Formes des nombres complexes Légende Montage préparé par : S Cliquer pour la suite. André Ross Professeur de mathématiques Cégep de Lévis-Lauzon Revenir à la diapositive précédente. Aller à la diapositive suivante.

Introduction Les nombres complexes ont une particularité intéressante : on peut les exprimer sous diverses formes. Dans la présentation précédente, nous avons vu la forme rectangulaire (ou cartésienne) des nombres complexes, mais on peut également les représenter sous forme trigonométrique, polaire et exponentielle. Nous avons présenté la forme polaire d’un vecteur de R2 au chapitre 6. La forme polaire des nombres complexes s’obtient de la même façon. Cependant, sur les nombres complexes, on peut définir des opérations qui n’existent pas sur les vecteurs. Voyons ces différentes formes plus en détail.

Argument DÉFINITION Argument d’un nombre complexe Soit z = a + bi, un nombre complexe qui fait un angle q avec la direction positive de l’axe des réels. L’argument de z, noté arg z ou simplement q, est l’angle, orienté à la manière trigonomé-trique, que le vecteur fait avec la direction positive de l’axe des réels. Il est défini à l’aide de : q a si a > 0 a ± 180° si a < 0 90° si a = 0 et b > 0 –90° si a = 0 et b < 0 b a a = arctan ; on a q =

Forme trigonométrique On peut exprimer tout nombre complexe en fonction de son module et de son argument. En effet, dans le triangle rectangle formé, on a : a = r cos q et b = r sin q Par substitution on obtient : z = a + ib = r cos q + i r sin q = r (cos q + i sin q) Grâce à la définition de cos q et de sin q sur le cercle trigonomé-trique, ces formules sont valides pour tout angle q. DÉFINITION Forme trigonométrique d’un nombre complexe L’expression : z = r (cos q + i sin q) est appelée forme trigonométrique du nombre complexe. On constate que le nombre est décrit seulement par son module et son argument. On utilise également la notation condensée z = r cis q pour représenter la forme trigonométrique.

Rappel de trigonométrie Dans les exemples et les exercices, nous utiliserons beaucoup les valeurs trigonométriques des angles remarquables que l’on obtient facilement sur le cercle trigonométrique. (0; 1) 3 (–1/2; /2) 3 (1/2; /2) 2 (– /2; /2) 2 ( /2; /2) En effet, l’abscisse et l’ordonnée des points sur le cercle trigono-métrique sont respectivement le cosinus et le sinus de l’angle que le rayon aboutissant en ce point fait avec la direction positive de l’axe horizontal. 3 ( /2; 1/2) 3 (– /2; 1/2) 60° 45° 30° (1; 0) (–1; 0) 3 ( /2; –1/2) 3 (– /2; –1/2) 2 ( /2;– /2) 2 (– /2;– /2) 3 (–1/2;– /2) 3 (1/2;– /2) (0; –1)

Exemple 8.3.1 S Exprimer sous forme trigonométrique le nombre z = –2 Le module du nombre complexe est : r = z = – 2 3 2 + 22 = 12 + 4 = 16 = 4 q 2 De plus : a = arctan a – 2 3 –1 = arctan = –30° 3 et : q = a + 180° = 150°, car la représentation graphique permet de constater que 90° <  q  < 180°. La forme trigonométrique est donc : z = 4(cos 150° + i sin 150°) = 4 cis 150° S

Exemple 8.3.2 S Représenter graphiquement le nombre complexe : z = 3(cos 3π/4 + i sin 3π/4) et trouver sa forme rectangulaire. q Pour représenter graphiquement le nombre z, on trace un vecteur de longueur 3 et d’argument 3π/4 rad, ce qui donne la représentation ci-contre. Pour trouver la forme rectangulaire, il faut d’abord évaluer le cosinus et le sinus de l’argument de z; on obtient ainsi : – 2 2 z = 3(cos 3π/4 + i sin 3π/4) = 3 + i 2 2 –3 2 3 2 = + i 2 2 S

Exemple 8.3.3 S S Représenter graphiquement le nombre complexe : z = –3 + 5i et trouver sa forme trigonométrique. q Pour représenter graphiquement le nombre z, on trace un vecteur dont l’origine est (0; 0) et dont l’extrémité est (–3; 5). a r = z = (–3)2 + 52 = 34 = 5,83 5 3 a = arctan – = –1,03 rad Puisque le vecteur est dans le deuxième quadrant : q = –1,03 + π = 2,11 rad La forme trigonométrique est : z = 5,83(cos 2,11 + i sin 2,11) S S

