Modelisation Modeles ARIMA ARCH-GARCH Series Temporelles Modelisation Modeles ARIMA ARCH-GARCH

Pourquoi? Modelisation de la croissance Variables explicatives a choisir? Politique fiscale, investissement, technologie, demographie, commerce international, taux de change, taux d’interet Series temporelles: Utiliser les valeurs passees de la croissance et des termes d’erreur Approche purement statistique Modeles parsimonieux

Definition Une serie temporelle consiste en un ensemble d’observations d’une variable y Observations sont espacees dans le temps a intervalles egaux: yi avec i=1,2,....t Processus stochastique: Chaque observation est une variable aleatoire et les variables evoluent dans le temps selon certaines lois Ce que nous observons: Ensemble limite d’observations

Notions de Base Moyenne Variance Autocovariance Autocorrelation Variance de Y avec ses propres valeurs passees Autocorrelation PAC: dernier coefficient de y sur ses m valeurs passees

Autocorrelations Estimer sur la base de l’echantillon La representation des autocorrelations pour tau=1,2… s’appelle le correlogramme Permet d’identifier si la serie temporelle consideree se rapproche des caracteristiques de series connues

Autocorrelations Partielles

Bruit Blanc Bruit Blanc N(0,1) Distribution

Modelisation ARMA AutoRegressive (Integrated) Moving Average Box Jenkins (1976) Moyenne ponderee de Bruits blancs AutoRegression

Notations Operateur ‘Arriere’ Operateur ‘Avant’ Difference

Moving Average Toujours stationnaire Fonction de bruits blancs passes Notation avec operateur

Exemple MA(q)

MA(1)

Ma(q)

Exemple MA(1) phi1=0.8 AC PAC

Exemple MA(3) AC PAC Phi=0.8, -0.5,0.3

AR(1) Stationnaire Processus explosif

Pourquoi?

AR(1) Phi=0.5 Phi=-0.8 AC PAC

AR(2) note avec Conditions de stationarite:

AR(2) Les proprietes d’un processus AR(2) sont etudiees comme suit: Autocovariance: Autocorrelation: Donc: Comme , alors:

AR(p) Conditions de stationarite: Les racines de l’equation suivante doivent etre inferieures a 1 en valeur absolue

AR(p) Le processus AR(p) s’exprime: La fonction d’autocovariance est:

ARMA(1,1) Les autocorrelations diminuent progressivement Similaire a AR(1) Mais fonction plus compliquee des parametres Depend des deux coefficients

ARMA(p,q) Le processus mixte ARMA(p,q) s’ecrit: Le processus peut s’exprimer comme un MA pur ou un AR pur

Box-Jenkins (1976) 1) Identification: Un premier modele est choisi apres examen des autocorrelations Si rho ne decroit pas rapidement: indication de non-stationarite Si rho(k)=0 pour k>q et les autocorrelations partielles decroissent  MA(q) Si rho(k) decroit et les autocorrelations partielles sont =0 pour k>p AR(p) Si pas de point de rupture clair ARMA(p,q)

Box-Jenkins (1976) 2) Estimation Maximum de vraisemblance Goodness of fit (criteres AIC, Schwartz) 3) Tests de verification sur les residus - Est ce que les erreurs sont aleatoires? - Non autocorreles: Test de Box-Ljung - Normalite: Test de Jarque Bera

Estimation

Previsions AR(1)

Previsions MA(1) Le modele s’ecrit Supposons que nous connaissons phi et que eps(0)=0 Prouver que apres avoir observe y(n), nous connaissons egalement les valeurs de eps(t) pour t=1,2,….n

ARCH Hypothese de constance de la volatilite rarement verifiee sur marches financiers Auto Regressive Conditional Heteroskasticity La volatilite semble etre correlee dans le temps Fat Tails (kurtosis)

Volatility Clusters S&P 500

Fat Tails

ARCH(1) Engle (1982) La volatilite conditionelle est fonction des observations passees

Proprietes Volatilite autocorrellee Kurtosis>3

GARCH(1,1) ARCH(p) difficile a estimer Bollerslev(1986) Generalized.....ARCH Correspond a ARCH()

Extensions Integrated GARCH GARCH in Mean Exponentional GARCH Les coefficients somment a 1: Les chocs passes persistent tres longtemps GARCH in Mean Relation directe entre rendement et risque d’un actif Dans la specification du rendement moyen, inclure une function de la variance conditionnelle Exponentional GARCH Les chocs passes ont un impact asymmetrique sur la volatilite

News Impact Curve Relation entre erreur Et volatilite future

Test – Engle(1982) ARCH(q) Hypothese H0 de volatilite constante Regression Les epsilons sont obtenus par estimation du modele sous hypothese de volatilite constante Statistique LM: nR2 suit Chi2(q)