Activités mathématiques et supports d’enseignement Eliane DEGUEN Colloque de l’IREM de Rennes - 4 juin 2005

L’évolution des programmes de collège 1985 - 2005 Les observations qui vont suivre prennent appui sur les différents programmes du collège, mais en fait elles valent aussi largement pour ce qui concerne l’enseignement en lycée durant la même période.

Les principes essentiels ont peu varié Liberté des choix pédagogiques Prise en compte de la diversité des élèves : diversifier et individualiser pour prendre en compte l’hétérogénéité Objectifs généraux : maîtrise des langages, pensée logique, travail personnel Rôle de l’enseignement des mathématiques : formation intellectuelle des élèves Lien avec les autres disciplines, maths du citoyen Place importante de la résolution de problèmes dans la formation des élèves : mettre l’élève en « activité » Place croissante des outils liés aux TICE Les axes prioritaires, les préconisations pédagogiques sont proches, on les retrouve dans les différents programmes de cette période que ce soit au collège ou au lycée. ROLE de l’enseignement des mathématiques : Lien entre l’observation du réel et les représentations, le lien à établir entre ces représentations à une activité et à des notions et concepts mathématiques. L’enseignement par la résolution de PROBLEMES Concernant les TICE, l’introduction des programmes de collège évoquait l’évolution que l’on pouvait attendre du développement de l’informatique : sur les apprentissages, les concepts, l’activité en classe. Dans la même période par contre, le public dans les classes a beaucoup évolué : Le collège est devenu « cylindrique » : suppression des paliers intermédiaires d’orientation Le lycée s’est ouvert : la proportion d’élèves entrant au lycée général et technologique a beaucoup augmenté.

En 2005, une introduction consistante pour expliciter les axes prioritaires Les nouveaux programmes de collège mis en place à partir de la rentrée 2005 en sixième, comportent une introduction consistante pour préciser les différents aspects de l’enseignement.

Résoudre des problèmes pour construire des connaissances nouvelles en élargir le sens et en assurer la maîtrise par l’étude de situations ouvertes où l’élève sollicite en autonomie ses connaissances entraîner à la démarche scientifique Ainsi, le rôle de la résolution de problèmes. Cet axe de réflexion est majeur, on le retrouve dans les nouveaux programmes de l’école primaire (où un document d’accompagnement y est consacré).

Les formes d’expression Participation des mathématiques à l’enrichissement de l’emploi de la langue Place importante à accorder à l’oral Expression écrite sous différentes formes : Écrits de recherche (type brouillon) Écrits pour communiquer et discuter Écrits de référence On insiste sur ce qui a trait à la maîtrise de la langue sous différents aspects : Niveaux de langage : usuel, littéraire, mathématique, symbolique Oral : verbalisation, repérage et traitement des erreurs Les différents types d’écrit : la place du brouillon ou d’écrits de recherche : très limitée, les élèves n’aiment pas en outre laisser la trace de leurs erreurs (en dehors des corrections d’exercices en début d’heure. Ecrit de référence : essentiellement le « Cours » qui est en général structuré et garde la trace des définitions, théorèmes, assortis parfois d’illustrations par des exemples.

Quelques constats sur les pratiques enseignantes Ce qui va suivre est un constat sur ce que l’on voit lors des visites dans les classes : pendant la séance, dans les cahiers d’élèves, ce que l’on entend pendant l’entretien individuel avec l’enseignant ou lors des rencontres avec les équipes

L’activité mathématique en classe Le mot « activité » est pris ici au sens le plus large : ce que fait l’élève en classe. Ce sens sera revu plus loin.

A quel moment de l’apprentissage? Avant : Introduire une nouvelle notion Introduire une technique ou une méthode de résolution Pendant : Résoudre des exercices d’application Après : Résoudre des exercices pour réinvestir De façon très majoritaire : Les deux premiers types de travaux occupent l’essentiel du temps. On introduit une notion, un concept, on dégage une propriété, on les fait fonctionner en développant d’abord la technique (notions géométriques -comme vecteurs, vocabulaire en 6ème, transformations- calcul littéral –factorisation, développement, équations et inéquations) puis la résolution d’exercices d’application de … de difficulté croissante ensuite. En conséquence, peu de résolutions de problèmes observées en classe ou dans les cahiers, peu de questions ou de problèmes ouverts. réinvestissement de connaissances « hors contexte » des classes antérieures ou abordées plus tôt dans l’année très réduit… en dehors des Devoirs de maison. ce qui pose : la question de la pérennité des acquis ? Quand décide-t-on qu’une connaissance est acquise, qu’une compétence est maîtrisée ? …ce qui renvoie à Au problème de l’évaluation.

