ä A B C D E F µ 1 7 3 14 2 6 9 24 5 11 15 4 20 13 18 Un problème de Tournée (ou du Voyageur de commerce) consiste à chercher le meilleur trajet pour visiter des points (notés A,B,C,D,E,F ici) une fois et une seule. Le Tableau indiqué est celui des distances entre les points. Il n’a aucune raison d’être symétrique. La longueur d’une tournée est égale à la somme des distances entre les étapes. On cherche à la minimiser. EXEMPLES DE TOURNEES : ABCDEFA = BCDEFAB  1+6+3+9+4+20 = 43 ADFBCEA = BCEADFB  3+11+5+6+7+15 = 47

REDUCTION DU TABLEAU INITIAL ä A B C D E F µ 1 7 3 14 2 6 9 24 5 11 15 4 20 13 18 µ 6 2 13 1 3 -1 2 µ 5 8 23 2 -1 3 11 µ 4 -3 1 3 µ 7 9 -2 13 5 9 µ 2 6 On commence par réduire le tableau : Enlever à toutes les cases de la ligne le plus petit élément de la ligne. Le faire pour toutes les lignes. Faire de même avec les colonnes. Ici, la réduction fait diminuer la distance globale de : 16 -2 16 1 9 14 µ 6 -4 -3 Valeur de la réduction +16

ä A B C D E F µ 3 2 13 1 8 23 11 4 7 9 5 6 16 14 2 6 1 2 2 2 1 On calcule le coût d’éviction de chaque case nulle : Concrètement, le coût d’éviction représente ce que cela coûterait en plus de ne pas choisir cette case. Si on ne va pas de A à B par exemple, il faudra bien aller de A à un autre point, soit choisir une autre case dans la ligne A, ce qui coûtera au moins 1 de plus. De même, il faudra venir en B d’ailleurs, donc choisir une case dans la colonne B, 1 de plus en coût aussi. On choisit la case nulle ayant le coût d’éviction le plus élevé (ici, BE). Les Tournées sans BE ont une valeur minimale de 16+6. Pour connaître la valeur minimale des tournées incluant BE, il faut supprimer la ligne B et la colonne E et réduire le Tableau obtenu, puis rajouter à 16 la valeur nécessaire pour obtenir un tableau réduit. Sans BE = 22 Sans : on ajoute le coût d’éviction 16+6 Avec BE = ?? Avec : on ajoute le coût de réduction (éventuel)

Le tableau restant n’est pas réduit, il faut enlever 3 en colonne C Sans DA : 16+3=19 le tableau obtenu est réduit, Avec BE : 16 Avec DA : 16+3=19 ä A B C D E F µ 3 2 13 1 8 23 11 4 7 9 5 6 16 14 µ 2 1 3 3 Ici, le Tableau avec BE est déjà réduit, d’où une valeur de 16 (16+0). On recommence… On examine toutes les branches de l’arborescence dont le sommet pendant est de valeur minimale. µ 3 2 3 1 Le tableau restant n’est pas réduit, il faut enlever 3 en colonne C Sans AC : 19+3 = 22 AC : coût d’éviction 3 Avec AC : 19+1 =20

ä A B C D F µ 3 2 1 11 9 E 13 6 16 µ Avec BE : 16 Sans BE = 22 Avec DA : 19 Sans DA : 19 On rend DA infini Avec AC : 20 Sans AC : 22 ä A B C D F µ 3 2 1 11 9 E 13 6 16 µ