Égalité sous forme trigonométrique Représentons graphiquement le nom-bre : 4(cos 30° + i sin 30°) Faisons effectuer un tour supplé-mentaire au rayon vecteur. On obtient le nombre complexe : 4(cos 390° + i sin 390°) 30° 390° Ces deux nombres sous forme trigo-nométrique sont représentés par le même vecteur. Ils sont donc égaux. De plus, en exprimant ces deux nombres en coordonnées rectangulaires, on obtient la même expression, soit : 4( 3 /2 + i/2) = 2 3 + 2i On doit nécessairement tenir compte de cette caractéristique lorsque deux nombres complexes sous forme trigonométrique sont égaux. S

Égalité sous forme trigonométrique Deux nombres complexes sous forme trigono-métrique sont égaux s’ils ont le même module et si la différence de leurs arguments est égale à un multiple entier de 360° (ou 2π rad), puisque les fonctions sinus et cosinus sont périodiques de période 360° (ou 2π rad). q2  q1  =  q2 + 2π  THÉORÈME Égalité de nombres complexes (forme trigonométrique) Soit z1 = r1(cos q1 + i sin q1) et z2 = r2(cos q2 + i sin q2), deux nombres complexes sous forme trigonométrique. Alors, z1 = z2 si et seulement si : r1 = r2 et q1 = q2 + 2kπ, pour k Î Z S

Conjugué sous forme trigonométrique Un nombre complexe z = r (cos q + i sin q) et son conjugué ont le même module r. De plus, si q est l’argument du nombre z, l’argument de son conjugué est –q. q – q Donc, z = r(cos(–q) + i sin(–q)) De plus, comme a + bi = a – bi, on a : z = r(cos q – i sin q) DÉFINITION Forme trigonométrique du conjugué Soit z = r (cos q + i sin q), un nombre complexe sous forme trigonométrique. Le conjugué de z est alors : z = r(cos(–q) + i sin(–q)) ou encore : z = r(cos q – i sin q) S

Forme polaire Dans la forme trigonométrique des nombres complexes, les seuls paramètres sont le module et l’argument; il est donc suffisant de donner la valeur de ces paramètres pour caractériser un nombre complexe. Un nombre complexe z = r(cos q + i sin q) pourra ainsi être présenté sous forme polaire et s’écrira : z = rÐq Le nombre est ainsi représenté par un vecteur de longueur r et d’argument q. La forme polaire véhicule deux éléments d’information : le module et l’argument du nombre complexe. Pour multiplier ou diviser des nombres complexes sous forme polaire, il est suffisant de savoir comment combiner les modules et les arguments. Dans les théorèmes qui suivent, nous emploierons la forme trigonométrique pour démontrer comment effectuer ces opérations.

Produit sous forme polaire Soit z1 = r1Ðq1 et z2 = r2Ðq2, deux nombres complexes sous forme polaire. Le produit donne alors : z1z2 = (r1Ðq1)(r2Ðq2) et, en exprimant sous forme trigonométrique; = [r1(cosq1 + i sinq1)][r2(cosq2 + i sinq2)], d’où : = r1r2[(cosq1 + i sinq1)(cosq2 + i sinq2)] = r1r2[(cosq1cosq2 + i2 sinq1sinq2) + i (sinq1cosq2 + cosq1sinq2)] = r1r2[(cosq1cosq2 – sinq1sinq2) + i (sinq1cosq2 + cosq1sinq2)] Par les identités trigonométriques, on a alors : z1z2 = r1r2[cos (q1 + q2) + i sin (q1 + q2)] Et, en exprimant le résultat sous forme polaire, on obtient que le produit est : z1z2 = r1r2Ð (q1 + q2)

Produit sous forme polaire THÉORÈME Produit de nombres complexes (forme polaire) Soit z1 = r1Ðq1 et z2 = r2Ðq2, deux nombres complexes sous forme polaire. Le produit de ces nombres, noté z1z2, est alors donné par : z1z2 = r1r2 Ð (q1 + q2) Pour calculer le produit de deux nombres complexes sous forme polaire, il suffit de multiplier les modules et d’additionner les arguments. Cela signifie que l’effet du produit est une rotation qui accompagne une dilatation ou une compression. i = 1Ð 90° i2 = 1Ð 180° = –1 Calculons i2 selon cette procédure. i2 = i i = (1 Ð 90°)(1 Ð 90°) = 1 Ð 180° = 1(cos 180° + i sin 180°) = –1 + i0 = –1

