Optimisation Logique Bruno Rouzeyre GMEE329 Optimisation Logique Bruno Rouzeyre

Principe de minimisation Karnaugh : Approche visuelle limitée à : Fonctions de 4/5 variables Base première complète : Karnaugh Quine Mc Cluskey (>5 variables) Consensus Base minimale : Table de choix (heuristique) Résolution Algébrique Branch & bound

Base première complète - Quine Mc Cluskey Principe: 2 points adjacents (1 seul bit qui change) peuvent être recombinés 2 monômes ayant la même variable indéterminée et qu'un seul bit qui change peuvent être recombinés Etc… m1 = d’.c’.b’.a’ m2 = d’.c’.b’.a 1 00 01 11 10 dc ba => m = d’.c’b’ m1 = d’.c’.b’ m2 = d.c’.b’ => m = c’b’

Base première complète - Quine Mc Cluskey Principe: Tous les points vrais de la fonction sont classés dans un tableau par classes comportant le même nombre de 1 dans leur représentation binaire (ou de variables sous la forme normale). La classe C0 contient le point 0, si ce point est un point vrai de la fonction, la classe C1, toutes les combinaisons ne comportant qu'un seul 1, etc... Recombinaisons Etape 1: On recombine les termes qui n'ont qu'un seul bit différent. Etape 2: On recombine les termes qui ont le tiret au même endroit et n'ont qu'un seul bit différent. Etape 3: On recombine les termes qui ont deux tirets au même endroit et n'ont qu'un seul bit différent. Les termes non regroupés sont des monômes premiers

Base première complète - Quine Mc Cluskey Id(F(d,c,b,a)) = R1 (0,2,6,7,8,9,10,11,12,15) C0 0 0000 x C1 2 0010 x 8 1000 x C2 6 0110 x 9 1001 x 10 1010 x 12 1100 x C3 7 0111 x 11 1011 x C4 15 1111 x C01 0,2 00-0 x 0,8 -000 x C12 2,6 0-10 2,10 -010 x 8,9 100- x 8,10 10-0 x 8,12 1-00 C23 6,7 011- 9,11 10-1 x 10,11 101- x C34 7,15 -111 11,15 1-11 C012 0,2,8,10 -0-0 0,8,2,10 -0-0 C123 8,9,10,11 10-- 8,10,9,11 10-- Bp(f) = c'a' + dc' + dba + cba + d'cb + d b'a' + d'b a'

Base première complète - Quine Mc Cluskey Règles de recombinaison en représentation décimale Etape 1: On recombine les termes a Î Ci et b Î Ci+1 si la différence a-b est négative et puissance de 2. C0 0 0000 x C1 2 0010 x 8 1000 x C2 6 0110 x 9 1001 x 10 1010 x 12 1100 x C3 7 0111 x 11 1011 x C4 15 1111 x C01 0,2 00-0 x 0,8 -000 x C12 2,6 0-10 2,10 -010 x 8,9 100- x 8,10 10-0 x 8,12 1-00 C23 6,7 011- 9,11 10-1 x 10,11 101- x C34 7,15 -111 11,15 1-11 C012 0,2,8,10 -0-0 0,8,2,10 -0-0 C123 8,9,10,11 10-- 8,10,9,11 10--

Base première complète - Quine Mc Cluskey Règles de recombinaison en représentation décimale Etape 2: On recombine les termes a,b Î Ci et c,d Î Ci+1 si les différences a-b et c-d sont égales et si la différence a-c est négative et puissance de 2. C0 0 0000 x C1 2 0010 x 8 1000 x C2 6 0110 x 9 1001 x 10 1010 x 12 1100 x C3 7 0111 x 11 1011 x C4 15 1111 x C01 0,2 00-0 x 0,8 -000 x C12 2,6 0-10 2,10 -010 x 8,9 100- x 8,10 10-0 x 8,12 1-00 C23 6,7 011- 9,11 10-1 x 10,11 101- x C34 7,15 -111 11,15 1-11 C012 0,2,8,10 -0-0 0,8,2,10 -0-0 C123 8,9,10,11 10-- 8,10,9,11 10--

