Laboratoire Biométrie et Biologie Evolutive Analyse Muriel Ney Laboratoire Biométrie et Biologie Evolutive ney@biomserv.univ-lyon1.fr http://mathsv.univ-lyon1.fr

Organisation du semestre Affichage des groupes TT/TD et des salles : vendredi ou lundi matin. 10 février 2004 16 février 2004 CC analyse CC stats

Objectif général du cours Apprendre à utiliser le langage mathématique pour résoudre des situations où interviennent des phénomènes biologiques Apprendre les concepts de base et se familiariser avec les usages et les significations de ces concepts en fonction de la situation biologique

Le plan des cours d’analyse ‘Etude des phénomènes variables’ CM1-CM2 Décrire les variations étude de fonction - fonctions usuelles CM3 Prendre du recul calculer une Primitive et intégrer une fonction CM4-CM5 Les processus qui provoquent des variations poser et intégrer une équation différentielle

Les cours de probabilités-statistiques ‘Prise de décision sur un phénomène aléatoire’ Statistiques descriptives Estimation Tests d’hypothèses Dominique Mouchiroud

Déterminisme et Hasard Peut-on prédire l’évolution au court du temps d’une population d’organismes vivants ? La croissance Déterminisme = reproduction, mortalité, etc. Variabilité (« hasard ») = temps et succès de la reproduction, etc.

Déterminisme et Hasard Peut-on prédire l’évolution au court du temps d’une population ?

Déterminisme et Hasard 1. Modèles du hasard Se décider dans une situation où le hasard intervient outils = probabilités et statistiques

Déterminisme et Hasard 2. Modèles déterministes Faire le lien entre le phénomène et les processus qui le provoquent Outils : fonctions et équations différentielles Phenomène = croissance de la population Processus = reproduction, mortalité, compétition, migrations…

Etude de fonction Modéliser le phénomène par une fonction Déterminer des propriétés de la fonction Interpréter en termes biologiques

Un jeu de traduction Est-ce que le nombre d’organismes ne fait que croître avec le temps ? Quelle est vitesse d’accroissement du nombre d’organismes ? Quel est le nombre moyen d’organismes produits entre le début de l’expérience et un temps t donné ? Est-ce que le nombre d’organismes se stabilise au bout d’un certain temps ?

Un jeu de traduction Est-ce que le nombre d’organismes ne fait que croître avec le temps ? le signe de la dérivée de g Quelle est vitesse d’accroissement du nombre d’organismes? la dérivée seconde Quel est le nombre moyen d’organismes produits entre le début de l’expérience et un temps t donné ? l’intégrale sur [0 , t] Est-ce que le nombre d’organismes se stabilise au bout d’un certain temps ? la limite quand le temps tend vers l’infini, l’asymptote

CM1,CM2 : Décrire les variations Definition d’une fonction Etude de fonction en étapes (a à h) Fonctions usuelles: fonction linéaire, exponentielle, logarithme, puissance

Définition d’une fonction Application de IR dans IR qui à un point x de IR fait correspondre un point UNIQUE y = f(x) dans IR. x : le temps (t), la température (T), etc. f : un nombre d’organismes (N), leur taille, leur poids, une concentration, une intensité, etc.

Plan d’étude d’une fonction MathSV : Analyse. Etude de fonctions Plan d’étude d’une fonction MathSV : Analyse Etude de fonctions Applications à l’étude des fonctions Tableau de variation Limites Asymptotes Graphe Df Symétrie Points particuliers Sens de variation

Espérance de vie à la naissance Un indicateur fondé uniquement sur les données de la mortalité : le nombre moyen d'années que peut espérer vivre une personne (dans les conditions de mortalité de la période considérée). Nous allons modéliser l’augmentation de l’espérance de vie à la naissance entre 1981 et 2000 (des hommes et des femmes). Quel modèle  (quelle fonction) ?

Espérance de vie = f (temps) t= année E=espérance a et b dépendent du sexe

A. Domaine de définition Définitions : Df = Domaine de définition  Ensemble de départ (ensemble des antécédents) = l’ensemble des x f(Df ) = Ensemble d’arrivée (ou ensemble des images) = l’ensemble des y f

B. Symétrie : paire ou impaire ? x -x Définitions : On dit que f est paire si f(-x)=f(x) symétrie / axe y exemple f(x)=x2 On dit que f est impaire si f(-x)=-f(x) symétrie / (0,0) exemple f(x)=ax (0,0) x y

C. Points particuliers x = 0 alors f(x) = ? f(x) = 0 alors x = ?

D. Sens de variation : dérivée MathSV : formulaire Définition : La dérivée de f en x0 est la variation de f dans un voisinage infiniment petit de ce point   Limite Notation :

D. Sens de variation : dérivée x y f(x) x0

Equation de la tangente au point x0 y f(x) T x0

f(x)= x2 Dérivable en tout point f(x)=|x| Fonction continue mais non dérivable en 0

Continuité Définition : Une fonction est continue en un point x0 si la limite en ce point existe. Continue en (0,0) Pas continue en (0,0)

D. Sens de variation Propriétés : f est constante sur [a,b] si la dérivée est nulle sur [a,b] f est croissante sur [a,b] si la dérivée est positive sur [a,b] f est décroissante sur [a,b] si la dérivée est négative sur [a,b] f admet un extremum en x si la dérivée s’annule en x

E. La dérivée seconde f”(x) Définitions : 1. f est convexe sur un intervalle si sa dérivée seconde est positive (le graphe de f est courbé vers le haut)

E. La dérivée seconde f”(x) Définitions : 2. f est concave sur un intervalle si sa dérivée seconde est négative

E. La dérivée seconde f”(x) Définitions : 3. f a un point d’inflexion si la dérivée seconde s’annule ET change de signe en ce point.

