Pendule avec excitation périodique et friction Pendule simple soumis à une force périodique  Pendule est constitué d’une barre rigide de longueur L sans masse & masse pesante ponctuelle m attachée à son extrémité. Pendule soumis à une friction proportionnelle à sa vitesse de rotation : dq/dt. Pendule soumis à une force excitatrice périodique f(t). (Système d ’Unités tel que g/L=1)  Etudier cette équation en fonction de c de la manière suivante : c, on portera dans un diagramme (dq/dt,c), les valeurs avec 20<k<50.  3 conditions initiales q(0)=0 et dq(0)/dt=0,1,2. En tout, pour chaque valeur de c, on calcule donc 3x30 valeurs de dq/dt que l’on place sur le diagramme On demande d’interpréter le diagramme obtenu

RESULTATS q(0)=0 et dq(0)/dt=0

RESULTATS q(0)=0 et dq(0)/dt=1

RESULTATS q(0)=0 et dq(0)/dt=2

q(0)=0 et dq(0)/dt=0 q(0)=0 et dq(0)/dt=1 q(0)=0 et dq(0)/dt=2 RESULTATS q(0)=0 et dq(0)/dt=0 q(0)=0 et dq(0)/dt=1 q(0)=0 et dq(0)/dt=2

Interprétation 0.9<c<1 on observe un et un seul point les 90 valeurs de dq(k.2p/w)/dt sont égales le choix des conditions initiales - à savoir q(0)=0 et dq(0)/dt=0,1,2 - n’affecte en rien la solution L’interprétation est aisée : la solution est périodique de période 2p/w. De ce fait, dq(k.2p/w)/dt=Constante ce qui explique que les 90 points soient confondus en un seul point (avec 20<k<50). c >1 Naissance de deux branches  bifurcation : deux solutions sont possibles selon la condition initiale Doublement de la période dès c=1.07 qu’on a doublement de la période (deux valeurs de dq(k.2p/w)/dt) L ’état stationnaire dépend des conditions initiales !!!!

Interprétation Conclusion le doublement  quadruplement  sextuplement. Pour c=1.1,  infinitié dénombrable de valeurs de dq(k.2p/w)/dt.  k, dq(k.2p/w)/dt  dq((k+1).2p/w)/dt. On est donc très loin d’une solution périodique. C’est l’apparition du chaos ! Conclusion L’établissement d’un diagramme de bifurcation tel que ci-dessus est une méthode couramment utilisée pour déterminer quand un système passe vers un état chaotique en fonction d’un paramètre du système.

q(t) en fonction de t pour c=1. 2 q(t) en fonction de t pour c=1.2. On voit effectivement un mouvement avec des lobes de sinus et de cosinus qui se superposent et se succèdent anarchiquement comme si la période changeait sans arrêt.

CODE MATLAB I

CODE MATLAB II

CODE MATLAB III