Les contraintes d’un problème Un problème mathématique peut contenir plusieurs contraintes. Chacune d’elles correspond à une inéquation. Il est possible que certaines contraintes soient implicites, comme c’est le cas quand les variables ne prennent que des valeurs positives à cause du contexte (contraintes de positivité ou non-négativité).
Mise en situation Christiane veut repeindre un mur de sa chambre en vert. Pour ce faire, elle a 2,5 L de peinture jaune et 3 L de peinture bleue. Dans son mélange, Christiane veut qu’il y ait plus de jaune que de bleu, mais le rapport du jaune au bleu ne doit pas dépasser 2. Elle estime qu’elle a besoin d’au moins 2 L de peinture. Quelle quantité de peinture de chaque couleur Christiane doit-elle mélanger?
Cette situation peut être traduite par le système d’inéquations suivant, où x représente la quantité de peinture jaune, en litres, et la variable y, la quantité de peinture bleue, en litres. 𝒙≥𝟎;𝒚≥𝟎 → Contraintes de positivité 𝒙≤𝟐,𝟓; 𝒚≤𝟑 → Christiane a 2,5 L de peinture jaune et 3L de peinture bleue. 𝒙>𝒚 → Christiane veut qu’il y ait plus de jaune que de bleu. 𝒙 𝒚 <𝟐 → Le rapport du jaune au bleu ne doit pas dépasser 2. 𝒙+𝒚≥𝟐 → Christiane a besoin d’au moins 2 L de peinture.
Représentation graphique final de la situation Attention!! Ces droites frontières doivent être tracées en POINTILLÉS
Le polygone de contraintes En optimisation, la région-solution d’un système d’inéquations du premier degré à deux variables est appelée un «polygone de contraintes». Il s’agit plus spécifiquement d’un ensemble de points qui peut être borné ou non.
Le polygone de contraintes associé à la situation de Christiane est un ensemble borné.
Ce polygone de contraintes n’est plus borné si l’on retire du système d’inéquations les contraintes liées à la quantité de peinture disponible (𝑥≤2,5 ;𝑦≤3).