Exemple 8.3.4 Soit z1 = 3Ð 30° et z2 = 2Ð120°, deux nombres complexes sous forme polaire. Calculer le produit de ces nombres et les représenter graphiquement ainsi que le produit. Le produit se calcule en multipliant les modules et en additionnant les arguments. Cela donne : z1z2 = (3Ð 30°)(2Ð120°) = 6 Ð (30° + 120°) = 6 Ð 150° 150° 120° 30° Le produit est donc représenté par un vecteur de longueur 6 dont l’argument est 150°. S

Quotient sous forme polaire Soit z1 = r1Ðq1 et z2 = r2Ðq2, deux nombres complexes sous forme polaire. Le quotient de ces nombres donne alors : r1Ðq1 r2Ðq2 z1 z2 r1Ðq1 r2Ðq2 1Ð (– q2) = = ´ r1Ð (q1– q2) r2Ð (q2– q2) r1Ð (q1– q2) r2Ð 0 = = r1 r2 = Ð (q1– q2) En effet, r2Ð 0 = r2 (cos 0 + i sin 0) = r2(1 + 0i) = r2 On obtient donc que le quotient est : z1 z2 r1 r2 = Ð (q1– q2)

Quotient sous forme polaire THÉORÈME Quotient de nombres complexes (forme polaire) Soit z1 = r1Ðq1 et z2 = r2Ðq2, deux nombres complexes sous forme polaire. Le quotient de ces nombres, noté z1z2, est alors donné par : z1 z2 r1 r2 = Ð (q1– q2) Pour calculer le quotient de deux nombres complexes sous forme polaire, il suffit de diviser les modules et de soustraire les arguments. Cela signifie que l’effet du quotient est une rotation qui accompagne une dilatation ou une compression selon que le module du diviseur est plus petit ou plus grand que celui du numérateur.

Exemple 8.3.5 Soit z1 = 6Ð 60° et z2 = 2Ð120°, deux nombres complexes sous forme polaire. Calculer le quotient z1 /z2 de ces nombres et les représenter graphiquement ainsi que le quotient. Le quotient se calcule en divisant les modules et en soustrayant les argu-ments. Cela donne : 120° 6Ð 60° 2Ð 120° z1 z2 = 6 2 60° = Ð (60° – 120°) = 3 Ð (–60°) –60° Le quotient est donc représenté par un vecteur de longueur 3 dont l’argument est –60°. S

Exemple 8.3.6 Soit z = 1,4Ð30°, un nombre complexe sous forme polaire. trouver z2 , z3 , z4 et z5 et représenter ces nombres graphiquement. Pour élever à la puissance cinq, on effectue la multiplication de z par z4, ce qui donne : Pour élever au cube, on effectue la multiplication de z par z2, ce qui donne : Pour élever au carré, on effectue la multiplication du nombre par lui-même, ce qui donne : Pour élever à la puissance quatre, on effectue la multiplication de z par z3, ce qui donne : z5 = z ´z4 = (1,4 Ð30°) ´ (1,4)4 Ð120°) = (1,4)5 Ð(30° + 120°) = (1,4)5 Ð150° z4 = z ´z3 = (1,4 Ð30°) ´ (1,4)3 Ð90°) = (1,4)4 Ð(30° + 90°) = (1,4)4 Ð120° z3 = z ´z2 = (1,4 Ð30°) ´ (1,4)2 Ð60°) = (1,4)3 Ð(30° + 60°) = (1,4)3 Ð90° z2 = z ´z = (1,4 Ð30°) ´ (1,4 Ð30°) = (1,4)2 Ð(30° + 30°) = (1,4)2 Ð60° On peut poursuivre ainsi pour calculer d’autres puissances entières de z. On remarque que les vecteurs obtenus définissent la position de points sur une spirale logarithmique. S S S S

Exercice Utiliser la forme polaire pour effectuer les opérations et donner le résultat sous forme rectangulaire de l’expression suivante : (2 + 2i)2 (1 + i 3 )3 + i)6 ( En exprimant sous forme polaire, on a : (2 + 2i)2 = (2 2 Ð 45°)2 = 23 Ð 90°, (1 + i )3 = (2Ð 60°)3 = 23 Ð 180° 3 ( 3 + i)6 = (2Ð (–30°))6 = 26 Ð (–180°) Cela donne : (23 Ð 90°)(23 Ð 180°) 23 ´23 26 (2 + 2i)2 (1 + i 3 )3 + i)6 ( = Ð (90° + 180 + 180°) = 26 Ð (–180°) = 1 Ð 450° = 1Ð 90° = 1(cos 90° + i sin 90°) = 1(0 + 1i) = i S S S S

Puissance sous forme polaire THÉORÈME Théorème de Moivre Soit z = rÐq, un nombre complexe sous forme polaire. Alors, pour tout n Î Z : zn = rn Ð nq La démonstration du théorème de Moivre (voir la note historique, p. 236) se fait par récurrence, méthode de preuve que nous ne présenterons pas ici. Nous allons donc admettre ce théorème sans démonstration et nous contenter de l’utiliser. Remarque Le théorème est valide pour tout exposant entier, ce qui inclut les puissances négatives.

