Enseigner les maths aux CP et CE1 Manipuler pour raisonner Leïla DAVID CPC St Martin de Crau Janvier 2011

I Ce que disent les IO pour Les CP-CE1 L’apprentissage des mathématiques développe l’imagination, la rigueur et la précision ainsi que le goût du raisonnement. La connaissance des nombres et le calcul constituent les objectifs prioritaires du CP et du CE1. La résolution de problèmes fait l’objet d’un apprentissage progressif et contribue à construire le sens des opérations.

1 Nombres et calculs Ils mémorisent et utilisent les tables d’addition et de multiplication (par 2, 3, 4 et 5), ils apprennent les techniques opératoires de l’addition et de la soustraction, celle de la multiplication et apprennent à résoudre des problèmes faisant intervenir ces opérations. 3 Grandeurs et mesures Ils commencent à résoudre des problèmes portant sur des longueurs, des masses, des durées ou des prix. 4 Organisation et gestion des données L’élève utilise progressivement des représentations usuelles : tableaux, graphiques.

II Ce que proposent les documents d’accompagnement en cycle 2  Les problèmes à situer dans des contextes maîtrisés par les élèves  Le choix des situations: -une entrée rapide dans le problème -une explicitation des procédures par retour à l’expérience -une présentation orale ou mimée -des situations problématiques avec la nécessité d’un travail intellectuel. « Les problèmes doivent se situer dans des contextes maîtrisés par les élèves, le plus souvent possible, à l’aide de supports effectivement présents dans la classe (matériel, jeu). » « Le choix des situations doit favoriser une entrée rapide dans le problème et permettre une validation des réponses ainsi qu’une explicitation des procédures par retour à l’expérience. » « Une présentation mimée ou orale, éventuellement avec l’aide d’une image ou d’un document, peut également être utilisée. La maîtrise de l’écrit n’étant pas entièrement assurée pour une partie des élèves de cycle 2, le recours à des situations fictives n’implique pas l’utilisation d’un énoncé écrit. » « Les situations proposées doivent réellement être problématiques et donc nécessiter un travail intellectuel de la part de l’élève pour l’élaboration de la réponse. »

III Constat Les élèves ont beaucoup de difficultés à résoudre des problèmes à l’école élémentaire (tous cycles confondus) Voir les Évaluations Nationales (CE1 et CM2) et Européennes (PISA) Cette partie de l’activité mathématique correspond, pour la majorité des élèves, à un moment difficile, pénible, sans sens et surtout sans enjeu.

pas de véritables problèmes à l’école. le contrat inhérent à la résolution de problème n’est pas correctement initié entre l’enseignant et les élèves. le contrat n’est pas toujours bien intégré et reconnu comme essentiel par beaucoup d’enseignants eux -mêmes. la « manipulation » est une action sur le réel, pour l’élève, qui reste longtemps ambiguë. ( « Les 7 malentendus de la maternelle » de R.GOIGOUX)

IV Les démarches proposées (Ermel, Charnay, Brissiaud, Dias…) Le rôle de la résolution de problèmes dans la construction des connaissances Importance des interactions sociales Des connaissances anciennes aux connaissances nouvelles Le rôle de l'entraînement et la nécessité des prises de conscience, de verbalisation La disponibilité des connaissances La prise en compte de toute réponse CONCEPTIONS SOUS-JACENTES A LA DEMARCHE PROPOSEE PAR ERMEL   Le rôle de la résolution de problèmes dans la construction des connaissances : de nombreuses connaissances (savoirs, savoir-faire, conceptions, représentations) se construisent et prennent du sens au travers des actions finalisées, c'est-à-dire permettant de résoudre un problème, de répondre à une question, dans une situation que le sujet a pu s'approprier. Les interactions sociales : apprendre se fait dans un contexte d'interactions sociales (avec les pairs et avec l'adulte). Des connaissances anciennes aux connaissances nouvelles : les connaissances ne s'entassent pas, ne s'accumulent pas, elles ne se construisent pas à parti de rien ; leur élaboration est soumise à des ruptures et à des restructurations. On apprend à parti de, mais aussi contre ce que l'on sait déjà. Le rôle de l'entraînement et la nécessité des prises de conscience : apprendre se fait rarement en une seul fois. Apprendre c'est aussi recommencer, s'entraîner, revenir en arrière, donc répéter en comprenant ce que l'on fait et pourquoi on le fait. La disponibilité des connaissances : une connaissance n'est pleinement opératoire que si elle est mobilisable dans des situations différentes de celles qui ont servi à lui donner naissance.

