La correction des systèmes asservis

1.1 Structure d’un système asservi

Schéma général Régulation : la consigne est fixe Correcteur Actionneur Procédé Capteur Mesure Mesurande Action Commande Consigne Perturbations + - Régulateur Régulation : la consigne est fixe Asservissement : la consigne varie

Schéma simplifié C(p) Mesure Consigne + - KG(p) e

1.2. Performances

Critères de régulation Une régulation doit : être précise : suffisamment stable : Mf et MG (diagrammes de Bode et Nyquist) la plus rapide possible, sous contrainte des deux critères précédents : tr, temps de réponse, minimum (réponse indicielle) B, bande passante, maximum (diagramme de Bode)

Critère d’asservissement En plus des critères précédents, un asservissement doit avoir une erreur de traînage suffisamment petite Consigne Mesure Erreur de traînage

Régulation : la précision statique Système non intégrateur

Régulation : la précision statique Cas 2 : système intégrateur ou système non intégrateur avec correcteur intégrateur Il faut une intégration en chaîne directe pour que le système soit précis !! : Attention aux perturbations

Asservissement : l’erreur de traînage Pour que l ’erreur de traînage soit nulle, il faut deux intégrations en chaîne directe

La stabilité Pôles doivent être à partie réelle non positive Critères algébriques : ROUTH s ’applique à la fonction de transfert en BO ou en BF Critère graphique : Nyquist (critère du Revers) Ne s’applique que pour un système en BF

Equation caractéristique Soit un système à retour unitaire : Sa FT en BF vaut : Les zéros de « l ’équation caractéristique » : correspondent aux pôles de la FT en BF, ils doivent être à partie réelle négative + Consigne H(p) -

Critère du revers Equation caractéristique : lorsque le lieu de transfert H(p) passe par le point (-1,0), dit « point critique », le système est à la limite de la stabilité R I -1 Stable R I -1 Limite de stabilité R I -1 Instable

Marges de stabilité -180° dB F ° A B Marge de phase Marge de gain R I Valeurs courantes : - marge de phase : Mf = 30 à 50 ° - marge de gain : MG = 8 à 15 dB Dans les calculs, on privilégie l ’utilisation de la marge de phase Mf = 45 ° MG = 12 dB

Le dilemme stabilité-rapidité Le réglage du gain est déterminant dans la synthèse d ’un correcteur et résulte d ’un compromis : Kc faible : système stable mais « mou », erreurs de position (si pas d ’intégration) et de traînage (si une intégration) importantes Kc élevé : système plus réactif, erreurs plus faibles mais risque d ’instabilité

Exemple : 2ème ordre avec correc. P Kc Mesure Consigne + - Diagramme de Nyquist e : erreur en régime permanent

1.3. Les actions de base

Action proportionnelle C(p) Mesure Consigne + - KG(p) e - On réagit proportionnellement à l ’erreur - Action toujours présente

Action Proportionnelle Intégrale C(p) T Y + e + + R=0 KG(p) - Mesure

Action proportionnelle et dérivée C(p) Mesure Consigne + - KG(p) e

Différentes structures d ’un PID Série : Mixte : Parallèle : PI PD D I P D I P

1.4. Réglage par approximations successives

Principe S ’applique en boucle fermée avec un correcteur PID sur un système quelconque 3 étapes : réglage de l ’action P (actions I et D inhibées) réglage de l ’action D (action I inhibée) réglage de l ’action I (sauf si le procédé est intégrateur)

Réglage de l ’action P Action P trop forte Action P trop faible Réglage correct Après le réglage, il reste une erreur de position

Réglage de l ’action D l ’action D doit minimiser le dépassement Action D trop faible Action P seule Action D correcte Action D trop forte l ’action D doit minimiser le dépassement

Réglage de l ’action I Action I trop forte Action I trop faible

1.5. Méthodes approchées de réglage

Méthode de Ziegler et Nichols (BO) On utilise la réponse indicielle qui doit être apériodique Une table donne les coefficients du PID à partir de Tu et Ta et K Résultats obtenus empiriquement, réglage « dur » D1% = 30 à 60 %, rapport d ’amplitude entre dépassements : 1/4 Tu Ta

du système corrigé en BF Exemple Réponse indicielle du système en BO D2 = D1 /4 Réponse indicielle du système corrigé en BF

Méthode de Ziegler et Nichols (BF) On ajuste le gain Kc pour amener le système à la limite de la stabilité : Kc = K0 et oscillations de période T0 Une table donne les coefficients du PID à partir de K0 et T0 Résultats obtenus empiriquement, réglage « dur » D1% = 30 à 60 %, rapport d ’amplitude entre dépassements : 1/4 Réglage Réglage original « léger dépassement » Kc Mesure Consigne + - KG(p) T0

