Faculté des arts et des sciences Mathématiques et statistique Partie 2 Principes de tarification de base

Faculté des arts et des sciences Mathématiques et statistique Ajustement des primes Prime acquise Tel que mentionné précédemment, la prime acquise représente le montant de prime en relation avec la proportion de couverture d'assurance procurée aux assurés. Pour une certaine période de temps, la prime acquise est égale à : Prime acquise = (% de couverture écoulé) * Prime écrite Pour une seule police, ce montant représente donc la prime que l'assureur peut retenir si une police cancelle (excluant pénalités). Il sera important de noter que la prime acquise varie proportionnellement avec la quantité de couverture procuré et devrait théoriquement aussi varier proportionnellement avec l'espérance de sinistres. Par exemple, un risque ayant une espérance de sinistres plus élevée devrait théoriquement avoir une prime plus élevée (vice versa). Pour ces raisons, la prime acquise est une des bases d'exposition les plus utilisés à travers l'industrie pour la majorité des lignes d'affaires.

Faculté des arts et des sciences Mathématiques et statistique Prime acquise Exemple 1 : Calculer les primes acquises pour les années civiles

Faculté des arts et des sciences Mathématiques et statistique Prime acquise Exemple (suite) : Prenons la police A qui été écrite le 1er Octobre 2011 pour un terme d'un ans avec une prime total écrite de 200$. On se rappel que la prime acquise représente la prime reliée au % de couverture écoulé. Pour l'année civile 2010, 3 mois de couverture se sont écoulés, la prime acquise pour cette année est donc de 3/12 * 200 = 50$ Pour l'année civile 2011, il reste 9 mois de couverture à la police, la prime acquise est donc de 9/12 * 200 = 150$ Pour un total de 200$ de prime acquise vu fin 2011 (i.e. La prime au complet a été acquise...) Le même exercice peut être effectué pour les 5 autres polices...

Faculté des arts et des sciences Mathématiques et statistique Prime non-acquise Si, à la place, on avait voulu calculer la prime non-acquise à un certain moment dans le temps, on aurait utilisé la formule ci-dessous : Prime écrite = Prime Acquise + Prime Non-Acquise où la prime acquise est cumulative. En utilisant des données regrouper en années civiles (Calendar Year), la formule ci-dessus devient : CY Prime Non-Acquise = CY Prime écrite - CY Prime Acquise + Prime Non- Acquise au début de l'année civile CY= Calendar Year Pour les données de l'exemple 1,on aurait donc obtenue pour 2010 : = 150$ et pour 2011 = = 0$

Faculté des arts et des sciences Mathématiques et statistique Unités acquises Les mêmes logiques applicables aux primes acquises sont aussi applicables aux unités acquises. Pour les diverses formules appris, on doit tout simplement remplacer les termes de primes par des termes d'unités. Par exemple : Unités acquises = (% de couverture écoulé) * Unités Écrites Unités écrites = Unités acquises (cumulative) + Unités non-acquises CY Unités Non-Acquise = CY Unités écrite - CY Unités Acquise + Unités Non- Acquise au début de l'année civile Par exemple pour l'exemple 1 (police A), en supposant que chaque police écrit un seul risque (i.e. Un véhicule), on obtient : Année civile 2010 : 3/12 * 1 = 0.25 unité acquise Année civile 2011 : 9/12 * 1 = 0.75 unité acquise Total : 1 unité acquise à la fin 2011.

Faculté des arts et des sciences Mathématiques et statistique Mise à Niveau La mise à niveau de la prime a été vu brièvement dans la partie sur les réserves, mais ce traitement prend beaucoup plus dimportance en tarification. Vu que l'actuaire en tarification a comme objectif daméliorer la tarification des produits d'assurances, il devra donc toujours partir des taux les plus à jour et évaluer leur niveau de rentabilité à partir de l'expérience passée. Deux méthodes de mise à niveau sont principalement utilisés en tarification : - « Extension of Exposures » - Méthode du parallélogramme

