Solide en équilibre et en mouvement Mécanique newtonienne

Les forces sont également définies par leur point d’application vecteurs Les vecteurs en physique sont une représentation d’une grandeur permettant une analyse graphique et modélisée de celle-ci. C’est le cas pour: les forces, les vitesses, accélérations, Tensions, courants, puissances, flux, champ électrique, magnétique, flux… Pour une force: 𝐹1 X O Les forces sont également définies par leur point d’application

Opérations sur les vecteurs Somme 𝐹1 − 𝐹2 𝐹1 + 𝐹2 𝐹1 Soustraction X O 𝐹2

Projection d’une force sur un axe 𝐹1 a F1D X O F1D = F1 . cos (a)

On définit les vecteurs dans un repère qui pour les forces se nomme aussi un référentiel X M 𝐹1 = 𝑂𝑀 = 𝑥 𝑦 𝑧 𝐹1

Tout mouvement suppose deux repères en présence : le repère lié au solide dont on étudie le mouvement. le repère de référence par rapport auquel on définit le mouvement (souvent R0). O0 R0 𝑘 M 𝑗 O 𝑘 0 𝑖 R 𝑗 0 𝑖 0 Ro est souvent le référentiel terrestre ou plus généralement galiléen

𝑖 𝐹 𝑖 =0 Equilibre d’un solide soumis à plusieurs forces condition d'équilibre de translation 𝑖 𝐹 𝑖 =0

𝑝 =𝑚. 𝑣 𝑝 =𝑐𝑡𝑒 lois de newton La première loi de Newton : principe d’inertie Dans un référentiel galiléen, si la somme des forces extérieures appliquées à un système mécanique est nulle, alors son centre d’inertie G est au repos ou possède un mouvement rectiligne uniforme. 𝑝 =𝑚. 𝑣 Quantité de mouvement: 1ere loi de Newton: 𝑝 =𝑐𝑡𝑒

Principe fondamental de la dynamique appliqué au solide mouvement de translation 2ème loi de newton 𝑎 = 𝑎𝑥 𝑎𝑦 𝑎𝑧 Masse (kg) Somme des forces En N, à projeter sur chaque axe 𝐹 = 𝐹𝑥 𝐹𝑦 𝐹𝑧 Accélération En m/s² à projeter sur chaque axe 𝐹 = 𝑑 𝑝 𝑑𝑡 Si la masse n’est pas constante on utilise la quantité de mouvement 𝑝 =𝑚× 𝑣

Principe fondamental de la dynamique appliqué au solide mouvement de translation M est la position du point du solide étudié 𝑣 = 𝑣𝑥 𝑣𝑦 𝑣𝑧 𝑂𝑀 = 𝑥 𝑦 𝑧 𝑣 = 𝑑 𝑂𝑀 𝑑𝑡 Si le solide se déplace suivant y: Vitesse: vy si v est constante: vy = y/t cas général: vy = y’ = dy/dt Accélération: ay si ay est constante: ay = vy/t cas général: ay = vy’ = d(vy)/dt

La troisième loi de Newton : actions réciproques Soient A et B deux corps en interaction. Si un système A exerce une force FA/B sur un système B, alors le système B exerce aussi sur le système A une force FB/A ayant même droite de direction mais un sens opposé.

Principe fondamental de la dynamique appliqué au solide mouvement de translation exemple de la pesanteur y=0 on suppose un corps de masse m, soumis uniquement au poids. On étudie son mouvement suivant l’axe y. On lâche la masse à t=0 depuis y = 0

Suivant y, on alors: m x g = m x ay Principe fondamental de la dynamique appliqué au solide mouvement de translation exemple de la pesanteur On rappelle: P = m x g suivant l’axe y Suivant y, on alors: m x g = m x ay g = ay ay ne dépend pas de la masse!

Indépendante de la masse Principe fondamental de la dynamique appliqué au solide mouvement de translation exemple de la pesanteur g = vy’ g x t + 0 = vy ½ x g x t² = y y est une fonction parabolique du temps Indépendante de la masse vy est une fonction linéaire du temps

Principe fondamental de la dynamique appliqué au solide mouvement de translation Marteau et plume Attention : il existe souvent des frottements non négligeables Exemple: cas du saut en parachute!

