problèmes, en particulier si l’on doit planifier des fabrications qui viennent en concurrence pour l’utilisation de certaines ressources.

Méthodes d’ordonnancement 1. Méthode de Gantt : pour représenter 2. Méthode PERT pour planifier Méthode Potentiel / Tâches Méthode de Johnson pour ordonnancer Méthode de Khun pour allouer les ressources

1. Le diagramme de Gantt Représentation ancienne datant de 1918 et encore très répandue mais sous des formes résolument modernes (voir exemples de planning). Objectif - déterminer la meilleure façon de positionner les différentes tâches à exécuter, sur une période déterminée, en fonction : des durées de chacune des tâches, des contraintes d’antériorité entre les différentes tâches, des délais à respecter, des capacités de traitement. tâche A tâche B tâche C tâche D tâche E tâche F 3 jours 2 jours 4 jours 5 jours 1 jour Exemple – tâches à réaliser B et D après A C après B E après D F après C et E

Le diagramme de Gantt Présentation du diagramme de Gantt 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 Tache A Tache B Tache C Tache D Tache E Tache F Représentation des tâches Marge

Evolutions du diagramme de gantt Le diagramme de Gantt Evolutions du diagramme de gantt

Le diagramme de Gantt au plus tôt Dates au plus tôt Le diagramme de Gantt au plus tôt 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 DEBUT B A FIN J C I D H F E G

Le diagramme de Gantt au plus tard Dates au plus tard 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 B DEBUT A FIN J C I D H F E G

Le diagramme de Gantt Avantages : Déterminer la date de réalisation d’un projet. Identifier les marges existantes sur certaines tâches ( avec une date de début au plus tôt et une date au plus tard). La date au plus tard de début d’une tâche, la date à ne pas dépasser sans retarder l’ensemble du projet. Inconvénient : Ne résoud pas tous les problèmes, en particulier si l’on doit planifier des fabrications qui viennent en concurrence pour l’utilisation de certaines ressources.

(Program Evaluation Review Technique) 2. Le diagramme PERT Le diagramme PERT (Program Evaluation Review Technique)

Origine A la fin des années cinquante, la marine américaine conçoit une nouvelle technique d'ordonnancement qui devait conduire à des gains de temps importants dans la réalisation de ses missiles à ogive nucléaire Polaris : C'est la technique PERT (Program Evaluation and Review Technique) = Technique d‘Ordonnancement et de Contrôle des Programmes.

Origine Le projet POLARIS représentait entre autres : - 250 fournisseurs, - 9000 sous-traitants, - 7 ans de réalisation. L’utilisation du PERT a permis de ramener la durée globale de réalisation du projet de 7 à 4 ans. Cette méthode s’est ensuite étendue à l’industrie américaine puis à l’industrie occidentale.

Origine La méthode PERT est : « une méthode consistant à mettre en ordre sous forme de réseau plusieurs tâches qui grâce à leur dépendance et à leur chronologie concourent toutes à l'obtention d'un produit fini ». La méthode PERT s’attache surtout à mettre en évidence les liaisons qui existent entre les différentes tâches d’un projet et à définir le chemin dit " critique ".

Principe Le graphe PERT est composé d’étapes et de tâches (ou opérations). On représente les tâches par des flèches. La longueur des flèches n’a pas de signification. Tâche ou opération : elle fait avancer une oeuvre vers son état final. Exemple de représentation de la tâche A. Habituellement, on nomme les tâches et on indique leur durée.

Principe Etape : On appelle étape, le début ou la fin d’une tâche. Exemple de représentation de l’étape 1. Habituellement, on numérote les étapes. On indique aussi leur temps de réalisation au plus tôt et au plus tard.

Principe Réseau : on appelle réseau ou diagramme PERT, l’ensemble des tâches et des étapes qui forment le projet. - Un réseau possède toujours une étape de début et une étape de fin. - On lit un réseau de la gauche vers la droite. - Les flèches sont orientées dans ce sens. Il n’y a jamais de retour. - On ne peut représenter une tâche que par une seule flèche.

Règles Règle 1 - Toute tâche a une étape de début et une étape de fin. - Une tâche suivante ne peut démarrer que si la tâche précédente est terminée.

Règles Règle 2 - Deux tâches qui se succèdent immédiatement sont représentées par des flèches qui se suivent.

Règles Règle 3 - Deux tâches C et D qui sont simultanées sont représentées de la manière suivante :

Règles Règle 4 - Deux tâches E et F qui sont convergentes (c’est à dire qui précèdent une même tâche G) sont représentées de la manière suivante :

Règles Règle 5 Parfois, il est nécessaire d’introduire des tâches fictives. Une tâche fictive a une durée nulle. Elle ne modifie pas le délai final. Par exemple, si la tâche K succède aux tâches H et J, et que la tâche L succède seulement à la tâche H, on représente le problème de la manière suivante :

Application 1

Application

Application

Application

Application

Application

Application

Chemin critique Nous pouvons maintenant définir les temps au plus tôt et au plus tard de chaque étape. Nous définirons aussi le chemin critique en reliant les étapes qui n’ont aucune marge.

