Chapitre 11 Choix optimal de portefeuille et modèle d’évaluation des actifs financiers

Introduction Parmi tous les portefeuilles possibles, lesquels sont efficients ? Modèle d’évaluation des actifs financiers (MEDAF) - Capital Asset Pricing Model (CAPM) Tobin (1958), Jack Treynor (1962), William Sharpe (1964), John Lintner (1965), Jan Mossin (1966)

Introduction La théorie du choix de portefeuille dépasse le simple cadre de la finance de marché. Les dirigeants d’entreprise sont également des investisseurs : ils ont la charge de sélectionner des projets d’investissement pour le compte des actionnaires. Pour estimer le coût du capital d’un projet, il faut pouvoir identifier le portefeuille efficient.

Plan du chapitre 11 11.1. L’espérance de rentabilité d’un portefeuille 11.2. La volatilité d’un portefeuille composé de 2 actions 11.3. La volatilité d’un portefeuille composé de N actions 11.4. Arbitrage rentabilité-risque : le choix d’un portefeuille efficient 11.5. Prise en compte de l’actif sans risque 11.6. Portefeuille super-efficient et coût du capital 11.7. Le modèle d’évaluation des actifs financiers. 11.8. Déterminer la prime de risque

11.1. L’espérance de rentabilité d’un portefeuille

Exemple 11.1. La rentabilité d’un portefeuille 100 actions Michelin au prix unitaire de 60 €. 200 actions Carrefour au prix unitaire de 45 €. Portefeuille d’une valeur totale de 15 000 € : Un mois plus tard, le prix de l’action Michelin est de 66 € et celui de Carrefour de 42,75 €. Quelle est la valeur finale du portefeuille ? Quelle est sa rentabilité ? Quelles sont les nouvelles pondérations ?

Exemple 11.2. La rentabilité espérée d’un portefeuille 10 000 € d’actions EADS 30 000 € d’actions Total Les rentabilités annuelles espérées d’EADS et de Total sont respectivement de 10 % et 16 %. Quelle est l’espérance de rentabilité du portefeuille ?

11.2. La volatilité d’un portefeuille composé de deux actions Plan Combiner les risques Calcul de la covariance et de la corrélation Exemple 11.3 Exemple 11.4 Exemple 11.5 Calcul de la variance et de l’écart type d’un portefeuille Exemple 11.6

Calcul de la covariance et de la corrélation

Calcul de la covariance et de la corrélation

Exemple 11.3. Covariance et corrélation d’une action avec elle-même Quelles sont la covariance et la corrélation de la rentabilité d’une action avec elle-même ?

Exemple 11.4. Covariance et corrélation À partir du tableau 11.1, calculez la covariance et la corrélation des actions : Air Med et Europe Air Europe Air et Pétrole Plus

Calcul de la covariance et de la corrélation

Exemple 11.5. Calcul de la covariance à partir de la corrélation À partir du tableau 11.3, quelle est la covariance entre STMicroelectronics et Alcatel-Lucent ?

Calcul de la variance et de l’écart type d’un portefeuille

Exemple 11.6. Volatilité d’un portefeuille composé de deux actions Quelle est la volatilité d’un portefeuille équipondéré composé d’actions : Total et Technip ? Technip et Danone ?

11.3. La volatilité d’un portefeuille composé de N actions

11.3. La volatilité d’un portefeuille composé de N actions Diversification d’un portefeuille équipondéré composé de N actions Exemple 11.7 Exemple 11.8 Diversification d’un portefeuille quelconque

Diversification d’un portefeuille équipondéré composé de N actions La volatilité historique des rentabilités d’une action d’une entreprise de grande capitalisation est d’environ 40 % (ch. 10) et la corrélation moyenne entre les rentabilités de ces actions est de l’ordre de 30 %.

Exemple 11.7. Diversification à l’aide de types différents d’actions Quelle est la volatilité d’un portefeuille composé d’un très grand nombre d’actions d’un même secteur d’activité, si ces dernières ont une volatilité de 40 % et une corrélation de 60 % ? Quelle est la volatilité d’un portefeuille composé d’un très grand nombre d’actions de pays différents si ces dernières ont une volatilité de 40 % et une corrélation de 10 % ?

Exemple 11.8. Volatilité d’un portefeuille composé de titres de risques indépendants Quelle est la volatilité d’un portefeuille équipondéré de N titres dont les risques sont identiques et indépendants ?

Diversification d’un portefeuille quelconque

11.4. Arbitrage rentabilité-risque : le choix d’un portefeuille efficient Plan Les portefeuilles efficients composés de deux actions Exemple 11.9 L’incidence de la corrélation La prise en compte des ventes à découvert Exemple 11.10 Les portefeuilles efficients composés de N actions

Les portefeuilles efficients composés de deux actions On suppose que la corrélation est nulle Quel portefeuille détenir ?

