Les marchés de taux d’intérêt 31/03/2017 JM Dalbarade - Paris Dauphine

JM Dalbarade - Paris Dauphine Le zéro-coupon F1 = 105 i = 5 % F0 = 100 Le taux i = 5% est-il un taux d’intérêt ? un taux de rendement ? un taux d’actualisation ? Prêt + Remboursement Achat + Revente 31/03/2017 JM Dalbarade - Paris Dauphine

Trois techniques de calcul Les taux simples (monétaires) Les taux composés (actuariels) Les taux continus 31/03/2017 JM Dalbarade - Paris Dauphine

JM Dalbarade - Paris Dauphine L’intérêt simple I = i F t Le flux F La durée t Post-compté = L’intérêt est calculé sur le flux initial F = F0 Précompté = L’intérêt est calculé sur le flux final F = Ft Base t = d / A t = Exact / 360 t = Exact / 365 t = Exact / Exact t = 30 / 360 . . . Le nominal peut être F0 et l’intérêt est payable à l’échéance (IPE) ou Ft et l’intérêt est payable d’avance (IPA) 31/03/2017 JM Dalbarade - Paris Dauphine

Les taux monétaires (simples) Durée t t Attention à la mesure de t ! Capitalisation Actualisation Rendement Post-compté Précompté 31/03/2017 JM Dalbarade - Paris Dauphine

Exercice n° 1 Le marché primaire des Bons du Trésor Quel est le montant dû, lors d’une adjudication de Bons du Trésor à 13 semaines, pour une soumission de 10 millions d’euros, au taux de 1,35 % ? NB : Le taux pratiqué est post-compté IPA 31/03/2017 JM Dalbarade - Paris Dauphine

Les taux actuariels (composés) Durée t t Attention à la mesure de t ! Capitalisation Actualisation Rendement actuariel 31/03/2017 JM Dalbarade - Paris Dauphine

La « norme » du taux actuariel Exemple classique de conversion d’un taux monétaire im en un taux actuariel ia pour une durée d’application de d jours : 31/03/2017 JM Dalbarade - Paris Dauphine

Exercice n° 2 Le marché secondaire des Bons du Trésor Suite de l’exercice n° 1 : Les Bons du Trésor acheté lors de l’adjudication sont revendus au bout d’une période de 21 jours au taux de 1,05 %. Quelle est la valeur de cession ? Quel est le rendement actuariel de l’opération d’achat/vente ? 31/03/2017 JM Dalbarade - Paris Dauphine

Les taux continus (composés) Durée t t Capitalisation Actualisation Rendement continu 31/03/2017 JM Dalbarade - Paris Dauphine

Interprétation du taux continu Limite de la capitalisation d’un taux d’intérêt simple r = 5 % Nb de périodes Formule Capital dans 1 an 1 (année) 1 + r 1,050000 2 (semestres) (1 + r/2)2 1,050625 4 (trimestres) (1 + r/4)4 1,050945 12 (mois) (1 + r/12)12 1,051162 365 (jours) (1 + r/365)365 1,051267 Infini er 1,051271 On obtient donc si i est le taux sur 1 an : er = (1+i) ou r = ln(1+i) (NB : On peut aussi intégrer l’équation différentielle dF = r F dt … !) 31/03/2017 JM Dalbarade - Paris Dauphine

Utilisations comparées Comparez les 3 types de taux, simples, actuariels et continus, pour le calcul d’un taux global ou moyen. - Un même taux est appliqué sur 2 périodes successives de durées t1 et t2 - On applique 2 taux différents sur 2 années successives Un portefeuille est composé de 2 actifs de rendements annuels différents, dans les proportions a1 et a2. 31/03/2017 JM Dalbarade - Paris Dauphine

Exercice n° 3 Les taux Euribor Sur un tableur … Convertir les taux Euribor du jour, pour les maturités de 1 à 12 mois, en taux actuariels et en taux continus. Représentations graphiques. 31/03/2017 JM Dalbarade - Paris Dauphine

JM Dalbarade - Paris Dauphine Les structures de flux Une opération de taux peut correspondre à l’acquisition d’une structure de flux. Fn F1 F2 t1 t2 . . . . . tn Prix P La décomposition en n emprunts zéro-coupon, avec un même rendement actuariel i, permet d’écrire : 31/03/2017 JM Dalbarade - Paris Dauphine

Prix et rendement actuariel Le prix est entraîné à la baisse par la hausse du taux Le rendement actuariel s’améliore quand le prix est bas Prix P i Rendement 31/03/2017 JM Dalbarade - Paris Dauphine

L’analogie avec l’actualisation pour une opération d’investissement Années 1 2 … n Encaissements R1 R2 Rn Décaissements I D1 D2 Dn Le cash-flow de l’année i est CFi = Ri - Di 31/03/2017 JM Dalbarade - Paris Dauphine

