III – Propagation dans les solides Université d’Angers DEUG STU2 1/25 P1 – Propagation dans les solides III – Propagation dans les solides Pour étudier la propagation des ondes dans un milieu solide, il nous faut connaître les propriétés mécaniques des milieux déformables :  la propagation d’une onde génère une contrainte dynamique qui déforme localement le solide. 1 – Propagation dans un solide illimité isotrope La force s’exerçant sur une surface peut toujours se décomposer en : - deux composantes tangentielles (//) - une composante normale ()

force par unité de surface (pression) Université d’Angers DEUG STU2 2/25 P1 – Propagation dans les solides Considérons un élément de volume solide, de forme parallélépipédique rectangle : x y z force par unité de surface (pression) sont les contraintes s’exerçant sur les différentes faces… … et chacune des contraintes est repérée par 3 composantes.

tenseur des contraintes Université d’Angers DEUG STU2 3/25 P1 – Propagation dans les solides On a donc 9 composantes, notées ij, qui peuvent se regrouper sous la forme d’un tenseur : tenseur des contraintes Remarque : Pour un élément ij, le premier indice (i) repère la direction suivant laquelle s’exerce la contrainte ; le second indice (j) indique la direction normale à la surface sur laquelle s’exerce la contrainte. Remarque : Les élément ii (sur la diagonale du tenseur) sont appelés contraintes normales ; les éléments ij avec ji (hors-diagonale) sont appelés contraintes tangentielles. Remarque : Le tenseur est toujours symétrique, donc : ij = ji

tenseur des déformations Université d’Angers DEUG STU2 4/25 P1 – Propagation dans les solides L’application d’une contrainte provoque alors une déformation de l’élément de volume solide. Cette déformation peut également être décrite au moyen d’un tenseur : tenseur des déformations Remarque : Le tenseur est aussi toujours symétrique, donc : ij = ji Comme on a défini Ux la vibration d’une particule fluide dans la direction de propagation, dans un solide il nous faut définir 3 vibrations correspondant aux 3 directions de l’espace : Ux , Uy et Uz  au passage de l’onde, le solide peut se déformer dans les trois directions de l’espace.

Université d’Angers DEUG STU2 5/25 P1 – Propagation dans les solides Le tenseur des déformations s’explicite alors en fonction de ces vibrations : Remarque : Les éléments diagonaux définissent les déformations d’élongation. La somme des 3 éléments diagonaux correspond alors à la dilatation  :  variation relative de volume

où est le tenseur des constantes élastiques Université d’Angers DEUG STU2 6/25 P1 – Propagation dans les solides Remarque : Les éléments en dehors de la diagonale définissent les déformations qui ne sont pas dans l’axe de l’élongation : ce sont les déformations de cisaillement. élongation cisaillement  la déformation de l’élément de volume solide est une combinaison d’élongations et de cisaillements dans les 3 dimensions de l’espace. Les déformations résultent des contraintes appliquées. Il existe une relation entre les deux : loi de Hooke où est le tenseur des constantes élastiques (caractéristiques intrinsèques du matériau).

ij = cijkl kl  tenseur de rang 4 ij  tenseur de rang 2 Université d’Angers DEUG STU2 7/25 P1 – Propagation dans les solides Remarque : Le rang d’un tenseur correspond au nombre d’indices nécessaires pour identifier une de ses composantes. ij  tenseur de rang 2 ij = cijkl kl  tenseur de rang 4 ij  tenseur de rang 2 Le nombre d’éléments composant un tenseur de rang n est donné par : 3n Par conséquent, on vérifie bien que ij et ij contiennent 32 = 9 composantes. Et on trouve que cijkl contient 34 = 81 composantes !!! Par exemple : Mais : les propriétés de symétrie du matériau, ainsi que la symétrie des tenseurs vont permettre de diminuer considérablement le nombre de composantes indépendantes à manipuler.