Oscillations limites en BF avec du système corrigé en BF Exemple Système intégrateur donc méthode en BF plus adaptée Oscillations limites en BF avec un correcteur P (Kc = 3) Réponse indicielle du système corrigé en BF

Comparaison réglages Z. et N. Réglage « léger dépassement » Réglage original

Intérêts et limites de la méthode Pas de modélisation fine BO : procédé à comportement stable et apériodique BF : aucun pré-requis Essai facile à réaliser Réglage adapté à une grande gamme de systèmes Réglage pour les régulations uniquement Peut servir de point de départ pour un réglage plus fin

1.6. Correction par compensation directe des pôles

Principe Les correcteurs PD, PID et à avance/retard de phase introduisent un ou deux zéros dans la chaîne directe Si on positionne le zéro à une valeur identique à un pôle réel, le zéro compense le pôle et la FT résultante est plus simple et plus rapide Permet de supprimer un (ou deux) pôle(s) lent

Exemples 1er ordre : 2ème ordre apériodique :

1.7. Systèmes à retard

Prédicteur de Smith Utilisé pour les systèmes à faible réglabilité La présence du retard dans la boucle limite l ’augmentation du gain du correcteur le retard ne peut être supprimé Objectif : trouver une structure de réglage qui permette de sortir « artificiellement » le retard de la boucle et donc de rendre le réglage du correcteur indépendant du retard : + - C1(p) KG(p) e-tp + - C2(p) KG(p) e-tp

Prédicteur de Smith En identifiant les 2 schémas, on trouve : Ex : 1er ordre retardé avec correcteur PI : + - C2(p) KG(p) C1(p) Réalisé avec un compensateur de temps mort (CTM)

1.8 Représentation normalisée des procédés

Norme NF E 04-203 Codets d ’identification

Identification des variables

Identification des affichages et actions A : alarme I : indication L : signalisation lumineuse R : enregistrement Q : intégration Actions C : régulation K : sélection auto/manu T : transmission V : dispositif réglant Y : relais Z : actionneur

Exemples

Exemple : colonne à distiller Vapeur de tête Incondensables Condenseur Colonne Ballon de tête Charge Reflux externe Distillat Résidu Rebouilleur

Exemple : colonne à distiller Pression Débit Débit Débit Niveau

1.9. Stratégies de régulation

Régulation cascade Utilisée pour les procédés à inertie importante On maîtrise une variable intermédiaire Permet de modifier une partie de la chaîne directe La boucle interne doit être la plus rapide, elle est réglée en premier C1(p) + - C2(p) G1(p) G2(p) Boucle interne, esclave, secondaire Boucle externe, maître, primaire

Résultats Illustration uniquement avec correcteurs P Sans boucle interne

Régulation a priori On utilise la mesure d ’une perturbation pour essayer de compenser « a priori » son effet sans attendre qu ’il se manifeste à la sortie Vient en complément d ’une boucle classique + - C(p) KG(p) H(p) perturbation

Régulation a priori Autres appellations : prédictive, par anticipation, feedforward Pour que la perturbation soit sans effet, il faut que : + - C1(p) K1G1(p) C2(p) K2G2(p) K3G3(p) perturbation Capteur de mesure de la perturbation

Régulation a priori Pour réaliser C2(p) on utilise un correcteur à avance/retard de phase : Détermination des paramètres : Outre le capteur supplémentaire, il faut 3 modules de calcul : un module avance/retard de phase un module sommateur un module de commande auto/manu

Ex. : régulation de température Le four a une inertie importante Le débit de la charge est susceptible de varier TIC T T T Y Charge Air Fuel Boucle simple Boucle simple + a priori HIC T T T Y Charge Air Fuel F T F Y TIC FY Modules de calcul Commande auto/manu

Ex. : régulation de température Le module de commande auto/manu permet de conserver la maîtrise de la vanne en manuel Sur le sommateur, il faut soustraire la valeur moyenne de l ’effet de la perturbation : HIC T T T Y Charge Air Fuel F T F Y TIC FY Modules de calcul Commande auto/manu Q

1.10 Régulation de moteurs à courant continu

Régulation cascade d ’un moteur CC Boucle interne de courant avec correcteur de type PI Boucle externe de vitesse avec correcteur de type PI Capteur de vitesse Capteur de courant Convertisseur Moteur Correcteur courant Correcteur vitesse Sécurités Filtre

Les sécurités Limitation du courant max Limitation du di/dt Si e < emax alors Ic = Vb Si e = emax alors dIc /dt = K1 emax