Introduction au risque de taux Achat de 2 emprunts zéro-coupon au taux de 5 %. Actif Prix d’émission Remboursement Zéro-coupon 2 ans Zéro-coupon 5 ans 100 100 100 × 1,052 = 110,25 100 × 1,055 = 127,63 Immédiatement après l’acquisition, les taux passent à 6 %. Actif Prix de marché Remboursement Zéro-coupon 2 ans Zéro-coupon 5 ans 110,25/1,062 =98,12 127,63/1.065 =95,37 110,25 127,63 31/03/2017 JM Dalbarade - Paris Dauphine

La duration d’un zéro-coupon La variation que subit le prix de marché d’un zéro-coupon lorsque le taux d’intérêt varie est d’autant plus forte que sa durée est longue. Ainsi, pour un zéro-coupon, Duration = Durée 31/03/2017 JM Dalbarade - Paris Dauphine

Duration d’une structure de flux Fn F1 F2 . . . . . t1 t2 tn D P La duration d’une structure de flux est la moyenne des durées pondérées par les flux actualisés. 31/03/2017 JM Dalbarade - Paris Dauphine

JM Dalbarade - Paris Dauphine Exemple de duration 110 10 10 i = 10 % 1 2 3 D 100 31/03/2017 JM Dalbarade - Paris Dauphine

JM Dalbarade - Paris Dauphine La sensibilité La sensibilité mesure le rapport entre la variation du prix, en pourcentage, et la variation du taux d’intérêt . Une sensibilité égale à 5 signifie que le prix baisse de 0,05 % quant le taux monte d’un point de base (0,01 %). On démontre que sensibilité et duration sont reliés par : 31/03/2017 JM Dalbarade - Paris Dauphine

La date d’immunisation La duration peut être comprise comme la date à laquelle la valeur de la structure est insensible à la variation des taux Si les taux montent : Fn F1 F2 . . . . . t1 t2 tn D P Le gain réalisé sur la capitalisation des flux reçus jusqu'à la date D, compense La perte réalisée par l’actualisation des flux à la date D. 31/03/2017 JM Dalbarade - Paris Dauphine

Anticipation de hausse des taux d’intérêt Un investisseur anticipe une hausse régulière des taux d’intérêt jusqu’à la date D (durée du placement). Comment doit-il placer ses ressources ? 31/03/2017 JM Dalbarade - Paris Dauphine

Anticipation de baisse des taux d’intérêt Un investisseur anticipe une baisse régulière des taux d’intérêt jusqu’à la date D (durée du placement). Comment doit-il placer ses ressources ? 31/03/2017 JM Dalbarade - Paris Dauphine

Le marché obligataire Les obligations à taux fixe Amortissement in fine Zéro-coupon, rente perpétuelle et prêt amortissable Les obligations à taux variable Références pré et post-déterminées Les clauses particulières Indexation, primes, obligations assimilables

Taux fixe coupon annuel 104 4 4 1 2 3 100 En l’absence de prime à l’émission et de prime au remboursement, le rendement actuariel est égal au taux du coupon (à démontrer…). Après l’émission, le prix se décompose en prix pied de coupon et coupon couru.

Exercice sur Excel Identifier sur Internet les caractéristiques d’un emprunt d’état français (OAT) et prélevez son cours et coupon couru. Calculer le taux de rendement actuariel, la duration, la sensibilité et la convexité.

Le prêt amortissable à taux fixe A chaque période, une part du capital emprunté est remboursée L’intérêt est calculé sur le capital restant dû (encours ou KRD) Le total remboursé est la somme des intérêts payés et du capital « amorti ». Il peut être constant sur l’ensemble de la période de remboursement.

Exercice Un emprunt de 66 200 $ est remboursé en 3 annuités constantes de 26 620 $ pendant les 3 années suivantes. En construisant le plan d’amortissement du prêt, vérifiez que le taux d’intérêt est de 10 % ? Quel est le taux rendement actuariel du prêt ? Peut-on décomposer le prêt en 3 zéro-coupons ? 31/03/2017 JM Dalbarade

L’annuité de remboursement d’un prêt amortissable 31/03/2017 JM Dalbarade

La rente perpétuelle Le capital n’est jamais remboursé…

Les emprunts à taux variable Montants d'intérêt variables Achat de l'emprunt Références prédéterminées : Les taux sont prélevés avant le début de la période d'application (exemple : Euribor). Références post-déterminées : Les taux sont prélevés à la fin de la période d'application (exemple : TAM).

Les indices de taux d'intérêt Euribor ( ou Libor ) Taux monétaires de 1 à 12 mois Eonia ( TJJ ) Taux monétaire au jour le jour TMM (T4M) Moyenne arithmétique des EONIA d'un mois TAM Composition de 12 TMM consécutifs TEC 10 Taux actuariel d'une OAT de 10 ans (obtenu par interpolation)

Les coupons des emprunts à taux variable A l'indice prélevé s'ajoute une marge commerciale soit additive Exemple : Euribor + 0,5 % soit multiplicative Exemple : 1,1 × TAM soit mixte Exemple : 0,9 × TAM + 0,5 % Des seuils plafond et plancher peuvent être définis.