Principe fondamental de la dynamique appliqué au solide mouvement de translation: cas d’un frottement force de frottement proportionnelle à la vitesse = Ff = k.v m.ay = m.g – Ff m.vy’ = mg – k.vy m.vy’ + k.vy =m.g (m/k).vy’ + vy = m.g/k

t :constante de temps du système (s) (m/k).vy’ + vy = m.g/k Régime permanent: Quant t tend vers  vy tend vers une valeur constante, c’est le régime permanent ou établi. Si vy’ = 0 alors vy = m.g/k Quand t  vy m.g/k t :constante de temps du système (s) À l’instant t le système atteint 63% de sa variation totale Exemple d’un parachutiste de m = 70 kg k = 9 N.s.m-1 t = 7,78 s m.g/k = 76,3 m.s-1

Principe fondamental de la dynamique appliqué au solide mouvement de translation: cas d’un frottement Vsf: vitesse sans frottement Vfin=m.g/k Cliquer sur courbes pour ouvrir le fichier regressi t=m/k

Principe fondamental de la dynamique appliqué au solide mouvement de translation exemple d’un ressort + masse en translation Axe Ox

Principe fondamental de la dynamique appliqué au solide mouvement de translation exemple d’un ressort + masse en translation suivant 0x : Force de rappel F = - k.x X=A.sin(w.t) oscillateur. si frottement : mouvement amorti.

Principe fondamental de la dynamique appliqué au solide mouvement de rotation  F trajectoire Solide à t = 0 R Sens de la rotation Solide à t > 0 Axe de rotation perpendiculaire au plan du tableau

vT=R. w Principe fondamental de la dynamique appliqué au solide q: position angulaire mouvement de rotation Larc=R.q vT:vitesse tangentielle vN:vitesse normale vT=R.q’=R.dq/dt vT=R. w R  Larc q’ : vitesse angulaire (en rad/s) q’ est noté : w ou W (machines élec) Accélération angulaire: d²q/dt²=q’’=W’ Accélération tangentielle: 0 (si mvt uniforme) Accélération normale: -vT²/R (si mvt uniforme)

N . m Principe fondamental de la dynamique appliqué au solide mouvement de rotation F a Larc R 𝑀 𝑀 = 𝑅 ∧ 𝐹 Produit vectoriel Moment de F par rapport à l’axe : M = R.F.sin  avec  angle entre Force et Rayon, dans une machine on a  = 90°. Couple de forces lorsque 2 forces complémentaires s’exercent de part et d’autre du solide, on parle de couple de forces dont le moment C résulte de celui exercé par les 2 forces. Si d= 2.R alors C = F . d N . m

𝑐𝑜𝑢𝑝𝑙𝑒𝑠 = 𝐶 𝑚𝑜𝑡𝑒𝑢𝑟 − 𝐶 𝑟é𝑠𝑖𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑠 Principe fondamental de la dynamique appliqué au solide mouvement de rotation loi fondamentale du solide en rotation Moment d’inertie N.m kg.m² Couples résistants, freinage, Frottements…. Couples moteurs, utiles… Rad.s-1 𝑐𝑜𝑢𝑝𝑙𝑒𝑠 = 𝐶 𝑚𝑜𝑡𝑒𝑢𝑟 − 𝐶 𝑟é𝑠𝑖𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑠

Principe fondamental de la dynamique appliqué au solide mouvement de rotation Moment d’inertie par rapport à un axe Le mouvement d’inertie d’un solide rend compte de l’accélération angulaire qui résulte de l’application d’un couple; Il dépend de la forme et de la distribution de la masse du solide ainsi que de son axe de rotation. Le moment d’inertie lors d’une rotation joue un rôle analogue à la masse lors d’une translation. Moment d’inertie d’un point matériel en rotation autour d’un axe D ID=m.r² Moment d’inertie d’un solide rigide ID= 𝑟 2 .𝑑𝑚