Les portefeuilles efficients composés de deux actions Quel portefeuille détenir ? Portefeuille composé à 40 % d’Alcatel-Lucent et à 60 % de Danone :

Les portefeuilles efficients composés de deux actions

Les portefeuilles efficients composés de deux actions Un portefeuille est inefficient lorsqu’il est possible de trouver un autre portefeuille dont la rentabilité espérée est plus élevée et la volatilité est inférieure ou égale. Un investisseur cherchant à maximiser la rentabilité espérée de son portefeuille tout en minimisant son risque doit détenir un portefeuille efficient.

Exemple 11.9. Améliorer la rentabilité espérée d’un portefeuille Portefeuille investi à 100 % en actions Danone. Comment maximiser la rentabilité espérée de ce portefeuille sans pour autant augmenter sa volatilité ?

Exemple 11.10. Rentabilité d’un portefeuille avec vente à découvert Jean dispose de 20 000 € à placer pendant un an. Il décide de vendre à découvert pour 10 000 € d’actions Danone afin d’acheter pour 30 000 € d’actions Alcatel-Lucent. Quelles sont la rentabilité espérée et la volatilité de son portefeuille ?

Les portefeuilles efficients composés de N actions Quel est l’effet de l’ajout d’une troisième action au portefeuille composé d’actions Alcatel-Lucent et Danone ? On suppose que l’action Accor n’est corrélée avec aucune des deux autres actions et que sa rentabilité espérée n’est que de 2 % avec une volatilité identique à celle de Danone (25 %).

Évolution des indices boursiers Aspi et Dow Jones Euro Stoxx sur la période 2006-2011

11.5. Prise en compte de l’actif sans risque Plan L’actif sans risque L’achat d’actions avec effet de levier Exemple 11.11 Identification du portefeuille super-efficient Exemple 11.12

L’actif sans risque

Exemple 11.11. Achat à effet de levier On dispose de 10 000 € + Possibilité d’emprunter 10 000 € au taux de 5 %. Portefeuille Q, dont la rentabilité espérée est de 10 % et la volatilité de 20 %. Quelles est l’espérance de rentabilité et la volatilité du portefeuille ? Quelle est la rentabilité effective du portefeuille si Q augmente de 30 % ? Si Q diminue de 10 % ?

Identification du portefeuille tangent (ou super-efficient) Ratio de Sharpe = Le portefeuille super-efficient que doit choisir un investisseur parmi tous les portefeuilles risqués, par conséquent, ne dépend pas de son aversion pour le risque : indépendamment de celle-ci, tout investisseur devrait détenir le portefeuille super-efficient.

Exemple 11.12. Choix de portefeuille super-efficient 100 000 € investis dans le portefeuille P. Ce portefeuille a une rentabilité espérée de 10,5 % et une volatilité de 8 %. Le taux sans risque est de 5 %, le portefeuille super-efficient a une espérance de rentabilité de 18,5 % et une volatilité de 13 %. Quel portefeuille détenir pour maximiser la rentabilité espérée du portefeuille sans augmenter sa volatilité ?

11.6. Portefeuille super-efficient et coût du capital Améliorer la performance d’un portefeuille : le bêta et la rentabilité exigée Exemple 11.13 Rentabilités espérées et portefeuille super-efficient Exemple 11.14

Améliorer la performance d’un portefeuille le bêta et la rentabilité exigée

Exemple 11.13. Rentabilité exigée d’un nouveau projet d’investissement Oméga : rentabilité espérée de 15 % et volatilité de 20 % Bons du Trésor (sans risque) rémunérés à 3 % SCPI (société civile de placement immobilier) : rentabilité espérée de 9 % et volatilité de 35 %. Corrélation avec Oméga de 10 % Doit-on ajouter les parts de SCPI au fonds Oméga ?

Rentabilités espérées et portefeuille super-efficient Un portefeuille est optimal (ou efficient) si et seulement si la rentabilité espérée de tout titre qui entre dans sa composition est égale à sa rentabilité exigée.

Exemple 11.14. Identification du portefeuille super-efficient 100 millions d’euros investis dans le fonds Oméga Combien investir dans la SCPI ?

11.7. Le modèle d’évaluation des actifs financiers Plan Hypothèses L’équilibre entre offre et demande de titres Exemple 11.15. Poids de portefeuille et portefeuille de marché Composition d’un portefeuille optimal : la droite de marché

11.7. Le modèle d’évaluation des actifs financiers Pour calculer la VAN d’un projet, il est nécessaire de connaître le taux d’actualisation, c’est-à-dire le coût du capital. La rentabilité espérée d’un actif négociable découle de son bêta relativement au portefeuille super-efficient. Le MEDAF permet de déterminer le portefeuille super-efficient très simplement. Compte tenu de l’équilibre de la demande et de l’offre de titres, le portefeuille de marché est le portefeuille super-efficient.