Faculté des arts et des sciences Mathématiques et statistique Extension of Exposures La méthode « Extension of Exposures » consiste à re-tarifer un portefeuille en entier, risque par risque, à un niveau de taux en particulier. Comme les compagnies d'assurances peuvent avoir plusieurs milliers de polices, cette méthode doit être fait de façon automatique à l'aide de programmes informatiques. Plus l'algorithme de tarification est complexe, plus utiliser cette méthode risque d'être complexe. Cependant, elle a comme avantage de produire une mise à niveau des taux exact (ou très proche). Vu la complexité de cette méthode, elle sera généralement utilisée pour les plus grosses lignes d'affaires où l'actuaire peut se permettre de sacrifier beaucoup de temps afin d'avoir un estimé plus précis. Pour les plus petites lignes d'affaires, une méthode plus simple, comme la méthode du parallélogramme, est généralement utilisée.

Faculté des arts et des sciences Mathématiques et statistique Méthode du Parallélogramme La méthode du parallélogramme produit un estimé moins précis que celui produit par un « Extension of Exposure », mais est beaucoup plus simple d'utilisation. Elle sera donc principalement utilisé pour soit des plus petites lignes d'affaires/produits ou pour valider un résultat produit par un « Extension of Exposure ». Hypothèse principale L'hypothèse principale derrière cette méthode est que les polices sont écrites uniformément à travers la période en question. Selon la véracité de cette hypothèse, cette méthode peut produire des estimés plus ou moins précis. En résumé, cette méthode consiste à effectuer une mise à niveau des primes passées selon un facteur moyen basé sur les changements de taux moyens historiques.

Faculté des arts et des sciences Mathématiques et statistique Méthode du Parallélogramme Étapes 1) Déterminer les dates effectives des changements de taux passés et regrouper les polices en groupes ayant chacun un niveau de taux différent 2) Calculer la portion de la prime acquise de chaque année associée à chaque groupe de niveau de taux 3) Calculer le niveau de taux cumulatif pour chacun des groupes de niveau de taux 4) Calculer la moyenne pondérée du niveau de taux cumulatif de chaque année 5) Calculer le facteur de mise à niveau pour chaque année en divisant le niveau de taux cumulatif courant par le niveau de taux moyen de l'année en question 6) Appliquer le facteur de mise à niveau sur la prime acquise de l'année correspondante

Faculté des arts et des sciences Mathématiques et statistique Méthode du Parallélogramme Exemple 1 : Calculer le facteur de mise à niveau pour l'année civile 2011 à partir de l'information ci-dessous (polices ont un terme de 1 ans) :

Faculté des arts et des sciences Mathématiques et statistique Inflation affectant les primes (Premium Trend) Comme la tarification est prospective de nature et qu'on désire estimer le niveau de taux qu'on devrait charger pour une certaine période future, il faudra prendre en considération tous facteurs pouvant créer une variation du niveau moyen de la prime entre notre expérience historique et la période où nos taux entreront en vigueur. Les changements taux historiques sont un de ces facteurs, un autre facteur important à considérer serait l'inflation affectant les primes. Par exemple : - En assurance auto : la tendance des assurés à posséder des véhicules d'une valeur de plus en plus élevée - En assurance habitation : l'inflation affectant les prix des maisons - En indemnité pour accidents reliés au travail : l'inflation des salaires Ces différents types d'inflation auront comme effet de faire augmenter/diminuer la prime moyenne chargé d'année en année.

Faculté des arts et des sciences Mathématiques et statistique Inflation affectant les primes (Premium Trend) « One Step Trending » Une façon de prendre compte de l'inflation affectant les primes est de simplement appliquer l'inflation sur l'expérience passée en une seule étape. Pour chaque année de notre expérience, il faudra donc appliquer l'inflation de la date moyenne d'écriture de polices à la date moyenne d'écriture des polices de la période où nos nouveaux taux entreront en vigueur. En d'autres mots, le facteur d'inflation sera égale à : a= facteur d'inflation n= nombre d'années entre les deux dates moyennes d'écriture de police Facteur d'inflation = (1+a)^n