au tenseur symétrique de rang 2, Université d’Angers DEUG STU2 8/25 P1 – Propagation dans les solides Astuce : Afin de simplifier l’écriture de ces tenseurs et des relations qui les lient, on utilise l’astuce suivante : au tenseur symétrique de rang 2, on associe un vecteur à 6 composantes : tenseur de rang 1 On peut procéder de même pour : tenseur de rang 1

En notation contractée, la loi de Hooke s’exprime alors comme : Université d’Angers DEUG STU2 9/25 P1 – Propagation dans les solides En notation contractée, la loi de Hooke s’exprime alors comme : où , = 1,2,3,4,5 ou 6. est donc réduit à un tenseur de rang 2 correspondant à une matrice 6x6 : On a ainsi par exemple : Remarque : Comme le tenseur est symétrique, c ne compte que 21 composantes indépendantes.

Si le milieu présente une symétrie cubique, alors il ne reste plus que Université d’Angers DEUG STU2 10/25 P1 – Propagation dans les solides Voyons comment il est possible de réduire encore le nombre de composantes indépendantes en tenant compte de la symétrie du milieu solide : Si le milieu présente une symétrie cubique, alors il ne reste plus que 3 composantes indépendantes : Si, en outre, le milieu est parfaitement isotrope, alors on doit vérifier :  il ne reste plus que 2 composantes indépendantes : les coefficients de Lamé

module de cisaillement (viscosité pour un fluide) Université d’Angers DEUG STU2 11/25 P1 – Propagation dans les solides Toutes les propriétés élastiques du solides se résument donc aux deux coefficients de Lamé : module de cisaillement (viscosité pour un fluide) module d’incompressibilité (1/ pour un fluide) Pour comprendre la propagation d’une onde dans le milieu solide, il nous faut alors poser les équations relatives à la dynamique du processus : cela revient à considérer le Principe Fondamental de la Dynamique sur un élément de volume. la démarche consiste à faire le bilan des forces qui s’exercent (contraintes normales et tangentielles) et égaler la résultante au produit de la masse par l’accélération… … après calcul, on trouve…

contraintes tangentielles Université d’Angers DEUG STU2 12/25 P1 – Propagation dans les solides contraintes tangentielles contrainte normale accélération A ce stade, l’objectif est d’obtenir les équations de propagation n’impliquant que les vibrations Ux, Uy et Uz. Pour cela, appliquons la loi de Hooke sur les composantes ij :

Pour les contraintes tangentielles, on a : Université d’Angers DEUG STU2 13/25 P1 – Propagation dans les solides Soit : On trouve de même : et Pour les contraintes tangentielles, on a : Avant de remplacer ces 6 composantes dans le système des 3 équations différentielles issues du PFD, posons quelques hypothèses simplificatrices…

Hypothèses simplificatrices : Université d’Angers DEUG STU2 14/25 P1 – Propagation dans les solides Hypothèses simplificatrices : On considérera une onde se propageant suivant l’axe x, et générant des vibrations uniquement suivant les directions x et y. x z y Dans ces conditions : (milieu isotrope) (onde plane)  onde longitudinale  onde transversale On a alors : et de même :

    Bilan : 15/25 Université d’Angers DEUG STU2 15/25 P1 – Propagation dans les solides Bilan :    

On a donc obtenu deux équations de propagation : Université d’Angers DEUG STU2 16/25 P1 – Propagation dans les solides On a donc obtenu deux équations de propagation : onde longitudinale onde transversale L’onde longitudinale se propage à la vitesse : L’onde transversale se propage à la vitesse :

 Ordre de grandeur des vitesses de propagation : Université d’Angers DEUG STU2 17/25 P1 – Propagation dans les solides Remarque : On peut facilement retrouver le résultat obtenu pour la vitesse de propagation dans un fluide : le module de cisaillement s’apparente à la viscosité, donc   0 et  on retrouve le fait que dans un fluide seules des ondes longitudinales peuvent se propager à la vitesse  Ordre de grandeur des vitesses de propagation : Typiquement, les vitesses de propagation longitudinale sont de l’ordre de 5000 à 6000 m.s-1. Dans tous les cas, la propagation d’ondes transversales est moins rapide que celle d’ondes longitudinales :