Dates de début au plus tôt La date début au plus tôt dptôt(i) d’une tâche i = longueur du plus long chemin de la tâche Début (ou 0) à i Formule de récurrence dptôt(i)=maxjPred(i)(dptôt(j)+durée(j)) dptôt(0) =0

Dates de fin au plus tard On souhaite terminer le projet au plus tard à la date D=dptôt(n+1) Date de début au plus tard de i = Date maximum à laquelle on peut exécuter i sans retarder le chantier Longueur du plus long chemin de i à Fin (ou n+1) Formule de récurrence dptard(n+1)=D dptard(i)=minjSucc(i)dptard(j)-durée(i)

Marges, chemin critique La marge totale d’une tâche i est le retard total qu’on peut se permettre sur i sans remettre en cause la date de fin du projet MT(i)=dptard(i)-dptôt(i). Les tâches critiques ont une marge nulle. Tout retard sur leur exécution entraîne un retard global sur le projet Un chemin est critique s’il relie Début à Fin et s’il ne contient que des tâches critiques

Exemple de calcul B Dates au plus tôt 10 5 8 3 Dates au plus tard 7 10 8 4 3 5 4 E Chemin(s) critique(s) 3 2 fin A C 3 5 3 3 2 F D Sommets = tâches à réaliser Arcs = relation d’antériorité (valuation : durée de la tâche initiale)

Application 4 11 3 8 15 15 13 13 24 24 13 13 5 5 16 17

Chemin critique

Application 2

Modélisation 8 6 4 1 2 Début G K J H D A E F B C O L M N I Fin 1 2 3 4 5 6 7 8 NIVEAU : Le niveau d’une tâche X est le plus grand nombre d’arc sur un chemin entre Début et X

L’optimisation des coûts par le moyen du chemin optimal (La programmation dynamique)

Le chemin optimal y  V( x ) B D A F C E Notations : Désignons par V ( x ) l’ensemble des taches à accomplir dans un projet, Soit C ( x , y ) le cout nécessaire pour réaliser une tache et passer à la deuxième, Soit f ( x ) le chemin optimal pour réaliser toutes les taches entre x et F . f ( x ) = min C ( x , y ) + f ( y ) et f ( F ) = 0 y  V( x ) 9 f( F ) = 0 f( D ) = 11 + f ( F ) f( E ) = 38 + f ( F ) f( B ) = min{ 9 + f ( D ) , 15 + f ( E ) } f( C ) = min{ 37 + f ( D ) , 12 + f ( E ) } f( A ) = min{ 40 + f ( B ) , 13 + f ( C ) } B D 40 11 15 A F 37 13 38 C E 12

Le chemin optimal Nous résolvons ces contraintes par substitution : f( F ) = 0 f( D ) = 11 f( E ) = 38 f( B ) = 20 f( C ) = 48 f( A ) = 60 f( A ) = 60 = 40 + f( B ) = 40 + 9 + f( D ) = 40 + 9 + 11 9 B D 40 11 15 A F 37 13 38 C E 12

Le chemin optimal Principe : « toute partie d’un chemin optimal est elle-même optimale » Exemple : projet de voie ferrée entre A et L Démarche générale pour la construction du graphe Calculs séquentiels et élimination de sous-chemins E 2 7 I B 8 6 5 1 F 3 3 4 J L 5 C 4 A 8 9 G 8 6 5 7 D 4 K 7 H 6

L’optimisation des coûts par le moyen de la méthode hongroise

Problème d’affectation La méthode hongroise Recherche Operationnelle Problème d’affectation La méthode hongroise Application : • Les coûts de réalisation des taches selon les différentes équipes sont donnés par le tableau ci-dessous. • Chercher la meilleure affectation de manière à rendre le coût de ce projet au minimum Management Logistique

Problème d’affectation La méthode hongroise Recherche Operationnelle Problème d’affectation La méthode hongroise Etape 1: Obtention des zéros Créer une nouvelle matrice des coûts en choisissant le coût minimal dans chaque colonne et en le soustrayant de chaque coût dans la colonne ( Idem pour les lignes ). Management Logistique

Problème d’affectation La méthode hongroise Recherche Operationnelle Problème d’affectation La méthode hongroise Etape 2:Recherche d’une solution optimale - On cherche la ligne ou des lignes comptant le moins de zéro. - On encadre un des zéros de cette ligne, puis on barre les zéros qui se trouvent sur la même ligne et dans la même colonne que les zéros encadrés. - On répète le processus pour les lignes restantes. Un zéro encadré par ligne ⇒ Solution optimale Management Logistique

Problème d’affectation La méthode hongroise Recherche Operationnelle Problème d’affectation La méthode hongroise La ligne 4 ne contient pas un zéro encadré donc on va appliquer l’étape 3 et 4 de l’algorithme. Management Logistique

Recherche Operationnelle Problème d’affectation La méthode hongroise Etape 3:Recherche des rangées en nombre minimal contenant tous les zéros: a. On marque d’une croix toute ligne ne contenant aucun zéro encadré. b. On marque toute colonne qui a un zéro barré sur une ou plusieurs lignes marquées. c. On marque toute ligne qui a un zéro encadré sur une ou plusieurs colonnes marquées. d. On répète b) et c) jusqu’à ce qu’il n’y ait plus de colonne ou de ligne à marquer. On trace un trait sur toute colonne marquée. On trace un trait sur toute ligne non marquée. Management Logistique

Recherche Operationnelle Problème d’affectation La méthode hongroise Management Logistique

Problème d’affectation La méthode hongroise Recherche Operationnelle Problème d’affectation La méthode hongroise Etape 4: Déplacement de certains zéros: -Tableau partiel : éléments traversés par aucun trait. - Le plus petit élément du tableau partiel est ajouté aux éléments rayés deux fois et retranché des éléments du tableau. - Retour à la phase 2. Management Logistique

Problème d’affectation La méthode hongroise Recherche Operationnelle Problème d’affectation La méthode hongroise Le plus petit élément est 2, ainsi on aura le tableau ci-dessous: Management Logistique

Recherche Operationnelle Problème d’affectation La méthode hongroise Management Logistique

Recherche Operationnelle Problème d’affectation La méthode hongroise Management Logistique