De quelle manière ? Supports les plus fréquents : manuel, fiche rétroprojecteur parfois, Vidéoprojecteur plus rarement En salle multimédia très rarement Le plus souvent en alternant temps de recherche individuelle et bilans collectifs, synthèse écrite recopiée Peu de différenciation pédagogique Peu de place aux travaux de groupes Pratiques orales très variables Traces écrites : peu de traces de recherche personnelle En classe : Fiches : très fréquemment des fiches extraites de ressources existantes (IREM, sites académiques ou autres -ex mathenligne-…, fiches personnelles des enseignants) fiches d’exercices, fiches à compléter, fiches détaillant les étapes d’une démarche parfois le rétroprojecteur (géométrie pour extraire ou recomposer des figures par superposition de transparents, ou pour faire apparaître le support papier de l’élève) le recours aux TICE se développe de manière très diverse suivant les lieux et les enseignants Les collectivités ont fait de gros efforts l’usage est lié aux équipements existants mais aussi aux enseignants (volontarisme des enseignants) tableau dynamique à usage collectif en classe (souvent le prof aux commandes), pour dynamiser les figures, conjecturer, vérifier…en géométrie, gérer et représenter des données, simuler en statistiques. .. en salle multimédia : sur ordinateur (1 ou 2 élèves) avec ou sans support papier. Pour découvrir une notion en collège (Géoplan), pour remédier et s’entraîner (exerciseurs SMAO…), pour développer des compétences de manière différenciée (mathenpoche) Différenciation : dans le rythme de travail imposé en classe mais peu dans les contenus Supports écrits des élèves cahiers dominants en collège, plus libres en lycées (cours et exercices). Les fiches distribuées en classe y sont insérées ou collées. la partie « cours » très bien structurée,recense en général les définitions et propriétés (nommées souvent « règle » quand il s’agit du calcul) avec leur illustration (figures, exemples d’application directe) la partie exercices : avec la trace des corrections majoritairement, absence de brouillon mais emploi de l’effaceur ou du crayon papier/gomme Peu d’écrits de recherche pas ou peu de traces « physiques » de l’utilisation de logiciels.

Quelques exemples Les trois diapositives qui suivent concernent des fiches effectivement distribuées dans des classes de cinquième comme support de travail aux élèves. L’analyse de la fiche et du scénario de cours mis en place par l’enseignant est intéressante. Si le contenu de la fiche est important au plan didactique, le scénario l’est tout autant. L’appropriation par l’enseignant d’une fiche construite par autrui est essentielle

Classe de cinquième L’enseignant a abordé de manière identique au cours précédent les équations a+x=b et ax=b en dégageant comme règle la solution b-a ou b/a Le texte pose plusieurs questions dans son énoncé même. Aucune d’elles ne sera abordée avec la classe : Le mot « équation » : quel sens a-t-il alors même qu’aucun travail spécifique n’a été mené sur les différents sens de l’égalité. L’expression « diviseur manquant » : il ne manque pas ! (il est écrit), ce n’est pas une égalité à trous ! L’expression « diviseur inconnu » : ce n’est pas la même chose que la précédente, et d’ailleurs cela ne fait pas appel aux mêmes procédures de résolution par les élèves. Est-ce un diviseur ? (l’élève voit peut-être une fractiondonc un dénominateur ? ou un quotient…mais le statut de nombre de l’écriture n’est pas toujours acquise à ce niveau) Aucune analyse dans la classe de l’énoncé qui est seulement relu. La modélisation est faite : il y a deux « trous à compléter » r il reste un nombre 27 et on a parlé de division ! L’énoncé à trous enlève toute initiative. Un seul traitement ! Pas de place pour d’autres modélisations et pourtant : Des élèves pourraient procéder à des essais et des ajustements et voir l’effet de l’augmentation du « diviseur » sur le quotient. Il pourrait poser une division et l’écrire a=bq+r avec r=0 Voir le résultat comme une fraction de dénominateur 1 et se dire qu’on a simplifié donc écrit 1458 = 27 x… Or on renvoie uniquement à une « méthode » de traitement de ax=b Enfin: il faut vérifier ! Pour l’élève, il y a autant de risques de se tromper en calculant x qu’en vérifiant Pour l’enseignant : on a trouvé x en raisonnant par conditions nécessaires, vérifier, c’est s’assurer que la condition trouvée (x=54) est suffisante Parallèle entre « résoudre une équation » et « résoudre un problème de construction géométrique par « analyse-synthèse ».