Faculté des arts et des sciences Mathématiques et statistique Inflation affectant les primes (Premium Trend) Exemple 2 : Avec un facteur d'inflation de 2%, calculer le facteur d'inflation pour la prime acquise de l'année civile 2011, si les nouveaux taux seront en vigueur du 1er Janvier 2013 au 31 Décembre (supposer des polices 1 ans seulement)

Faculté des arts et des sciences Mathématiques et statistique Inflation affectant les primes (Premium Trend) Exemple 2 : Suite... Date moyenne d'écriture des polices de 2011 : Les polices contribuant à la prime acquise de 2011 sont écrites du 1er Janvier 2010 au 31 Décembre En supposant que les polices sont écrites uniformément à travers les années, la date moyenne d'écriture est donc le milieu de cette période, le 1er Janvier Date moyenne d'écriture des polices de la période future où les taux entreront en vigueur: Les polices qui seront écrites au nouveau taux seront écrites entre le 1er Janvier 2013 et le 31 Décembre La date moyenne d'écriture est donc le milieu de cette période, le 30 Juin Juin 2013 – 1er Janvier 2011 = 2.5 ans Facteur d'inflation = 1.02^2.5 = 1.051

Faculté des arts et des sciences Mathématiques et statistique Inflation affectant les primes (Premium Trend) « Two Step Trending » Une autre façon de considérer l'inflation serait de séparer l'ajustement pour l'inflation en deux : 1er ajustement : Ajuster les périodes passées au niveau de prime moyen de la dernière période 2e ajustement : Appliquer l'inflation futur de la date moyenne d'écriture de la dernière période de l'expérience passée à la date moyenne d'écriture de la période future de tarification. Ceci peut être très pratique si l'actuaire prévoit que l'inflation futur affectant les primes risque de se comporter différemment de l'inflation passée. Le facteur d'inflation final sera le produit des deux ajustements ci-dessus.

Faculté des arts et des sciences Mathématiques et statistique Inflation affectant les primes (Premium Trend) « Two Step Trending » 1er ajustement : Afin de calculer l'ajustement nécessaire de chaque période, on va tout simplement calculer un facteur d'ajustement égal à : Prime écrite moyenne de la dernière période aux taux les plus récents / Prime acquise moyenne de la période passée aux taux les plus récents Note La raison pourquoi les primes moyennes sont mises à niveau est de s'assurer de ne pas compter en double l'impact des changements de taux passés, vu qu'ils sont déjà prient en compte dans nos facteurs de mise à niveaux calculés précédemment

Faculté des arts et des sciences Mathématiques et statistique Inflation affectant les primes (Premium Trend) « Two Step Trending » 2e ajustement : Le 2e ajustement se calculera de façon similaire à ceux du « One Step Trending » Cependant il faudra faire attention à quelques points : - Pour chacune des périodes passées, l'inflation sera appliqué de la date moyenne d'écriture de la dernière période de l'expérience passée. - Comme le 1er ajustement vient mettre la prime acquise de la dernière période au niveau de la prime écrite, la date moyenne d'écriture de la dernière période sera égale au milieu de la période. (contrairement au One Step Trending)

Faculté des arts et des sciences Mathématiques et statistique Inflation affectant les primes (Premium Trend) Exemple 3 : En utilisant l'information de l'exemple 2, calculer le facteur d'inflation pour l'année civile 2011 en utilisant un « Two Step Trend » Prime acquise moyenne pour l'année civile 2011 : 740$ Prime écrite moyenne pour le 4e trimestre de l'année civile 2011 : 753$ Les deux primes ci-dessus sont aux taux les plus récents.

Faculté des arts et des sciences Mathématiques et statistique Exercices Voici quelques exercices des examens antérieurs de la CAS pertinents à la matière de cette section : Exam 5 - Spring 2012 : #2, #3, #4, #6 Exam 5 - Spring 2011 : #2, #3, #5, #8, #9a) Exam 5 - Spring 2010 : #12, #17, #18, #19, #20 Exam 5 - Spring 2009 : #18, #19, #20, #22, #30a) Exam 5 – Spring 2008 : #12, #13, #14, #15, #17, #26a) Note Les exercices sont disponibles sur la site de la CAS à l'adresse suivante :