Chapitre 3: Caractérisation des systèmes

Performances d ’un système asservi Comportement d ’un « bon » système asservi : après un changement de consigne ou une perturbation, la mesure doit atteindre la consigne, le plus rapidement possible et sans oscillations intempestives 3 notions fondamentales à caractériser : la précision statique (la mesure doit atteindre la consigne) la rapidité (le plus rapidement possible) la stabilité (sans oscillations intempestives)

La stabilité La stabilité : notion complexe étudiée ultérieurement. Dans un premier temps, on caractérisera la « résonance ». Réponse indicielle d ’un système instable Réponse indicielle d ’un système stable, mais pas assez

Nécessité d ’une caractérisation A partir de la connaissance de la FT ou d ’essais expérimentaux, il s ’agit de déterminer certaines grandeurs représentatives des performances du système asservi. 2 approches peuvent être utilisées : temporelle fréquentielle

3.1 Approches temporelle, fréquentielle et zéros-pôles

Evaluation des performances 2 approches sont possibles : on utilise des entrées standardisées et à partir des tracés d ’entrée-sortie on détermine un certain nombre de grandeurs caractéristiques : Approche temporelle ou indicielle (entrée = échelon) Approche fréquentielle ou harmonique (entrée = sinusoïde à fréquence variable)

3.1.1 Approche temporelle

Approche temporelle t e(t) A Système y(t) ? Si le système ne comporte pas d ’intégration, 2 types de réponse sont possibles : Réponse apériodique Réponse oscillatoire amortie

Réponse temporelle La réponse peut être décomposée en deux parties : y(t) Régime transitoire Régime permanent

Le gain - détermination temporelle Le gain K caractérise le régime permanent : t e(t) t y(t) Dy De

Autres caractéristiques temporelles Le régime transitoire peut être caractérisé par : le temps de montée, tm, temps nécessaire pour passer de 10 à 90 % de la valeur finale le temps de réponse, tr, temps nécessaire pour que la réponse se stabilise à plus ou moins 5 % de la valeur finale Lorsque la réponse est oscillatoire amortie, on peut aussi utiliser : l ’amplitude du 1er dépassement, D1, (en % de la valeur finale) et le temps tD1 qui lui correspond

Exemple Attention à la détermination de tr et tD1 et D1 : Ici D1 = 8 % y(t) 105 % 100 % 95 % tr tD1 Ici D1 = 8 %

3.1.2 Approche fréquentielle

Approche fréquentielle On s ’intéresse : au rapport d ’amplitude (le gain) : r au déphasage : j entre les signaux d ’entrée-sortie en fonction de la pulsation : w Le gain et le déphasage sont respectivement le module et l ’argument du nombre complexe H(jw) correspondant à la FT H(p) :

Diagrammes Dans l ’approche fréquentielle, on utilise 2 types de diagramme : diagramme de Bode : diagramme de Nyquist : Pour mémoire, il existe aussi : le lieu de Black-Nichols

Diagramme de Bode 2 courbes : G, le module de H, exprimé en dB en fonction de w j, le déphasage, exprimé en degré en fonction de w

Le gain - détermination fréquentielle Le gain statique, KdB, correspond au gain à la fréquence minimale

La bande passante Bande passante, B, domaine fréquentiel à l ’intérieur duquel le module de H reste compris entre 2 bornes : La pulsation correspondant à l ’atténuation de - 3 dB est appelée pulsation de coupure, wc plus la bande passante est élevée, plus le système est rapide

Le facteur de résonance Le facteur de résonance MdB n ’est présent que lorsque la réponse temporelle est oscillatoire amortie, c ’est la variation entre le gain statique et l ’amplitude maximale ; la pulsation de résonance est wr MdB

Diagramme de Nyquist Ce lieu décrit en coordonnées polaires le point d ’affixe H(jw) lorsque w varie de 0 à l ’infini Le lieu est gradué en w Dans ce diagramme, il ne faut considérer que la courbe rouge Ce diagramme est surtout utilisé pour évaluer la « stabilité » d ’un système

3.2 Systèmes du premier ordre

Remarque préalable Mathématiquement, un système du 1er ordre est régit par une équation différentielle du 1er ordre : Plusieurs formes sont possibles selon la valeur des coefficients. En Automatique, lorsque l ’on parle d ’un système du 1er ordre, il s ’agit, par défaut, d ’un système du 1er ordre sur la sortie.

