Faculté des arts et des sciences Mathématiques et statistique Partie 1 Évaluations des réserves

Faculté des arts et des sciences Mathématiques et statistique Méthode Bornhuetter et Ferguson (BF Technique) L'hypothèse principale de la méthode Bornhuetter et Ferguson est que les sinistres non-déclarés (ou non payés) vont se développer selon les sinistres espérés. En d'autres mots, les sinistres déclarés jusqu'à ce jour ne sont pas prédictif du montant des sinistres n'étant pas encore déclarés ce qui est contraire à la méthode de développement classique. Contrairement à la méthode des sinistres espérés, la déclaration des sinistres (ou la distribution des paiements) utilisé à travers la méthode BF sont identiques à ceux utilisés dans la méthode de développement classique. Lapplication de ces facteurs de développement sera cependant différente.

Faculté des arts et des sciences Mathématiques et statistique Méthode Bornhuetter et Ferguson (BF Technique) La méthode Bornhuetter et Ferguson est un mix entre la méthode de développement classique et la méthode des Sinistres Espérés. Voici les relations entre sinistres ultimes et sinistres déclarés assumées pour la méthode BF : Basé sur les Sinistres Déclarés Sinistre Ultimes = Sinistres Déclarés + Sinistres Non-Déclarés Espérés Sinistre Ultimes = Sinistres Déclarés + Sinistres Espérés * (% Non-Déclarés) Basé sur les Sinistres Payés Sinistre Ultimes = Sinistres Payés + Sinistres Non-Payés Espérés Sinistre Ultimes = Sinistres Payés + Sinistres Espérés * (% Non-Payés) Note On se rappelle que le % Déclaré (ou % Payé) = 1 / CDF Alors % Non-Déclarés (ou Non-Payés) = (CDF-1) / CDF = 1 – 1/CDF

Faculté des arts et des sciences Mathématiques et statistique Méthode Bornhuetter et Ferguson (BF Technique) En analysant plus en détail la formule de la méthode BF, on se rend compte que l'estimé des sinistres ultimes est en fait une moyenne pondérée selon la crédibilité des estimés de la méthode de Développement Classique et celle des Sinistres Espérés. Sinistre Ultimes = Sinistres Déclarés + Sinistres Espérés * (% Non-Déclarés) = Sinistres Déclarés + Sinistres Espérés * (1- 1/CDF) = Sinistres Déclarés * CDF * (1/CDF) + Sinistres Espérés * (1- 1/CDF) = Estimé Dev. Classique * (1/CDF) + Estimé Sin. Espérés * (1- 1/CDF) On remarque donc que plus le facteur de développement à l'ultime (CDF) est petit, plus on donnera du poids/crédibilité à l'estimé déterminé selon la méthode de Développement Classique. Ceci arrive généralement pour des années matures avec plusieurs périodes de développement et donc plus crédible. De la même façon, plus le développement espéré est élevé, plus on donnera de poids à l'estimé déterminé selon la méthode des Sinistres Espérés ce qui est généralement vrai pour des années plus récentes avec moins de périodes de développement.

Faculté des arts et des sciences Mathématiques et statistique Méthode BF Exemple #1 : Selon les données du tableau ci-dessous, vu fin 2007, et celles de la page suivante, estimer les réserves actuarielles à l'aide de la méthode Bornhuetter et Ferguson. Année de Survenance Sinistres Déclarés (,000) Sinistres Espérés (,000) ,97759, ,78661, ,64161, ,85461,865

Faculté des arts et des sciences Mathématiques et statistique Méthode BF Exemple #1 Selon les données de la page précédente et les CDF ci-dessous déterminés à partir d'un triangle de sinistres déclarés, estimer les réserves actuarielles à l'aide de la méthode Bornhuetter et Ferguson. Âge CDF

