Les quatre grands problèmes de la géométrie grecque

la quadrature du cercle la duplication du cube la trisection de l’angle les constructions de polygones réguliers

Tous ces problèmes sont des problèmes de constructions à la règle (non graduée) et au compas. Pour les Grecs, seuls les constructions réalisées avec la règle et le compas étaient acceptables.

Pourquoi la règle et le compas ? Des raisons objectives : ce sont des outils simples et efficaces. Leur champ d’application est vaste. Ils sont faciles à fabriquer. Les courbes les plus simples en géométrie sont les droites et les cercles. Des raisons philosophiques : Influence de Platon (427 –347 av JC) proche de Socrate et de son école, l’Académie. Pour Platon, les figures ne sont qu’un pâle reflet de la réalité qui, elle appartient au monde des idées. Platon a peu d’estime pour les instruments de construction nécessairement imparfaits. Il fait toutefois exception pour la règle et le compas qui sont les seuls, à ses yeux, à pouvoir respecter la symétrie des configurations.

Pourquoi la règle et le compas ? Des raisons mystiques : on peut penser que les constructions à la règle et au compas ont été mises en avant pour servir de caution géométrique aux nouveaux nombres mis en évidence par le théorème de Pythagore. Des raisons pragmatiques : Euclide a recours à des figures pour convaincre dans certaines démonstrations de son traité Les éléments. Il faut donc qu’elles aient été réalisées à l’aide d’instruments connus et admis par tous.

Le plus célèbre des grands problèmes Grecs est sans aucun doute celui de la quadrature du cercle. L’expression est passée dans le langage courant comme le symbole d’une situation impossible, d’une entreprise vouée à l’échec, d’un problème insurmontable. Les journalistes raffolent de cette métaphore.

Le Figaro, 23 mars 2006.  "l'équation, pour Dominique de Villepin, tient de la quadrature du cercle. Aux uns, il doit faire entendre qu'il ne reculera pas. Aux autres, qu'il est prêt à transiger" Témoignage, 5 avril 2006. "Sécuriser immédiatement et réellement la circulation sur la route actuelle relève apparemment de la quadrature du cercle" Le monde, 23 mars 2006. "On aboutit à une quadrature du cercle bien connue en économie politique : pour réformer, il faut un contexte favorable et, pour avoir un contexte favorable, il faut mettre en place des réformes"

= Enoncés des problèmes La quadrature du cercle consiste à construire un carré de même aire qu'un cercle donné à la règle (non graduée) et au compas. =

Enoncés des problèmes La duplication du cube consiste à construire à la règle et au compas l’arête d’un cube dont le volume est deux fois plus grand qu'un cube donné. + =

Enoncés des problèmes La trisection de l’angle consiste à construire à la règle et au compas un angle tiers d’un angle donné.

Enoncés des problèmes Le problème des polygone réguliers consiste à construire à la règle et au compas pour chaque n  3 un polygone régulier ayant n côtés.

Les Eléments d’Euclide

Les Eléments d’Euclide Les Éléments d’Euclide constituent essentiellement un manuel et non la somme des connaissances mathématiques de l’époques. Euclide dit ce qu’on peut faire avec la règle et le compas. Il passe en revue toutes les constructions élémentaires et explore des voies nouvelles qu’il démontre. Dans le livre II, il entreprends la quadrature des figures rectilignes.

Les Eléments d’Euclide Quarrer une figure, c’est construire un carré qui a même aire que la figure. IREM

L’algèbre au secours de la géométrie Descartes (1596 – 1650) Viète (1540 – 1603) De l’Antiquité grecque au XVI e siècle, les grands problèmes grecs semblent tomber dans l’oubli. On parle de la nuit des mathématiques en occident. Dans le même temps, les mathématiques arabes sont en plein essor.

La passion ressurgit au XVIIIe siècle La passion ressurgit au XVIIIe siècle. C’est la folie des trisecteurs, duplicateurs, quadrateurs de toutes sortes. En 1775, l'Académie des Sciences fut d'ailleurs excédée par les réponses farfelues qu'elle recevait et décida de refuser les autres propositions. Cet acharnement maladif fût nommé : morbus cyclometricas. Jean Montucla Un quarreur du XVIIIe

Théorème de Wantzel ( 1837 ) Le théorème de Wantzel précise les conditions nécessaires et suffisantes pour qu'un nombre soit constructible. Il peut s'énoncer de la manière suivante : Le réel a est constructible si et seulement s'il existe une suite finie de corps Li tels que L0 = Q Li+1 est une extension quadratique de Li le réel a appartient à Ln . Pierre-Laurent Wantzel donne alors une condition nécessaire pour qu'un nombre a soit constructible : Si le réel a est constructible alors son polynôme caractéristique est de degré 2n .

Il faudra attendre jusqu'en 1882 pour que le mathématicien allemand Ferdinand von Lindemann démontre la transcendance de pi. La quadrature du cercle était donc impossible. Lindemann (1852 – 1939)

Le théorème de Gauss-Wantzel (1801) précise la condition nécessaire et suffisante pour qu'un polygone régulier soit constructible à la règle et au compas. Un polygone regulier à n côtés est constructible si et seulement si n est le produit d'une puissance de 2 et de k nombres de Fermat premiers tous différents.