 Conversion des coefficients de Lamé Université d’Angers DEUG STU2 18/25 P1 – Propagation dans les solides  Conversion des coefficients de Lamé On a vu que les 2 seuls coefficients de Lamé,  et , peuvent décrire le comportement élastique du solide dans lequel se propage l’onde. D’un point de vue pratique, il est plus fréquent d’utiliser deux autres coefficients : - le module d’Young : E - le coefficient de Poisson : P La conversion avec les coefficients de Lamé s’effectue ainsi :

P  Expression des vitesses en fonction de E et P et Université d’Angers DEUG STU2 19/25 P1 – Propagation dans les solides  Expression des vitesses en fonction de E et P et On peut alors remarquer que :  le rapport des deux vitesses ne dépend que d’un seul coefficient : le coefficient de Poisson. P 0,25 0,3 0,49 vL/vT 21/2=1,4 31/2=1,73 3,51/2=1,87 511/2=7,14

2 – Propagation dans un solide de dimensions finies Université d’Angers DEUG STU2 20/25 P1 – Propagation dans les solides 2 – Propagation dans un solide de dimensions finies L a  Définitions du module d’Young et du coefficient de Poisson On considère une tige homogène, de longueur L et d’épaisseur a. dL da Soumise à une force de traction F, la tige s’allonge d’une longueur dL, et son épaisseur se contracte de da. L’allongement relatif et la contraction relative sont alors fonction du module d’Young E et du coefficient de Poisson P du matériau. On a : Remarque : E a la dimension d’une pression. P est sans dimension.

 Application à la propagation d’une onde en milieu fini Université d’Angers DEUG STU2 21/25 P1 – Propagation dans les solides  Application à la propagation d’une onde en milieu fini h D x x x+dx On considère un barre de hauteur h et de largeur D dans laquelle se propage longitudinalement une onde de longueur d’onde . L’analyse dynamique que l’on va effectuer n’est valable que si : Dû à la propagation de l’onde, une tranche de cette barre est soumise, en x, à une force Fx, et en x+dx, à une force Fx+dx.

équation de propagation Université d’Angers DEUG STU2 22/25 P1 – Propagation dans les solides Or Donc équation de propagation

Université d’Angers DEUG STU2 23/25 P1 – Propagation dans les solides On peut alors formuler la vitesse de propagation d’une onde longitudinale dans un milieu solide de dimensions finies : On remarque que la vitesse de propagation d’une onde longitudinale est différente selon que le solide est limité ou illimité On admettra en revanche que la vitesse de propagation d’une onde transversale est la même, que le solide soit limité ou illimité. Bilan : onde longitudinale onde transversale milieu illimité milieu limité

C’est le cas de matériaux comme l’éponge ou le liège. Université d’Angers DEUG STU2 24/25 P1 – Propagation dans les solides Selon les dimensions du solide (limité ou illimité), la vitesse de l’onde longitudinale ne dépend alors que du coefficient de Poisson :  1er cas limite : P  0 Cela signifie qu’il n’y a pratiquement pas de variation des dimensions transversales, donc pas d’effet de traction latérale  la déformation locale n’a quasiment pas d’effet sur les liaisons voisines. C’est le cas de matériaux comme l’éponge ou le liège.  2ème cas limite : P  1/2 Au contraire, toute déformation agit directement sur les liaisons voisines. C’est le cas du caoutchouc.

P  Quelques valeurs typiques : Matériaux vL/vl Liège, éponge 0 1 Université d’Angers DEUG STU2 25/25 P1 – Propagation dans les solides  Quelques valeurs typiques : Matériaux P vL/vl Liège, éponge 0 1 Valeurs courantes (principales roches) 0,25-0,30 1,10-1,16 Aluminium 0,35 1,27 Laiton 0,45 1,95 Caoutchouc 0,49 4,41