Réponse à un échelon dans le cas où z = 1 1/8 SYSTEME DU DEUXIEME ORDRE ETUDE TEMPORELLE Réponse à un échelon dans le cas où z = 1

RAPPEL DE L’EPISODE PRECEDENT 2/8 Le système étudié est un deuxième ordre dont sa fonction de transfert est mise sous la forme canonique suivante : Nous avons mis en place l’expression du signal de sortie dans Laplace (en réponse à un échelon d’amplitude A) : Nous avons calculé le discriminant du dénominateur et avons étudié la cas où celui-ci est positif : z > 1 (d’où une factorisation possible). Nous avons ainsi démontré que pour z > 1 la sortie a un comportement en exponentielle sans oscillation. Le système est dit « amorti » ou « non oscillant » ou « apériodique » Equation différentielle Fonction de transfert Réponse à un échelon Exemple Identification Rapidité

z =1 Le système est alors dit apériodique-critique ou critique 4-2) Deuxième cas : 3/8 De la forme : z =1 Le système est alors dit apériodique-critique ou critique z =1 On a un pôle double : posons : Valeur de p annulant le dénominateur. Equation différentielle Fonction de transfert Réponse à un échelon Exemple Identification Rapidité

Equation différentielle Pour passer d’un produit à une somme de fonctions. 4/8 Polynôme en p de degré inférieur de 1 à celui du dénominateur (ici le dénominateur est de degré 2). Décomposons en éléments simples : Réduction au même dénominateur. Regroupement des termes en p0, p1 et p2. Identification des termes en p0, p1 et p2… Equation différentielle Fonction de transfert Réponse à un échelon Exemple Identification Rapidité

Equation différentielle 5/8 On en déduit : Pour retrouver des transformées inverses connues. = Equation différentielle Fonction de transfert Réponse à un échelon Exemple Identification Rapidité

Equation différentielle 6/8 Échelon unitaire D’où dans le domaine temporel : Fonction d’Heaviside Equation différentielle Fonction de transfert Réponse à un échelon Exemple Identification Rapidité

Représentation graphique 0 = 1 rad/s K = 2 7/8 Représentation graphique z = 1 de la réponse indicielle Echelon d’amplitude 1 z = 0,8 z = 1 z = 1,2 Dépassement (z<1) 2 Valeur finale Entrée en échelon unitaire 1 Pour z = 1 il n’y a pas de dépassement Tangente horizontale à l’origine ! Equation différentielle Fonction de transfert Réponse à un échelon Exemple Identification Rapidité

Ce qu’il faut avoir retenu 8/8 Ce qu’il faut avoir retenu (minimum « vital »…) Savoir refaire le calcul de la réponse à un échelon pour un deuxième ordre dont le facteur d’amortissement vaut 1. Savoir que dans ce cas là il n’y a toujours pas d’oscillation. Savoir ce qu’est la réponse indicielle (réponse à un échelon d’amplitude 1). Le cas où z < 1 sera vu en cours.