Le prix et le coupon des emprunts Quand les taux d’intérêt changent … Le coupon… Le prix… Emprunt à taux fixe …reste fixe …s’adapte Emprunt à taux variable … approximativement

Le risque associé à un emprunt à taux variable Le risque "instantané" est très faible, limité à l'influence du premier coupon à recevoir. Le risque relatif à un horizon futur est croissant avec cette date d'évaluation.

La marge actuarielle Cristallisation Tr = Rendement actuariel après cristallisation Tc = Taux de cristallisation Marge actuarielle Ma = Tr - Tc

La courbe des taux d'intérêt La courbe des taux d'intérêt est la représentation graphique des taux en fonction des durées sur lesquelles ils s'appliquent. Pour que les comparaisons selon ces durées soient pertinentes, il convient d'utiliser des taux composés, par exemple des taux actuariels. Pour que les durées d'application soient clairement définies, on ne retient que des opérations à deux flux, c'est-à-dire des emprunts zéro-coupon.

Actualisation sur la courbe des taux Fn F1 F2 t1 t2 . . . . . tn P La décomposition en emprunts zéro-coupon d'une structure de flux implique l'usage de taux d'intérêt différents prélevés sur la courbe des taux zéro-coupon.

Exercice A partir des taux zéro-coupon ci-dessous, Durées 1 an 2 ans 3 ans Taux zéro 0,5 % 1 % 1,5 % quel est le taux de référence (hors marge commerciale) d’un emprunt obligataire à taux fixe, coupon annuel, de durée 3 ans, émis et remboursé au pair ?

Calcul d'un taux à terme (1) Hypothèse : Taux zéro-coupon à 1an = 4 % Taux zéro-coupon à 2 an = 5 % Quel est le taux à terme à 1an dans 1an ? 1 Taux à terme ? 2 1 1 + i ?

Calcul d'un taux à terme (2) Opération de terme contre terme : Le montant emprunté (sur 2 ans) est de 1/1,04 Le montant produit par le placement sur 1an est alors de 1 Le montant remboursé 1 an plus tard est donc ( 1/1,04 ) × 1,052 = 1,0601 Le taux à terme est donc de 6,01 % . 1 Placement à 4 % Emprunt à 5 % 1 + i

La théorie des anticipations Le taux à terme, déduit de la courbe des taux, est le taux anticipé par le marché ( LUTZ ) . 4 % 6 % 1 2 5 % Si le taux anticipé est inférieur à 6 % Emprunt à 4 % sur 1 an + Placement à 5 % sur 2ans Si le taux anticipé est supérieur à 6 % Emprunt à 5 % sur 2 ans + Placement à 4 % sur 1an Le refinancement au taux du 1 an (1iercas) ou le replacement à 1an (2ème cas) assure un gain spéculatif.

Exemple d’une couverture à terme de taux d’intérêt Une entreprise doit emprunter dans 3 mois un montant de 10 000 000 € pour une durée de 6 mois. 10 000 000 € 6 mois 3 mois Taux d’intérêt ? Aujourd’hui 10 000 000 € + Intérêt ? Comment peut-elle fixer dès aujourd’hui le taux d’intérêt futur ?

Le terme contre terme 6 mois Emprunt sur 9 mois L’entreprise qui souhaite emprunter dans 3 mois 10 000 000 € pour une durée de 6 mois peut : Emprunter immédiatement sur une durée de 9 mois. Placer temporairement sur une durée de 3 mois. Placement 3 mois 6 mois Emprunt sur 9 mois L'entreprise fixe ainsi le montant reçu dans 3 mois et le montant remboursé 6 mois plus tard, c'est-à-dire son taux à terme.

Le FRA (Forward Rate Agreement) Date de conclusion …………………………...... Acheteur et vendeur ……………………………. Montant…………………………………………... Période d’application ………………………....... Taux fixe ……………………………………….... Taux variable ………………………………........ Date de détermination du taux variable ……...

Le FRA (questions) Comment est calculé le différentiel ? Comment est déterminé le taux fixe ? Comment couvrir un FRA ?

Exercice A partir des taux zéro-coupon ci-dessous, Durée 1 an 2 ans 3 ans 4 ans 5 ans Taux zéro 0,5 % 1 % 1,5 % 2 % 2,5 % calculer tous les taux à terme calculables sans interpolation, ni extrapolation… Mais au fait, combien y-a-t’il de taux à terme calculables ?

Interprétation de la courbe des taux Selon la théorie des anticipations : Une courbe des taux normale (croissante) correspond à une anticipation de hausse des taux . Une courbe des taux inversée (décroissante) correspond à une anticipation de baisse des taux .