3.2.1 Systèmes du premier ordre de type K/(1+Tp)

Fonction de transfert Système régit par une équation différentielle du 1er ordre sur la sortie : Exemple : filtre RC K : gain statique T : constante de temps

Réponse indicielle Echelon d ’amplitude A : Régime permanent Transitoire

Réponse à une rampe Rampe de pente A : Régime permanent Transitoire Entrée Sortie Retard Erreur de traînage Transitoire Pour le dessin K = 1

Diagramme de Bode 2 asymptotes qui se coupent pour w = 1/T = wc -20 dB / décade Le déphasage évolue entre 0 et - 90° f(wc) = - 45°

Diagramme de Nyquist C ’est un demi-cercle de rayon 1 Ici, le gain vaut 2

3.2.2 Autres systèmes du premier ordre

Système de type K(1+Tp) Les systèmes de ce type ne représentent pas des systèmes physiques ; ils correspondent à des filtres ou des correcteurs. Dans ce contexte, ils ne sont pas utilisés seuls. Pour obtenir le diagramme de Bode, il suffit de changer les signes du gain et du déphasage des résultats obtenus pour K/(1+Tp)

Système intégrateur Equation différentielle : Exemple : Système « instable » Système de type 1 (une intégrale) 1/p Vitesse axe moteur Position axe moteur t e(t) A t y(t) At

Système intégrateur Diagramme de Bode : pente -20 dB/décade déphasage = -90° Gain statique K Gain statique en dB

Système intégrateur Diagramme de Nyquist Demi-droite sur l ’axe imaginaire négatif

Système dérivateur Equation différentielle : Exemple : Génératrice tachymétrique Pour obtenir le diagramme de Bode, il suffit de changer les signes du gain et du déphasage des résultats obtenus pour K/p. De même pour Nyquist : demi-droite sur l ’axe imaginaire positif. K p Position arbre Tension génératrice

3.3 Systèmes du deuxième ordre

Forme générale Système régit par une équation différentielle du 2ème ordre sur la sortie : Exemple : partie mécanique d ’un galvanomètre q : angle de déviation J : moment d ’inertie k : coefficient de raideur du ressort f : coefficient de frottement g : couple exercé sur le galvanomètre 0 10 20

Fonction de Transfert Selon Z, le dénominateur admet : K : gain statique wn : pulsation propre non amortie Z : facteur d ’amortissement Selon Z, le dénominateur admet : 2 racines réelles, c ’est un système apériodique 2 racines complexes conjuguées, c ’est un système résonant

3.3.1 Réponse temporelle

Mode oscillatoire amorti Réponse indicielle 2 comportements distincts selon Z : Mode non oscillatoire Mode oscillatoire amorti - * - { }

Système apériodique Produit de 2 systèmes du 1er ordre : Réponse à un échelon d ’amplitude A : Temps de réponse : Régime permanent Transitoire

Système oscillatoire amorti Echelon d ’amplitude A : Temps de réponse : Amplitude et temps du 1er dépassement : Pseudo-pulsation Régime permanent Transitoire

Réponse indicielle en fonction de Z Il n ’existe pas de relation simple pour exprimer le temps de réponse tr. Il est minimum pour Z = 0.7

Réponse indicielle en fonction de wn Plus la pulsation est grande, plus le système est rapide

La tangente à l ’origine 1er ordre : tangente verticale 2ème ordre : tangente horizontale

3.3.2 Réponse fréquentielle

Grandeurs caractéristiques Pulsation de coupure Pulsation de résonance Facteur de résonance

Diagramme de Bode Système apériodique wn - 40 dB/décade 2 asymptotes qui se coupent pour w = wn les asymptotes sont toujours « sur » la courbe Le déphasage évolue entre 0 et - 180° f(wn) = - 90°

Diagramme de Bode Système oscillatoire amorti wn - 40 dB/décade wr 2 asymptotes qui se coupent pour w = wn Le déphasage évolue entre 0 et - 180° f(wn) = - 90°

Diagramme de Bode fonction de Z

Diagramme de Bode fonction de wn

Diagramme de Nyquist Tangente horizontale pour Limite de résonance Apériodique : Oscillatoire amorti :

Diagr. de Nyquist fonct. de Z et wn À Z et K constants, le tracé ne change en fonction de wn Z = 0.3 Z = 0.1