Exemple 8.3.7 Soit z = 2Ð 30°, un nombre complexe sous forme polaire. a) Trouver z5 et exprimer le résultat sous forme rectangulaire. b) Trouver z–3 et exprimer le résultat sous forme rectangulaire. a) Par le théorème de Moivre, on a : b) Par le théorème de Moivre, on a : z5 = 25 Ð150° z–3 = 2–3 Ð(–90°) En exprimant le résultat sous forme rectangulaire, on obtient : En exprimant le résultat sous forme rectangulaire, on obtient : z5 = 25 Ð150° = 25 (cos 150° + i sin 150°) z–3 = 2–3 Ð(–90°) = 2–3 (cos (–90°) + i sin (–90°)) 1 – 3 1 = 25 [0 + i(–1)] = + i 23 2 2 i 8 = –24 3 + i24 = – = –16 3 + 16i S S

Racines sous forme polaire On constate qu’il y a trois racines cubiques et qu’il suffit de prendre k = 0, 1, 2 pour les obtenir. Soit u, un nombre complexe. Par définition, un nombre complexe z est une racine nième de u si et seulement si zn = u. On peut, en appliquant le théorème de Moivre et l’égalité des nombres complexes sous forme polaire (ou trigonométrique), calculer les racines nièmes d’un nombre complexe sous forme polaire. Représentons graphiquement les raci-nes et exprimons-les en coordonnées rectangulaires. z1 = z3 120° En posant k = 0, on a : z0 = 2Ð30° = 2(cos 30° + i sin 30°) 30° 3 1 2 = 2 + i = 3 + i Pour illustrer ce propos, trouvons les racines cubiques de u = 8i. 120° 2 2 120° En posant k = 1, on a : Exprimons d’abord u sous forme polaire; on obtient u = 8 Ð 90°. On cherche un nombre z = r Ð q tel que z3 = u. Puisque z3 = r3Ð 3q, par le théorème de Moivre, on doit résoudre l’équation : z1 = 2Ð150° = 2(cos 150° + i sin 150°) – 3 z2 1 = 2 + i = – 3 + i 2 2 r3Ð 3q = 8 Ð 90° En posant k = 2, on a : Par l’égalité des nombres complexes sous forme polaire, cela donne : z2 = 2Ð270° = 2(cos 270° + i sin 270°) = 2(0 – 1i) = –2i r3 = 8 et 3q = 90° + k 360° En posant k = 3, on a : z3 = 2Ð390° = 2(cos 390° + i sin 390°) = 2(cos 30° + i sin 30°) = z0 90° + k 360° 3 On obtient ainsi : r = 2 et q = = 30° + k 120°, pour k Î Z. S S S S S

Extraction de racines Procédure pour extraire les racines nièmes d’un nombre complexe 1. Écrire le nombre sous forme polaire : u = sÐj. 2. Considérer une racine z = rÐq , tel que zn = rnÐnq = sÐj. 3. Calculer le module des racines, rn = s, d’où r = s . n 4. Calculer la forme générale de l’argument : q = (j + k 360°)/n, pour k = 0, 1, 2, ..., n–1. 5. Écrire les racines z0, z1, z2, ..., zn–1 et représenter graphiquement si nécessaire.

Exemple 8.3.8 Extraire les racines sixièmes de u = –64 , représenter graphiquement. Exprimons d’abord u sous forme polaire; on obtient u = 64Ð180°. On cherche z = rÐ q tel que z6 = r6Ð 6q = 64Ð 180°, d’où : r6 = 64 et r = 2. 6q = 180° + k 360°, ce qui donne q = 30° + k 60° pour k = 0, 1, 2, 3, 4, 5. Les racines sont : z0 = 2Ð30° = 3 + i z1 z2 z0 z1 = 2Ð90° = 2i 60° 60° 30° z2 = 2Ð150° = – 3 + i 60° 60° z3 = 2Ð210° = – 3 – i z3 60° 60° z5 z4 = 2Ð270° = –2i z4 z2 = 2Ð330° = 3 – i S S