F. Le tableau de variation Construire le tableau à partir du signe de la dérivée. Compléter ce tableau en cherchant les limites de f aux bornes des intervalles, et lorsque x tend vers plus ou moins l’infini. 1 10 5 3 x f’(x) f(x) + _

Calcul des limites Si les valeurs successivement attribuées à une variable s'approchent indéfiniment d'une valeur fixe, de manière à finir par en différer aussi peu que l'on voudra, alors cette dernière est appelée la limite de toutes les autres. Cauchy, 1821

Calcul des limites MathSV : formulaire Formes indéterminées

G. Asymptotes Si la courbe de f s’approche infiniment près d’une droite, celle-ci s’appelle une asymptote Asymptote verticale Asymptote oblique

Asymptotes Si il y a une asymptote verticale passant par x = x0 Si il y a une asymptote horizontale passant par y = l Si il y a une asymptote oblique d’équation y = ax+b si

H. Graphe

Mesurer les magnitude d’un tremblement de terre A amplitude des oscillations, T période M = ln(A/T) Japon 1906 A/T=3641 M = ? Chili 1960 A/T=13360 M = ? Idem intensité du son mesuré en decibels (I = Log 10 (puissance en Hz) où I est en db) A amplitude mesurée en micron des oscillations à la station T période en secondes Il manque un terme constant fonction de la distance entre la station et l’épicentre du tremblement de terre Dans les 2 cas, on exprime la sensation (intensité du son ou vigueur du tremblement de terre) comme le log de l’exitation (A et T ou puissance acoustique) Echelle de Richter

L’échelle logarithmique rapproche des valeurs qui sont de plus en plus éloignées 1000 A/T 7 500 100 M = ln(A/T) 6 10 5 4 3 1 2

Propriétés ln (1) = 0 ln (ab) = ln(a) +ln(b) donc ln (ap) = p ln(a) donc ln(1/b) = – ln(b) Logarithme en base 10 : Log10(a) = ln(a)/ln(10) donc Log10(10n) = n

Etude de la fonction ln(x) logarithme népérien Tableau de variation Limites Asymptotes Graphe Df Symétrie Points particuliers Sens de variation

Graphe logarithme népérien

Croissance d’une population de tourterelles Au début du 20ème siècle, les populations de tourterelles turques ont envahi l’Europe d’Est en Ouest et arrivent en Grande Bretagne :1 lieu recensé en 1955… 501 en 1964 On cherche un modèle de l’accroissement de la population de ces tourterelles compatible avec les données en GB. Hypothèse : le nombre de tourterelles est proportionnel au nombre d’endroits où l’espèce est recensée.

Données : modèle (fonction) ? Temps Lieux 1955 1 1956 2 1957 6 1958 15 1959 29 1960 58 1961 117 1962 204 1963 342 1964 501

Propriétés Notation : exp(x) = ex exp(0) = 1 exp(1) = e exp(a+b) = exp(a) exp(b) donc exp(ap) = exp(a)p exp(a-b) = exp(a) / exp(b) donc exp(-b) = 1 / exp(b)

La fonction exp est la fonction réciproque de la fonction ln Définitions f admet une fonction réciproque s’il existe une fonction g telle que f o g = g o f = Identité avec Identité(x)=x où f o g est la fonction composée définie par f o g (x) = f ( g (x) )

“logarithme(exponentielle) = droite”

Etude de la fonction exp Tableau de variation Limites Asymptotes Graphe Df Symétrie Points particuliers Sens de variation

Graphe

Autres fonctions usuelles

Fonctions trigonométriques

Variations de la dureté de l’eau en fonction du temps Les variations de température dans l’eau du Rhône sont cycliques, dépendent de la saison, et sont directement liées aux variations cycliques de la dureté de l’eau, mesurée en mg/L de CaC03 (carbonate de calcium).

Fonctions polynômes Fonction linéaire Polynôme de degré 2

Variation du taux de croissance d’une population en fonction de la température Pour de nombreuses espèces (mammifères, poissons, micro-organismes), il est raisonnable de considérer qu’en première approximation, la relation du taux de croissance de la population avec la température de l’environnement est un polynôme du second degré : Relation pour la bactérie Methylosinus trichosporium

Existe-t-il une relation entre le poids du corps et le poids du cerveau chez les mammifères ? Si oui, laquelle ? 2 derniers points : éléphants d’Asie et d’Afrique

Log10(cerveau) = a Log10(corps) + b donc cerveau = 10b (corps)a L’Homme est le point entouré a = 0,7517 b = -1,3279 Log10(cerveau) = a Log10(corps) + b donc cerveau = 10b (corps)a y = c xa

Etude de la fonction xm Df Tableau de variation Symétrie Limites Asymptotes Graphe Df Symétrie Points particuliers Sens de variation

Graphe m = 0

La semaine prochaine Deux cours : intégration et équations différentielles Une séance de Travaux Tutorés Une séance de Travaux dirigés MathSV : QCM des chapitres 1 à 4.