L'apprentissage, un processus qui s'inscrit dans la durée… Approche Construction Reconnaissance des savoirs Entraînement, maîtrise, systématisation Réinvestissement, transfert Approche : phase courte de familiarisation et de mobilisation des connaissances antérieures. Construction : phase contextualisée dans laquelle le savoir est un outil implicite. Reconnaissance des savoirs : le savoir précédemment construit est nommé, il acquiert un statut de connaissance autonome, c'est un objet explicite. Entraînement, maîtrise, systématisation : phase décontextualisée dans laquelle le savoir est objet d'amélioration jusqu'à devenir un outil bien maîtrisé. Réinvestissement, transfert : le savoir est mobilisé par l'élève seul et sans qu'on l'y invite, dans des contextes différents de celui qui a servi à l'introduire.

Quelques pistes de réflexions… associer une opération à n’importe quelle situation nécessitant cette opération. connaissances, capacités et attitudes travaillées en maternelle connues, reconnues et investies par les enseignants d’élémentaire. confrontation à la diversité des situations additives regroupant les problèmes d’addition et de soustraction. Progression L’automatisation du processus de reconnaissance de l’opération n’est réellement effective que si l’élève parvient à associer une opération (la soustraction par exemple) à n’importe quelle situation nécessitant cette opération. Choisir parmi plusieurs opérations nécessite de construire simultanément une automatisation (elle sera progressive) du processus de reconnaissance de l’opération. L’automatisation est grandement facilitée si l’élève a élaboré en maternelle des connaissances, des capacités et des attitudes connues, reconnues et investies par les enseignants d’élémentaire. Ces conditions impliquent que l’élève ait été confronté à la diversité des situations additives regroupant les problèmes d’addition et de soustraction. Or tous les problèmes additifs ou soustractifs ne sont pas résolus avec le même taux de réussite. Cela tient principalement à leur inégale difficulté.

Essais de catégorisation des problèmes additifs et soustractifs d’après les travaux de Vergnaud Les 3 catégories communes au cycle 2: a/ Composition de 2 états b/ Transformation d’un état c/ Comparaison de 2 états

a/ Composition de 2 états La recherche d’un tout e1 e2 ef Pierre a 3 jetons et Paul a 5 jetons. Combien ont-ils de jetons? La recherche d’une partie Une classe est composée de 25 élèves dont 14 filles. Combien y-a-t-il de garçons ?

b/ Transformation positive d’un état La recherche de l’état final : ei T+ ef Pauline avait 17 billes. Elle en a gagné 5. Combien en a-t-il maintenant ? La recherche de l’état initial : Léo a gagné 5 images. Il en a maintenant 22. Combien en avait-il avant la partie ? La recherche de la transformation : Pierre avait 17 euros avant Noël. Il en a maintenant 22. Combien en a-t-il reçu?

Transformation négative d’un état La recherche de l’état final : ei T- ef Pauline avait 17 billes. Elle en a perdu 5. Combien en a-t-elle maintenant ? La recherche de l’état initial : Léo a perdu 5 images. Il en a maintenant 22. Combien en avait-il avant la partie ? La recherche de la transformation : Pierre avait 17 euros avant Noël. Il en a maintenant 10. Combien en a-t-il dépensé?

c/ Comparaison positive de 2 états La recherche d’un état : e1 C+ e2 Basile a 25 ans. Il a 5 ans de plus que Steven. Quel âge a Steven ? La recherche de la comparaison : Karim possède 18 voitures. Son frère Kader en possède 23. Combien de voitures Kader a-t-il en plus?

Comparaison négative de 2 états La recherche d’un état : e1 C- e2 Basile a 25 ans. Il a 5 ans de moins que Steven. Quel âge a Steven ? La recherche de la comparaison : Karim possède 18 voitures. Son frère Kader en possède 13. Combien de voitures Kader a-t-il en moins ?

En conclusion sur de « simples problèmes additifs ou soustractifs »… … Il faudra pour nos élèves surmonter les obstacles suivants: -Comprendre la situation -Associer à une situation déjà rencontrée -Dissocier une nouvelle situation d’autres déjà rencontrées -Elaborer une première procédure -Identifier cette nouvelle catégorie de problème -Construire l’association avec une opération -Automatiser