Base première complète - Quine Mc Cluskey Règles de recombinaison en représentation décimale Etape 3: On recombine les termes a,b,c,d Î Ci et e,f,g,h Î Ci+1 si les différences b-c et f-g sont égales et si la différence a-e est négative et puissance de 2. C0 0 0000 x C1 2 0010 x 8 1000 x C2 6 0110 x 9 1001 x 10 1010 x 12 1100 x C3 7 0111 x 11 1011 x C4 15 1111 x C01 0,2 00-0 x 0,8 -000 x C12 2,6 0-10 2,10 -010 x 8,9 100- x 8,10 10-0 x 8,12 1-00 C23 6,7 011- 9,11 10-1 x 10,11 101- x C34 7,15 -111 11,15 1-11 C012 0,2,8,10 -0-0 0,8,2,10 -0-0 C123 8,9,10,11 10-- 8,10,9,11 10--

Principe de minimisation Base première complète : Karnaugh Quine Mc Cluskey Consensus Base minimale : Table de choix (heuristique) Résolution Algébrique Branch & bound

Base première complète - Consensus Théorème des consensus: xm1 + x’m2 = xm1 + x’m2 + m1m2 Il existe un consensus entre deux monômes m1 et m2 si une seule des variables apparaissant à la fois dans m1 et m2 est biforme (complémentée dans un monôme, non complémentée dans l’autre). Le consensus est alors égal au produit des variables monoformes de m1 et m2. Interprétation ba ba ba 00 01 11 10 00 01 11 10 dc dc 00 01 11 10 dc 00 1 00 1 00 01 1 01 1 01 1 1 1 1 xm1 + x’m2 = xm1 + x’m2 + m1m2 If X = 0 => m2 = m2 + m1m2 => m2=m2 If X = 1 => m1 = m1 + m1m2 => m1=m1 q.e.d 11 1 11 1 1 11 1 1 10 1 10 1 1 10 1 1 m1 = d.b’.a’ m2 = d’.b’.a’ C = b’.a’ m1 = d.b m2 = d’.b.a’ C = b.a’ m1 = d'.c m2 = d.a C = c.a

Base première complète - Consensus ab + a’c = ab + a’c + bc c b a

Base première complète - Consensus Exposé de la méthode 1 - Suppression des multiples et des monômes inclus dans d'autres par application des théorèmes d'idempotence (a + a = a) et d'absorbtion (a.b + a = a) 2 - Pour chaque variable biforme faire l'étape 3 3 - Pour chaque monôme, on forme avec les monômes suivants les consensus par rapport à la variable biforme en cours de traitement, on rajoute ces consensus à la fonction et on supprime les multiples et monômes inclus.

Base première complète - Consensus Id(F)dcba = R1 (0,2,6,7,8,9,10,11,12,15) F = d’c’b’a’ + d’c’b a’ + d’c b a’ + d’c b a + d c’b’a’ + d c’b’a + d c’b a’ + d c’b a + d c b’a’ + d c b a Consensus par rapport à d => d’c’b’a’ et d c’b’a’ donnent c’b’a’ d’c’b a’ et d c’b a’ donnent c’b a’ d c b a et d’c b a donnent c b a On rajoute c’b’a’ c’b a’ c b a On élimine d’c’b’a’ d c’b’a’ d’c’b a’ d c’b a’ d’c b a d c b a F = d’c b a’ + d c’b’a + d c’b a + d c b’a’ + c’b’a’ + c’b a’ + c b a Consensus par rapport à c => d’b a’ + d b a + d b’a’ F = d c’b’a + c’b’a’ + c’ba’ + c b a + d’ba’ + d b a + d b’a’ Consensus par rapport à b => d c’a + c’a’ + d’c’a’ + d c’a’ F = c b a + d’b a’ + d b a + d b’a’ + d c’a + c’a’ Consensus par rapport à a => d’c b + d c’b + d c’b’ + d c’ F = c b a + d’b a’ + d b a + d b’a’ + c’a’ + d’c b + d c’

Exercice Soit la fonction F(a,b,c,d) suivante : F(a,b,c,d) = R1 (0, 2, 4, 5, 6, 7, 10, 11, 13, 14) Déterminer la base première complète de F par la méthode Quine Mc Cluskey Déterminer la base première complète de F par la méthode des consensus Soluzione in ex 5