CHAPITRE 2. Les critères de décision en univers mesurable

1- Le critère de Pascal Fonction de valorisation : –Évaluer l’espérance mathématique des résultats de chaque action. Critère de choix : – Choisir l’action dont l’espérance mathématique est la plus élevée.

Exemple d’application Actions\étatse1e1 e2e2 e3e3 e4e4 a1a a2a a3a p(e i )p 1 =0.20p 2 =0.25p 3 =0.40p 4 =0.15

2- Le critère de MARKOWITZ Fonction de valorisation : –La fonction de valorisation est caractérisée par un couple composé par l’espérance mathématique de l’action et sa variance.

Comme pour le critère moyenne variabilité cette règle de comparaison est assez restrictive : Elle ne prend pas en considération le fait qu’un fort écart- type puisse être compensé par une forte espérance. Donc ce critère ne fonctionne pas toujours : il faut le compléter Critère de choix n° 1 :

Exemple d’application Actions\étatse1e1 e2e2 e3e3 e4e4 a1a a2a a3a p(e i )p 1 =0.20p 2 =0.25p 3 =0.40p 4 =0.15

Cette règle consiste à mesurer le pourcentage d’espérance par unité d’écart type La meilleur stratégie sera celle qui aura la plus grande espérance par unité d’écart type Si le critère précédent ne permettait pas de se prononcer on utiliserait le critère de choix n° 2 ou n°3 : critère de choix n° 2 :

Application du critère n°2 :

Cette règle apporte une notion de déplacement mesuré par le Taux Marginal de Substitution entre l’espérance et l’écart type. Critère de choix n° 3 : On peut donc changer de stratégie à condition que le taux d’échange soit assez élevé. Il faut toujours tester deux actions de telle façon que le numérateur et le dénominateur soient positifs

Comparaison de a 2 et a 1 à l’aide du critère n°3 : Comparaison de a 2 et de a 1 1,11

3- Le critère de BERNOULLI Bernoulli critique le critère de PASCAL à partir d’un exemple connu sous l’appellation Paradoxe de Saint-Pétersbourg Le Paradoxe de Saint-Pétersbourg : Un mendiant possède un billet de loterie lui permettant de gagner Ducats avec une probabilité égale à 0,5. Un riche marchand lui propose d’acheter ce billet Ducats. Le mendiant accepte, ce qui est contraire au paradigme Pascalien !

Formalisation de ce problème : e1e2 a a Prob{e j }0,5 Pourquoi le mendiant préfère vendre son billet de loterie ?

La réponse de D. Bernoulli : Ce n’est pas le gain en lui même qui intéresse les individus mais plutôt l’utilité que le gain procure. Fonction de valorisation : –Évaluer l’espérance mathématique de l’utilité de chaque action. Critère de choix : – Choisir l’action dont l’espérance mathématique de l’utilité est la plus élevée.

Dans le cas du paradoxe de saint petersbourg : Le mendiant accepte de vendre son billet de loterie dès lors que : Soit : Si la fonction d’utilité du mendiant est de type u(x)=Ln(x), il est rationnel d’accepter l’échange : Ln(20000)=9,9 et 2*Ln(9000)=18,20

Critique du critère de Bernoulli Ce critère peut être pris en défaut à l’aide de l’exemple suivant : On joue à pile ou face : si l’on obtient « face » on gagne 2€ et on a le droit de rejouer. Si l’on obtient « pile » on ne gagne rien et le jeux s’arrête. Si on a le droit de jouer un deuxième coup et qu’on obtient de nouveau « face » le gain précédent est multiplier par deux. Si on tire « pile », le jeux s’arrête. En ainsi de suite … Question : Combien êtes vous prêt à payer pour jouer à ce jeux ?

Profil des gains attendus : Avec le critère de Pascal on obtient : Comme l’espérance de gain est infini, on accepte de payer un somme exorbitante pour jouer à ce jeux …… vraiment ?

La réponse de Bernoulli : Si u(x)=Ln(x) Si votre fonction d’utilité est logarithmique, vous ne miserez que maximum 4€ pour jouer à ce jeux !

Mais si les gains attendus sont : Avec le critère de Bernoulli on obtient : Comme l’espérance de l’utilité du gain est infinie, on accepte de payer un somme exorbitante pour jouer à ce jeux. Le critère de Bernoulli est pris en défaut …..