Situation intéressante : identifier les intrus, pour amener à caractériser des angles adjacents Situation observée plusieurs fois avec des réactions proches délèves diversement bien gérées. Problèmes rencontrés : Analyse insuffisante de la situation : Prise en compte incomplète des difficultés de élèves : qui s’intéressent aux mesures des angles et à leur codage identique, deux aspects fort travaillés en sixième. qui cherchent des différences entre les figures et caractrisent la figure 2 par ce qu’elle n’est pas ! Trop peu de place pour la description des figures qui aurait pu attirer l’attention sur « comment on se donne un angle » : un point, deux côtés « comment sont faits les angles dans chaque figure » Pas d’illustration par des exemples supplémentaires pas assez de place pour la verbalisation mais une volonté d’écrire trop vite les points communs des angles repérés comme adjacents La définition est finalement décrite par le prof qui extrait des propositions des élèves ce qu’il attend et qui les reformule Avec cette situation, une séance qui a très bien fonctionné avec une idée intéressante à exploiter avec un logiciel ou un rétroprojecteur : deux angles que l’on va « rapprocher » (grâce aux indications des élèves), assembler de différentes manières pour renforcer des conjectures en multipliant les exemples de « oui », « non » ce qui permet de verbaliser. La rédaction de la définition se faiant dans un second temps bien identifié.

Fiche intéressante : les élèves ont introduit la somme de deux nombres relatifs comme le bilan traduisant un cumul de deux gains algébriques. La situation est proche mais on parle maintenant de variation et on veut introduire la soustraction de deux nombres relatifs; Objectifs pas bien appréhendés par l’enseignant qui distribue la fiche en classe et laisse d’abord les élèves travailler individuellement. Il s’agit deconstruire le sens On dit dans la question 1 que les 4 premières lignes conduisent à la même opération. Il y a une graduation voulue par les auteurs dans les exemples choisis : soustraction connue dans N, soustraction impossible dans N, mais nombres simples… Or le scénario et le questionnement sont insuffisamment mûris : l’analyse de la situation est absente (raconter ce que chaque enfant a fait pendant le mois d’avril en terme d’économies, de dépenses) ; aucune allusion à une traduction par une addition à trous par exemple… et des élèves qui se dispersent. Finalement, l’activité ne sert à rien, puisqu’il y a blocage et que c’est l’énoncé de la règle (qui devait découler de l’analyse de a fiche complétée), finalement expliquée aux élèves par l’enseignant pour avancer …et bien acceptée par les élèves qui permet de terminer la fiche !

En activité, une place trop réduite pour L’analyse et l’appropriation de la situation, de la tâche à réaliser La mise en place de démarches avec des allers-retours, des essais l’émergence et l’exploitation de procédures, de méthodes personnelles, leur comparaison Le traitement de l’erreur La pertinence : vérification, contrôle La prise de recul, le retour à l’objectif initial ANALYSER la situation : prendre du temps et montrer comment entrer dans un problème pour comprendre ce qui est demandé, lever les implicites DEMARCHES : L’essai qui peut aider à élaborer une démarche, à construire un algorithme, est assez peu pratiqué (SL22) Les démarches personnelles n’émergent pas assez, elles ne sont pas assez valorisées, elles ne sont pas assez explicitées, n’apparaissent pas dans les cahiers le plus souvent Les procédures expertes sont trop vite dégagées et privilégiées Pas assez de place pour les essais, les échecs VERIFICATION ET PERTINENCE : le souci de pertinence est présent chez les enseignants, mais la vérification comporte parfois beaucoup d’ambiguïté (analyse-synthèse : construction en géom et résolution d’équations en algèbre) SYNTHESE ET RECUL : plus on a décortiqué un exercice en sous-questions, plus il sera difficile de garder une vue globale du problème, d’où la nécessité de faire le tri pour dégager l’essentiel de l’accessoire et revenir à la question posée. Souvent on perd le sens de ce qu’on a fait;