Principe fondamental de la dynamique appliqué au solide mouvement de rotation Moment d’inertie par rapport à un axe Quelques exemples:

Principe fondamental de la dynamique appliqué au solide mouvement de rotation Exemple de calcul de J d’un cylindre autour d’un axe D. r est la masse volumique du solide La masse élémentaire dm est la masse d’un cylindre creux d’épaisseur dm. dm=r.dv dv: volume élémentaire 𝐽 ∆ = 0 𝑉 𝑟 2 .𝑑𝑣 M: masse totale M=r.R²*L*p

dv=L.ds ds: surface anneau jaune ds=largeur * longueur ds=dr.2.p.r Exemple de calcul de J d’un cylindre autour d’un axe D. Suite 𝐽 ∆ = 0 𝑅 𝑟 2 .𝜌.𝐿.2.𝜋.𝑟.𝑑𝑟 𝐽 ∆ =𝜌.𝐿.2.𝜋 0 𝑅 𝑟 3 . 𝑑𝑟 𝐽 ∆ =𝑀. 𝑅 2 2 𝐽 ∆ =𝜌.𝐿.2.𝜋. 𝑅 4 4 =𝜌.𝐿.𝜋. 𝑅 4 2

Changement d'axe de rotation [Théorème de Huygens] Enoncé du théorème Soit un solide indéformable S de masse m, de centre de masse G. Soit (Δ) = (Q,δ) une droite de ce solide S et soit d la distance du point G à cet axe. Le moment d'inertie du solide S par rapport à un axe de rotation (Δ) est égal à la somme du moment d'inertie de ce solide par rapport à l'axe de rotation parallèle passant par le centre de masse G et du moment d'inertie du point G affecté de la masse totale m par rapport à (Δ).

Principe fondamental de la dynamique appliqué au solide mouvement de rotation loi fondamentale du solide en rotation : utilisation en dut J Pendant la décélération par exemple: W J DW DW x = Dt Dt Couple moteur=0 En décélération

Principe fondamental de la dynamique appliqué au solide mouvement de rotation Types de couples Couple moteur ( souvent Cm ou Tm ) Nous verrons au fur et à mesure des chapitres que les couples des moteurs peuvent avoir diverses allures. La caractéristique couple vitesse de la MCC est la plus simple puisqu’elle est linéaire. Pour une MCC : Cm = k . I avec I : courant dans l’induit.

Principe fondamental de la dynamique appliqué au solide mouvement de rotation Types de couples Couple résistant ( souvent Cr ou Tr ) Différents types:

Cr Cr = Cte Principe fondamental de la dynamique appliqué au solide mouvement de rotation Types de couples Exemple: Couple résistant : frottement sec W Cr Cr Frottement sec Cr = Cte Frottement sec 

Cr = f. W Principe fondamental de la dynamique appliqué au solide mouvement de rotation Types de couples Exemple: Couple résistant : frottement fluide Cr Cr = f. W

Cr = fp.² Principe fondamental de la dynamique appliqué au solide mouvement de rotation Types de couples Exemple: Couple résistant : frottement parabolique Cr = fp.²

Cr = fh /  Principe fondamental de la dynamique appliqué au solide mouvement de rotation Types de couples Exemple: Couple résistant : frottement hyperbolique Cr = fh / 

Principe fondamental de la dynamique appliqué au solide mouvement de rotation Exemple de la machine Leroy Somer du labo électrotechnique On mesure la puissance à vide absorbée par la machine pour plusieurs points de fonctionnement

Principe fondamental de la dynamique appliqué au solide mouvement de rotation Exemple de la machine Leroy Somer du labo électrotechnique D’où la caractéristique: Type de couple? Frottement sec + frottement fluide limité En moyenne 0,8 N.m

J DW Dt Principe fondamental de la dynamique appliqué au solide Application au freinage: détermination expérimentale de J mouvement de rotation Exemple de la machine Leroy Somer du labo électrotechnique On relève la vitesse du groupe lors d’une décélération sans charge supplémentaire W DW/Dt= -10,17 rad.s-2 J DW x = - Cr Dt DW = -120 rad.s-1 Jx10,17=0,8 J=0,079 kg.m² Dt = 11,8 s