Exercice Extraire les racines quatrièmes de u = 81, représenter graphique-ment. Exprimons d’abord u sous forme polaire; on obtient u = 81Ð0°. On cherche z = rÐ q tel que z4 = r4Ð 4q = 16Ð 0°, d’où : r4 = 81 et r = 3. 4q = 0° + k360°, ce qui donne q = 0° + k 90° pour k = 0, 1, 2, 3. Les racines sont : z1 z0 = 3Ð0° = 3(cos 0° + i sin 0°) = 3 90° 90° z1 = 3Ð90° = 3(cos 90° + i sin 90°) = 3i z0 z2 = 3Ð180° = 3(cos 180° + i sin 180°) = –3 z2 3 90° z3 = 3Ð270° = 3(cos 270° + i sin 270°) = –3i 90° Remarque z3 On connaissait déjà les deux racines réelles de 81, il y a également deux racines imaginaires, soit 3i et –3i. S

Forme exponentielle On peut, à l’aide du développement de Maclaurin, montrer que la fonction f(q) = eiq peut s’exprimer sous la forme : eiq = cos q + i sin q que l’on appelle identité d’Euler. On déduit de cette égalité qu’un nombre complexe z = rÐq peut s’écrire : z = reiq C’est la forme exponentielle d’un nombre complexe. En écrivant –1 sous forme exponentielle, on obtient : –1 = 1eiπ d’où : eiπ + 1 = 0 Cette égalité, dont Euler était très fier, met en relation cinq constantes fondamentales des mathématiques, soit 0, 1, i, e et π.

Opérations sous forme exponentielle On peut multiplier, diviser, élever à une puissance ou extraire les racines d’un nombre complexe sous forme exponentielle en adaptant les procédures à suivre sous forme polaire. Soit z = reiq et u = reij, deux nombres complexes. Le produit de ces nombres est : zu = rs ei (q+j ) z u r s Le quotient de ces nombres est : = ei (q -j ) La puissance nième de z est : zn = rn ei nq La racine nième de z est : z n r n ei(q + 2kπ), pour k = 0, 1, 2, …, n–1. = On remarque que les propriétés des exposants s’harmonisent tout naturellement avec les définitions des opérations sous forme polaire.

Logarithme sous forme exponentielle Un des grands intérêts de la forme exponentielle, c’est la possibilité de définir le logarithme d’un nombre complexe. En effet : ln z = ln(reiq ) = ln r + ln(eiq) = ln r + iq On remarque que le logarithme d’un nombre complexe z est également un nombre complexe dont la partie réelle est le logarithme du module de z (ln r) et dont la partie imaginaire est q, l’argument de z exprimé en radians. Par exemple, considérons le nombre complexe z = 3 + i = 2ei π/2. Alors, ln z = ln 2 + i π/2 = 0,69… + i 1,570... Il est à noter de plus que, dans l’ensemble des complexes, le logarithme d’un nombre négatif est défini et que le logarithme d’un nombre n’est pas unique, compte tenu de l’égalité des nombres complexes sous forme polaire. Ainsi, –1 = eiπ = e3iπ = e5iπ. On a donc ln(–1) = ln (eiπ) = iπ = 3,141…i. Cependant, ln (e3iπ) = 3iπ = 9,424…i , ln (e5iπ) = 5iπ = 15,707i.

Conclusion Les nombres complexes peuvent prendre diverses formes, rectangulaire, trigonométrique, polaire et exponentielle. C’est par la forme trigonométrique que s’effectue la transition de la forme rectangulaire à la forme polaire et inversement. En utilisant la forme trigonométrique et quelques identités trigonométriques, on peut déterminer des procédures efficaces pour multiplier ou diviser des nombres complexes en exprimant ceux-ci sous forme polaire. Le théorème de Moivre indique comment élever un nombre complexe sous forme polaire à une puissance entière et, en jumelant ce théorème avec la définition d’égalité des nombres complexes sous forme polaire, on a développé une procédure d’extraction de la racine nième d’un nombre complexe. On trouve alors n racines distinctes. Grâce à la forme exponentielle, on peut définir le logarithme d’un nombre complexe.

Lecture Algèbre linéaire et géométrie vectorielle avec applications en sciences de la nature, Section 8.3, p. 228 à 236. Exercices Algèbre linéaire et géométrie vectorielle avec applications en sciences de la nature, Section 8.4, p. 237 no. 1 à 14