Difficultés d’apprentissage Les décimaux Patrice GROS Difficultés d’apprentissage

A LES OBSTACLES À L’APPRENTISSAGE DUS AU CONTENU MATHÉMATIQUE LUI-MÊME Obstacles «  épistémologiques ». Patrice GROS

I- Difficultés liées à la rupture avec les nombres entiers 1) Passage du discret au continu 2) Un même nombre peut avoir plusieurs écritures / plusieurs écritures peuvent désigner un même nombre 3) Les nombres décimaux ne se comptent pas dans l’ordre 4) Adaptation de certaines techniques opératoires Patrice GROS

II-DIFFICULTÉS LIÉES À L’ÉCRITURE ET À LA LECTURE DES NOMBRES Dans la dénomination des chiffres, il n’y a pas de parallélisme : le premier chiffre avant la virgule s ’appelle « unité » et celui après la virgule s’appelle « dixième ». Exemple : 324,58 La lecture de la « partie décimale » ne correspond pas à la dénomination des chiffres Exemple : 324,582 Patrice GROS

B-Les obstacles à l’apprentissage dus aux méthodes d’apprentissage Patrice GROS Obstacles didactiques

Recollement de deux entiers Nécessité de bien expliquer : 32,48 m : 32 m et 48 cm D’où 32,48 + 16,87 = 48,135 32,48 >32,7 car 48>7 Patrice GROS

Notion de partie décimale 32,48 la « partie décimale » est 48 centièmes et non 48 Patrice GROS

C-LES CONCEPTIONS DES ÉLÈVES QUELQUES THÉORÈMES « ÉLÈVES » Le suivant de 3,6 est 3,7 Entre 5,12 et 5,13 il n’y a aucun nombre Quand on multiplie, cela augmente Quand on divise, cela diminue Si on doit diviser, on divise le plus grand nombre par le plus petit  Ce sont les erreurs fréquemment rencontrées qu’il convient de détecter. Patrice GROS

C- Les conceptions des élèves Quelques règles d’action 0,4 x 0,3 = 0,12 (juste) mais 0,3 x 0,3 = 0,9 (faux) Patrice GROS

C- Les conceptions des élèves Règles de comparaison On ne tient pas compte de la virgule 21,5 < 4,01 car 215 < 401 La comparaison ne porte que sur les « parties décimales » 4,15 < 3,21 car 15 < 21 A partie entière égale, le plus grand est celui qui a le plus de chiffres après la virgule 5,043 > 5,15 Traitement des « parties décimales » comme si cela était des nombres entiers 5,15 > 5,8 car 15 > 8 Patrice GROS

D-Les liens à établir Les décimaux : l’écriture décimale, l’ordre, les opérations 10 x … = Les fractions : différentes écritures d’un même nombre La division : 27 : 10 = 27/10 = 2,7 = 2 + 7/10 0,72 = 7/10 + 2/100 = 72/100 La mesure : 1 cm = 1/100 m = 0,01 m La droite numérique Patrice GROS

Théorèmes en actes EXEMPLE : 4,249 – 4,23 – 4,06 Un exemple : règles erronées pour la comparaison EXEMPLE : 4,249 – 4,23 – 4,06 règle 1 La règle de comparaison des entiers s'applique aux parties décimales considérées isolément. 4,3 < 4,06 < 4,249 règle 2 Les décimaux se rangent en ordre inverse de la longueur de leur partie décimale. 4,249 < 4,06 < 4,3 règle 3 Le plus petit nombre est celui dont la première décimale est un zéro, les autres nombres étant rangés selon la règle 1. 4,06 < 4,3 < 4,249 Patrice GROS Règles erronées implicites pour la comparaison des décimaux Les difficultés liées à la comparaison des nombres décimaux ne portent guère sur les parties entières, problème qui est pratiquement résolu à l'entrée en sixième. Une étude menée par Catherine GRISVARD et François LEONARD, du laboratoire de psychologie expérimentale de l'Université de Nice, a montré que 40% des élèves de quatrième ne savaient pas ordonner des nombres décimaux positifs. Les erreurs commises n'étaient ni accidentelles ni effets du hasard mais systématiques et apparaissaient lorsque les comparaisons devenaient complexes. Trois règles erronées qui fournissent cependant souvent la bonne réponse ont été mises en évidence à propos de la comparaison de nombres décimaux ayant la même partie entière. règle 1 La règle de comparaison des entiers s'applique aux parties décimales considérées isolément. règle 2 Les décimaux se rangent en ordre inverse de la longueur de leur partie décimale. règle 3 Le plus petit nombre est celui dont la première décimale est un zéro, les autres nombres étant rangés selon la règle 1. Exemple : ranger dans l'ordre croissant les nombres : 4,249 4,23 4,06 Les trois règles amènent comme réponses : règle 1 : 4,3 < 4,06 < 4,249 règle 2 : 4,249 < 4,06 < 4,3 règle 3 : 4,06 < 4,3 < 4,249 Il faut remarquer que ces règles fournissent souvent la bonne réponse dans le cas de deux nombres. La règle 1 donne la bonne réponse quand les parties décimales ont la même longueur. Lorsque les règles 1 et 2 sont susceptibles d'être appliquées, elles sont contradictoires et l'une d'elles donne la bonne réponse. Lorsque l'une de ces deux règles ne peut être appliquée, celle qui s'applique donne toujours la bonne réponse. La règle 3 donne souvent la bonne réponse lorsqu'elle est applicable. Il est important d'identifier les bonnes réponses correspondant à l'application de règles fausses afin de pouvoir agir sur la cause et construire les situations didactiques appropriées. Les auteurs de l'étude proposent une épreuve permettant de mettre en évidence des modes de fonctionnement conduisant à des raisonnements erronés. Il s'agit d'ordonner par ordre croissant cinq listes de nombres : un couple (deux décimaux de même partie entière) un triplet (trois décimaux de même partie entière) un quintuplet (cinq décimaux de même partie entière) une liste de cinq nombres composée d'un couple mêlé à un triplet une liste de dix nombres composée de : un couple, un triplet, un quintuplet. Exemples : Ordonnez par ordre croissant (du plus petit au plus grand) les cinq nombres : 7,609 8,98 7,55 8,898 7,5 Ordonnez par ordre croissant (du plus petit au plus grand) les dix nombres : 19,1 12,7 19,02 12,6 12,8 16,12 16,734 12,49 16,72 12,344 Ordonnez par ordre croissant (du plus petit au plus grand) les cinq nombres : 15,5 15,078 15,379 15,41 15,069 Ordonnez par ordre croissant (du plus petit au plus grand) les deux nombres : 17,2 17,23 Ordonnez par ordre croissant (du plus petit au plus grand) les trois nombres : 18,65 18,8 18,067

CONCLUSION Les principales difficultés La signification de la partie décimale La signification des chiffres dans l’écriture à virgule d’un décimal Les calculs sur les décimaux La comparaison L’intercalation d’un nombre entre deux décimaux (densité de l’ensemble des décimaux) Patrice GROS