Principe fondamental de la dynamique appliqué au solide Application au freinage: détermination expérimentale de J mouvement de rotation Exemple de la machine Leroy Somer du labo électrotechnique Si on ne néglige pas le frottement fluide: 𝐽. 𝑑Ω 𝑑𝑡 =−0,632−0,00271.Ω 𝐽. 𝑑Ω 𝑑𝑡 +0,00271.Ω=−0,632 𝐽 0,00271 . 𝑑Ω 𝑑𝑡 +Ω=−233

Principe fondamental de la dynamique appliqué au solide point de fonctionnement Le point de fonctionnement (régime permanent, vitesse constante) d’un moteur est l’intersection entre les courbes de Cr et Cm. Exemple : Cm Cr Point de fonctionnement 

J Aspect énergétique B Si la force n’est pas constante: travail d’une force sur un solide le long d’une trajectoire B Si la force n’est pas constante: 𝑊 𝐴𝐵 = 𝐴 𝐵 𝐹 . 𝑑𝑙 A si la force est constante : WAB = F. AB . cos  avec  angle entre F et le segment AB J WAB s’écrit en notation vectorielle sous forme d’un produit scalaire 𝑊 𝐴𝐵 = 𝐹 ∙ 𝐴𝐵

exemple : cas d’un solide en translation, chute libre… Aspect énergétique travail d’une force sur un solide le long d’une trajectoire exemple : cas d’un solide en translation, chute libre…   Soit un solide chutant entre A et B, distants de AB . Calculer le travail effectué. WAB = m.g.AB Application numérique : m = 10 kg AB= 2m g = 9,81 WAB =196,2 J

W Aspect énergétique On a déjà défini : P = dW/dt travail d’une force sur un solide le long d’une trajectoire W puissance On a déjà défini : P = dW/dt ce qui s’écrit encore avec F = cte : P = F.v.cos() avec v = d(AB)/dt . Dans l’exemple précédent P = m.g.v avec v = gt, si la vitesse initiale est nulle. P= 𝐹 ∙ 𝑣 Application numérique : avec les données précédentes, la puissance développée au bout de AB vaut:  s w

Distance parcourue : trajectoire puisque force tangente : R x  Aspect énergétique travail d’un couple force sur un solide en rotation autour d’un axe On ne s’intéresse qu’à la projection orthogonale (par rapport à la trajectoire circulaire) de la force appliquée Distance parcourue : trajectoire puisque force tangente : R x  Travail W1 = F.R. pour les 2 forces : F.d. : W = C .  . Puissance: P = dW/dt = C .  .

Ec = ½ .m.v² Aspect énergétique énergie cinétique   on appelle énergie cinétique, la quantité, fonction de la vitesse : Ec = ½ .m.v² où v est la vitesse du solide (en m/s)  Ec = 1 2 𝐽 Ω² pour un solide en rotation Remarque : en effet, m.dv/dt est homogène à une force. Le travail élémentaire dWde celle-ci s’écrit : m.dv/dt.v.dt où v.dt est la distance parcourue par cette pseudo force en simplifiant : dW = m v.dv, en intégrant : W = ½ m v²

Ep = m.g.h Aspect énergétique on appelle énergie potentielle la quantité d’énergie que produirait le déplacement d’une masse m sur une hauteur h : Ep = m.g.h

E = Ec+Ep Aspect énergétique Energie mécanique totale : conservation de l’énergie   Energie mécanique totale : E = Ec+Ep E reste constante en l’absence de pertes (frottements)

Energie WA = WU + WP Unité = J Puissance PA = PU + PP Unité = W Aspect énergétique Energie WA = WU + WP Unité = J Puissance PA = PU + PP Unité = W Rendement  = PU / PA Sans unité

transmission Transmission de puissance par engrenages 2 1

transmission Transmission de puissance par courroie 𝑟= Ω 2 Ω 1 = 𝑑 1 𝑑 2 2 1 : entrainante Transmission de puissance par vis sans fin