Faculté des arts et des sciences Mathématiques et statistique Avantages/Désavantages de la Méthode Bornhuetter et Ferguson Avantages Les variations aléatoires aux jeunes âges d'une année daccident ont un impact mineur sur les projections Elle peut être utilisé avec succès lorsque l'information est minime et/ou volatile Elle peut autant être utilisé pour des lignes d'affaires à long développement comme pour celles à très court développement Désavantages Comme la méthode BF dépend aussi d'un estimé des sinistres espérés, elle possède des désavantages similaires à la méthode des Sinistres Espérés quoi que moins significatif : Ne reflète pas rapidement les changements récents d'expérience Détermination du Ratio Sinistres-Primes peut être très arbitraire

Faculté des arts et des sciences Mathématiques et statistique Autre Désavantage de la Méthode Bornhuetter et Ferguson Lorsqu'un actuaire utilise la méthode BF, un problème majeur peut survenir lorsque le développement cumulatif (CDF) est plus petit que Cette situation peut se produire pour des compagnies possédant des réserves aux dossiers conservatrices ou des lignes daffaires où il y a possibilité de recouvrement. On se rappel que la méthode BF peut être considéré comme une moyenne pondérée selon la crédibilité des résultats. La formule pour déterminer les sinistres ultimes peut être écrite sous la forme : Sin Ultimes = Z * Estimé Dev. Classique + (1-Z) * Estimé Sin. Espéré Z doit donc être compris entre 0 et 1 inclusivement ce qui est vrai seulement si : Z 1/CDF CDF => 1 Pour cette raison, lorsquon utilise la méthode BF à travers ce cours, on prendra toujours le maximum entre le CDF calculé et

Faculté des arts et des sciences Mathématiques et statistique Méthode Benktander La méthode Benktander (ou méthode BF itérative) est une dérivée de la méthode BF. Elle ajoute tout simplement une seconde moyenne pondéré selon la crédibilité, mais cette fois-ci entre la méthode BF et la méthode de développement classique. La seule différence entre les deux méthodes est donc l'estimé utilisé pour les « Sinistres Espérés ». Pour la méthode Benktander, les Sinistres Espérés sont égaux aux sinistres ultimes estimés selon la méthode BF.

Faculté des arts et des sciences Mathématiques et statistique Méthode Benktander Sinistres Ultimes - Méthode Benktander Sin. Ultimes = Estimé Dev. Classique * Z + (1-Z) * Estimé BF où Z=1/CDF = Estimé Dev. Classique * Z + (1-Z) * (Estimé Dev. Classique * Z + (1-Z) * Estimé Sin. Espérés) = Estimé Dev. Classique * Z * (1-Z +1) + (1-Z)^2 * Estimé Sin. Espérés = Estimé Dev. Classique *(1-(1-Z)^2) + (1-Z)^2 * Estimé Sin. Espérés Posons X=(1-(1-Z)^2) = Estimé Dev. Classique *(X) + (1-X) * Estimé Sin. Espérés

Faculté des arts et des sciences Mathématiques et statistique Avantages/Désavantages de la Méthode Benktander La méthode Benktander est donc très similaire à la méthode BF sauf qu'elle donne beaucoup plus de crédibilité (poids) à la méthode de développement classique versus la méthode des Sinistres Espérés. Elle sera donc à la fois plus représentative de l'expérience récente que la méthode BF et plus stable que la méthode de développement classique. Malheureusement, elle sera aussi moins adéquate que la méthode BF lorsque la méthode de développement classique n'est pas approprié pour les années récentes. Par exemple, lorsque la façon dont les sinistres sont déclarés ou lorsque la distribution des paiements changent de façon significative à travers le temps.

Faculté des arts et des sciences Mathématiques et statistique Méthode Benktander Exemple #2 En utilisant les mêmes données que l'Exemple 1, calculer un estimé des sinistres ultimes à l'aide de la méthode Benktander.

Faculté des arts et des sciences Mathématiques et statistique Exercices Voici quelques exercices des examens antérieurs de la CAS pertinents à la matière de cette section : Exam 5 - Spring 2012 : #18a) Exam 5 - Spring 2011 : #27a) Exam 6 - Fall 2010 : #12 Exam 6 - Fall 2009 : #10a) Exam 6 - Fall 2008 : #2c), #10c) Exam 6 - Fall 2007 : #46 (Facultatif) Note Les exercices sont disponibles sur la site de la CAS aux adresses suivantes : &