Nombre dérivé et fonction dérivée Baccalauréat Professionnel Vente – Commerce E.Caudron SOURCE :Gérard COQUET – LP Guynemer - Grenoble

Considérons la fonction f définie par f(x) = x² - 2 sur [-4,5 ; 4,5] -3,5 -3 -2,5 -2 -1,5 -1 - 0,5 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 4,5 6 8 10 12 14 16 18 20 C A x x B x X -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 F(x) 14 7 2 -1 -2 -1 2 7 14 2 2

Considérons la fonction f définie par f(x) = x² - 2 sur [-4,5 ; 4,5] -3,5 -3 -2,5 -2 -1,5 -1 - 0,5 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 4,5 6 8 10 12 14 16 18 20 C A x x B x Points de la courbe A B C Abscisse des points Pente de la tangente 3 -3 x 2 6 -6

Conclusion: Le tableau de valeurs obtenu est celui d’une fonction linéaire g définie par g(x) = 2.x Cette nouvelle fonction est appelée fonction dérivée de la fonction f ;Elle est notée f ’ f(x) = x² - 2 f’(x) = 2.x La pente de la tangente en un point de la courbe, d’abscisse donnée, est appelée nombre dérivé de la fonction f Exemple: Pour x = 3 on a: f’(3) = 2 x 3 = 6

Dérivées des fonctions usuelles Fonctions dérivées f(x)= a.x + b f’(x) = a . x + b f(x) = x² f’(x)= 2 x ² f(x) = x3 f’(x)= 3 x 2 f(x) = x 1 x2 - 1 f’(x)=

f(x) = u(x) + v(x) f’(x) = u’(x) + v’(x) f(x) = a u(x) f’(x) = a u’(x) Exercices d’entraînement

Exercices d’entraînement f(x) = x² + 5 f’(x) = 2.x J(x) = - x² + 1 J’(x) = - 2.x G(x) = 3x² G’(x) = 3x 2.x = 6.x H(x) = x3-1 H’(x) = 3x² S(x) = 4x²-5x+2 S’(x) = 4x2x - 5 = 8x - 5 I(x) = -2x3+4x²-5x+7 I’(x) = -2x3x²+4x2x - 5 = -6x²+8x- 5

Lien entre la dérivée et les variations d’une fonction 1.Soit la fonction F(x)d’équation F(x) = x² +2x + 1 représentée ci-dessous 1 O x y

-1 2.Compléter le tableau de variation de la fonction f(x) : X -4 2 y 2.Compléter le tableau de variation de la fonction f(x) : X -4 2 Variations de F(x) -1

3.Calculer F’(x), la fonction dérivée de la fonction F(x) F(x) = x² +2x + 1 F’(x) = 2x+2 4.Calculer : F’( -4 ) = F’(-1) = F’(2) = 2x(-4)+2 =-6 2x(-1)+2 =0 2x2+2 =6 F’( -4 ) est appelé nombre dérivé en -4 , F’(-1 ) est appelé nombre dérivé en -1 et F’(2) est appelé nombre dérivé en 2 .

6.Synthétiser dans un seul tableau les deux tableaux précédents : -4 2 Signe de F’ (x ) Variations de F(x) -1 - + 9 9

DERIVÉES – BILAN Soit f une fonction définie sur un intervalle I, et admettant une dérivée f’ sur I. Si, pour tout x de I, f’(x)>0, alors f est croissante sur I. Si, pour tout x de I, f’(x)<0, alors f est décroissante sur I. Si, pour tout x de I, f’(x)=0, alors f est constante sur I. Une fonction atteint son extrema (maxima ou minima) lorsque sa dérivée s’annule [ F’(x)=0 ]