Etude de la commande du système à inertie On étudie ici la commande de la sortie y(t) du « système à inertie » (S) à partir de son entrée a(t). La fréquence d ’échantillonnage est égale à 1Hz. Equation différentielle de (S) : S Analyser la fonction de transfert de (S), notée T(p) : pôles, stabilité, gain, réponse indicielle, harmonique ... est la fonction de transfert de S, instable EBSB, un pôle double en 0, et gain statique infini La réponse indicielle est pour t>0 La réponse harmonique est de module Et d ’argument On passe par 0dB pour

Représentation d ’état du système à inertie et discrétisation de la forme de commande A. Donner la représentation d ’état de (S) sous la forme de commande : spécifier les matrices A,B,C,D de la réalisation, préciser la composition du vecteur d ’état B. Discrétiser la représentation d ’état précédente de (S) (a(t) est imposé à travers un bloqueur d ’ordre zéro) On prend le vecteur d ’état : => Pour discrétiser, on reprend le calcul du cours avec la solution de l ’équation d ’état

Fonction de transfert du processus discrétisé Quelle est la fonction de transfert du processus (S) discrétisé ? On en déduira une ligne supplémentaire à ajouter à la table des transformées en z qui a été fournie par ailleurs. En appliquant la transformée en z à condition initiale nulle à l ’équation d ’état, il vient En utilisant l ’autre formule de discrétisation, il vient (à ajouter à la table)

Propriétés de gouvernabilité, d ’observabilité, et de stabilité (S) discrétisé est il stable ? entièrement gouvernable ? entièrement observable ? Donner la signification pratique de ces trois propriétés (S) discrétisé ou non n ’est pas stable: la matrice F possède 2 valeurs propres en z = 1 donc instables, qui sont également les pôles de la fonction de transfert (S) est entièrement observable et gouvernable par contre, comme on peut le voir en appliquant le critère direct Est de rang deux comme En d ’autres termes, la sortie de (S) a tendance à diverger même quand son entrée reste bornée, Il est possible d ’amener l ’état X(n) où l ’on veut en deux périodes d ’échantillonnage Il est possible de reconstruire l ’état X(n) dans son entier à partir de la sortie mesurée

Placement de pôles par retour d ’état Calculer un retour d ’état permettant d ’imposer deux valeurs propres nulles au système bouclé. Quel type de commande de (S) a t ’on alors réalisé ? Comment choisir les valeurs propres du système bouclé discret pour un amortissement et un temps de réponse à 5 % valant respectivement : On pose La matrice d ’état devient Le polynôme caractéristique est donc Pour égaler ce polynôme à (2 racines nulles), il faut Les pôles continus assurant l ’amortissement et le temps de réponse souhaités sont Les pôles discrets correspondants avec T=1s sont Leur module vaut Et leur partie réelle

Régime statique de la représentation d ’état Quel est le gain statique du système bouclé obtenu par retour d ’état ? Comment imposer un gain statique unité ? Le processus (S) a été discrétisé sous la forme de commande. En régime permanent de la réponse indicielle (s ’il existe, cas de la stabilité), la dérivée de a(t) étant nulle, reste uniquement une ligne de l ’équation matricielle d ’état. De plus, X(n+1)=X(n) en régime permanent. On peut donc écrire C ’est donc Le gain statique est unité si C ’est la loi de commande :