De manière plus globale, une place trop réduite pour Sur un thème : L’articulation entre différentes étapes de l’apprentissage, entre différents problèmes Lien entre différentes familles de problèmes Sur l’ensemble des travaux en classe : L’explicitation La verbalisation, les échanges entre élèves L’expression écrite THEMES : Faire le lien entre les étapes : introduction, institutionnalisation, application. Notion de contrat didactique à expliciter Notions et méthodes prennent du sens par les problèmes qu’elles permettent de résoudre et par leurs liens avec d’autres notions Par exemple, la comparaison de deux nombres, de deux expressions se pose dans différents cadres de travail : Travail sur des valeurs numériques (comparer des fractions, approximation) Résolution des inéquations 3è Travail sur l’ordre en seconde, le signe d’un binôme, d’un produit de binômes Travail sur le signe d’une fonction, Travail sur le sens de variation d’une fonction, d’une suite Comparaison de fonctions On ne prend pas toujours le temps de mettre en évidence les liens entre ces travaux. Au lycée, on constate une tendance à privilégier une technique dans un type de problème : ex flagrant du sens de variation d’une fonction : la dérivée est privilégiée même dans des cas très simples :lnx+x… Pour les suites, on privilégie souvent l’étude du sens de variation par l’étude du signe de la différence de deux termes consécutifs VERBALISATION : essentielle à l’élève pour appréhender une situation, pour apprendre à argumenter et communiquer, essentiel pour repérer, analyser et traiter les erreurs EXPRESSION écrite personnelle :peu d’exploitation des écrits d’élèves, peu de travaux s’appuyant sur ces écrits.

Caractérisation d’une « véritable activité mathématique » (collèges BO du 9/09/04) identifier et formuler un problème conjecturer un résultat en expérimentant sur des exemples bâtir une argumentation contrôler la pertinence des résultats obtenus en évaluant leur pertinence en fonction du problème étudié communiquer une recherche mettre en forme une solution

Difficultés rencontrées Gestion du temps Gestion de l’hétérogénéité L’idée que pour aider un élève et l’amener à réussir, il faut simplifier les situations et détailler les questions L’idée qu’il est nécessaire de développer les compétences techniques avant de résoudre des exercices qui les mettent en jeu. Les difficultés avancées par les enseignants : TEMPS : la lourdeur des programmes, le manque de temps de manière générale avec des « pics » à certains niveaux : en collège, en 4ème- et au lycée –en 1ère S L’HETEROGENEITE des classes, les difficultés à la gérer, à motiver, à obtenir l’engagement des élèves dans la tâche Comment amener les élèves en difficulté à entrer dans une démarche de résolution… La différenciation pédagogique concerne le rythme de travail plus que les contenus proposés. Mais aussi LA VOLONTE DE FAIRE REUSSIR avec l’idée que pour mettre les mathématiques à la portée des élèves, il faut « simplifier » et lever les obstacles : ce qui amène les enseignants à modéliser, à donner des indications, à détailler les étapes… à prendre les élèves par la main … mais pas à développer l’autonomie D’OÙ LA TECHNIQUE D’ABORD, LES EXERCICES ET LA RESOLUTION DE PROBLEMES ENSUITE pour ce qui relève du calcul notamment, l’idée que pour améliorer les performances des élèves, il faut développer les exercices techniques. C’est assez flagrant pour la résolution d’équations NB : ainsi le calcul, et en particulier le calcul littéral est très présent dans les cahiers des élèves, avec des exemples difficiles (parfois au-delà des exigences des programmes …) … et pourtant des lacunes repérables dans des cas très simples de transformation d’écritures et de résolution d’équations par exemple. Et pourtant … les enseignants ont bien conscience que certains élèves écrivent n’importe quoi parce que cela n’a aucune signification pour eux qu’un des problèmes est la motivation de leurs élèves ils se montrent à l’écoute de leurs élèves ils constatent aussi l’évaporation des connaissances, voire la régression entre l’entrée et la sortie du collège.