Hypothèses Les investisseurs peuvent acheter ou vendre n’importe quel actif financier à son prix de marché (sans supporter ni coûts de transaction ni impôts) et prêter ou emprunter au taux d’intérêt sans risque. Tous les investisseurs détiennent un portefeuille efficient, c’est-à-dire un portefeuille offrant la rentabilité espérée la plus élevée pour une volatilité donnée. Le portefeuille super-efficient est unique Les investisseurs forment des anticipations homogènes sur les rentabilités espérées, les volatilités et les corrélations de tous les actifs financiers.

Offre, demande et efficience du portefeuille de marché Si les investisseurs forment des anticipations homogènes, les investisseurs identifient tous le même portefeuille super-efficient. Tous les titres risqués sont détenus par tous les investisseurs dans les mêmes proportions (au sein de leur portefeuille risqué). En revanche, ils pondèrent différemment le portefeuille super-efficient et l’actif sans risque en fonction de leur aversion au risque. Ceci permet-il de déterminer la composition du portefeuille super-efficient ?

Exemple 11.15. Poids de portefeuille et portefeuille de marché Camille a identifié le portefeuille efficient et décide d’investir dans celui-ci. Elle détient 10 000 € en titres Cap Gemini et 5 000 € en titres Sanofi-Aventis. Paul, plus prudent, ne détient que pour 2 000 € d’actions Sanofi-Aventis. En supposant que son portefeuille est aussi efficient, combien a-t-il investi dans Cap Gemini ? Si tous les investisseurs détiennent le portefeuille efficient, que peut-on dire de la capitalisation boursière de Cap Gemini comparée à celle de Sanofi-Aventis ?

Composition d’un portefeuille optimal : la droite de marché Les portefeuilles détenus par les investisseurs se situent sur la droite de marché ou CML (Capital Market Line). Un portefeuille appartenant à la CML est par définition composé d’une fraction du portefeuille de marché et d’actif sans risque.

11.8. Déterminer la prime de risque Plan Risque de marché et bêta Exemple 11.16. Calcul de la rentabilité espérée d’une action Exemple 11.17. Rentabilité espérée d’un titre à bêta négatif La droite du MEDAF, ou Security Market Line (SML) Le bêta d’un portefeuille Exemple 11.18. Rentabilité espérée d’un portefeuille Que retenir du MEDAF ?

Risque de marché et bêta Portefeuille de marché et portefeuille super-efficient étant confondus, l’équation (11.21) peut se réécrire de la manière suivante :

Exemple 11.16. Calcul de la rentabilité espérée d’une action Le taux sans risque est de 4 %. Le portefeuille de marché a une rentabilité espérée de 10 % et une volatilité de 16 %. MDL a une volatilité de 16 % et une corrélation avec le portefeuille de marché de 33 %. Quel est le bêta de MDL ? Quel est le portefeuille sur la CML qui comprend un risque de marché identique et quelle est sa rentabilité espérée ?

Exemple 11.17. Rentabilité espérée d’un titre à bêta négatif Le bêta de l’action ALR est de –0,3. Le taux d’intérêt sans risque est de 4 % et l’espérance de rentabilité du portefeuille de marché est de 10 %. Quelle est la rentabilité espérée d’après le MEDAF ?

La droite du MEDAF (SML) Il existe une relation linéaire entre le bêta d’un titre et l’espérance de rentabilité. Cette droite du MEDAF (Security Market Line) passe par l’actif sans risque et le portefeuille de marché. Tous les titres sont situés sur la SML, alors qu’aucune des actions n’est située sur la CML

Le bêta d’un portefeuille Le bêta d’un portefeuille, dont les rentabilités sont , est donné par : Le bêta d’un portefeuille est égal à la moyenne pondérée des bêtas des actifs qui le composent.

Exemple 11.18. Rentabilité espérée d’un portefeuille Les bêtas de Danone (BN.PA) et d’Ubisoft (UBI.PA) sont respectivement de 0,5 et 1,8. Le taux sans risque est de 4 %. La rentabilité espérée du portefeuille de marché est de 10 %. Selon le MEDAF, quelle est l’espérance de rentabilité d’un portefeuille équipondéré de ces deux titres ?

Que retenir du MEDAF ? Le portefeuille de marché est le seul portefeuille risqué efficient. Par conséquent, la rentabilité espérée la plus élevée pour un niveau de volatilité donné est obtenue en combinant le portefeuille de marché et l’actif sans risque (emprunt ou prêt). La prime de risque de tout actif est proportionnelle à son bêta relativement au marché. Il existe donc une relation linéaire entre la rentabilité exigée sur un actif et son risque (systématique) appelée SML (équations 11.22 et 11.23).

La frontière efficiente avec des taux, prêteur et emprunteur, différents N’importe quelle combinaison de portefeuilles appartenant à la frontière efficiente des actifs risqués se situe également sur cette frontière. La droite de marché (SML) est construite à partir d’un taux d’intérêt r*, compris entre rP et rE, et non du taux rf. Ce taux dépend de la proportion relative de prêteurs et d’emprunteurs dans l’économie.