En quoi le travail fait en classe contribue-t-il à développer l’autonomie en mathématiques, c’est-à-dire la capacité à s’engager seul dans un problème pour le résoudre ? Le développement de l’autonomie des élèves est avancé à tous les niveaux comme prioritaire (premier degré, second degré, supérieur) et leur manque d’autonomie est aussi mentionné à tous les niveaux. Par ailleurs, des études ont mis en évidence une relative perte d’autonomie en classe de sixième. En classe, l’autonomie laissée aux élèves est le plus souvent limitée à des moments de travail individuels assez ponctuels ; elle s’exerce souvent sur une tâche d’exécution de consignes laissant peu de place à la prise d’initiative et à la recherche personnelle et assez peu la démarche à mettre en œuvre. En dehors de la classe, (étude ou maison), l’autonomie s’exerce sur l’apprentissage du cours, la résolution d’exercices d’application, quelquefois sur un exercice de recherche. La différenciation pédagogique concerne le rythme de travail plus que les contenus proposés. quelquefois, les professeurs proposent à certains élèves des exercices supplémentaires. Dans d’autres cas, les élèves avancent dans les travaux prévus plus rapidement ce qui souvent accroît plutôt la difficulté à gérer l’hétérogénéité lors des synthèses. L’utilisation des TICE pour différencier est parfois exploitée, mais de manière insuffisante et presque exclusivement avec l’enseignant. Conclusion : on cherche à avancer, et la tendance est d’expliquer trop vite comment faire avant que les élèves aient pu s’engager: ce qui ne peut que conforter une attitude assez fréquente chez des élèves : « j’attends parce que je ne trouve pas » … « Les bras ballants ». Cette pratique est finalement un frein au développement de l’autonomie.

Le travail personnel (B0 Collèges du 9/09/2004) Dans la classe : « la prise de conscience de ce qu’est la recherche et la mise en œuvre d’une démonstration est facilitée par le fait que, en certaines occasions, l’enseignant se livre à ce travail devant la classe avec la participation des élèves » En dehors de la classe, sous différentes formes Pointé comme essentiel dans l’introduction des nouveaux programmes de collège comme dans ceux du lycée.

Le travail personnel des élèves en dehors de la classe Au « quotidien » : travail en classe /travail à la maison : Peu de différence entre les contenus de ces travaux Une réflexion souvent insuffisante sur l’articulation entre ces travaux Evaluation individuelle assez rare de ces travaux Les devoirs ou travaux en temps libre sur copie : Evaluation : repérer des progrès Différenciation rare. Pourquoi ? De manière générale, il n’y a pas une réflexion suffisante sur ce qui peut être proposé en travail autonome en dehors de la classe et ce qui doit être abordé avec l’aide de l’enseignant. Exemple-type : approche du théorème de Pythagore et/ou de Thalès par la prise de mesures sur plusieurs figures à laquelle beaucoup de temps est parfois consacré en classe alors qu’il s’agit d’une tâche que tous les élèves peuvent faire en autonomie pour préparer la séance, qui amènerait rapidement à conjecturer en classe (en renforçant éventuellement avec Géoplan…) et laisserait du temps pour des situations requérant la présence de l’enseignant. pour les exercices donnés à la maison : le plus souvent issus des manuels, souvent des fiches distribuées par l’enseignant. Pour assimiler, pour s’entraîner… le travail proposé à la maison est très rarement différencié  : il est donc parfois (souvent ?) trop difficile pour les élèves en difficulté (qui ne pourront faire sans aide) et très léger pour d’autres (surtout si l’enseignant propose de terminer ce qui n’a pu être traité lors de la séance…). Ce qui augmente la difficulté à faire une correction collective utile à tous lors de la séance suivante. La pratique de travaux en groupes est peu répandue. La différenciation est vue comme le renforcement d’inégalités et pourtant : L’essentiel est que chaque élève comble ses lacunes, renforce ses acquis et progresse. Pour cela, l’élève doit sentir que l’enseignant lui a fixé des objectifs à sa portée; La communication aux parents, aux élèves doit être faite, peut être comprise : on donne un travail approprié aux besoins (même si tous ont connaissance de l’ensemble des travaux proposés) Mais surtout, il faut que le contrat soit clair : un élève ne peut pas être évalué sur des compétences qu’on n’a pas travaillées avec lui… Ce qui pose une autre question : celle de l’évaluation (sommative) et de la nécessité à ne pas vouloir évaluer tout ce que l’on a travaillé avec les élèves mais à situer l’évaluation toujours à un niveau inférieur à celui auquel on a enseigné.

Des évolutions nécessaires Qui supposent : une réflexion d’équipe en établissement un accompagnement des enseignants par des formations disciplinaires transversales

Activités mathématiques et supports d’enseignement IREM de Rennes 4 juin 2005