5.1 SYSTÈME DÉQUATIONS LINÉAIRES Cours 13

Au dernier cours nous avons vus Léquations vectoriel et léquation normale dun plan. Lintersection de deux plans. Langle entre deux plans. La distance entre un point et un plan.

Aujourdhui, nous allons voir Les systèmes déquations linéaires. Un algorithme pour les résoudre.

Définition: Une équation linéaire est nimporte quelle expression de la forme; oùet lessont des variables. Une solution de léquation linéaire est un n-plettel que Solutionner une équation linéaire revient à trouver lensemble de toutes ses solutions. Définition:

Un système déquations linéaires est un ensemble déquations linéaires. On met une accolade au début pour les délimiter. Les indices ici servent à indiquer à quelle variable et à quelle équation un coefficient appartient. Une solution dun système déquations linéaires est un n-uplet qui est solution de chaque équation du système. Définition:

Exemple: a comme solution Le système déquations linéaires suivant car et

On a vue comment solutionner un système déquations linéaires de 2 équations et 2 inconnues ainsi que de 3 équations et 3 inconnues avec la méthode de Cramer. On aimerait avoir une méthode pour solutionner des systèmes déquations de n équations et m inconnues.

Quest ce quon peut faire avec une équation sans changer lensemble solution?

Pour comprendre la méthode, regardons ce quon peut faire à un système déquations sans changer lensemble solution. 1. Interchanger deux équations 2. Multiplier une équation par une constante

3. Additionner à une équation un multiple dune autre.

Matrice des coefficients Matrice augmentée

Matrice des coefficients Matrice augmenté ( ***** ) Li-»Lj

Pour quelles valeurs de x et de y léquation 0 = 8 est-t-elle vérifiée? Donc le système déquations linéaires nas pas de solution. Aucune!!!

La deuxième équation est toujours vrai donc inutile. Donc les points de cette droite; forment lensemble solution du système déquation.

Interprétation géométrique Deux droites dans le plan. Une solution de ce système est un point de lintersection de ces deux droites. Il y a une solution unique Il ny a pas de solution Il y a une infinité de solutions Deux droites sécantes Deux droites parallèles distinctes Deux droites parallèles confondues

Il y a une solution unique Il ny a pas de solution Il y a une infinité de solution Trois plans dans lespace.

On fait quoi avec ça?

Il y a donc une infinité de solutions. Il suffit de poser une des variables égale à un paramètre. Prenons par exemple Ou, si on préfère, lintersection de ces deux plans est la droite: doù

Eventuellement, vous serez tenté de faire plus dune opération ligne à la fois. Généralement il ny a pas de problème à faire ça, mais vous ne devez pas faire une opération ligne sur une ligne que vous venez de changer.

Exemple: Donc il y une infinité de solutions, mais... Il ny en a quune!

Définition: Un système déquations linéaires est dit homogène si toutes les constantes sont nuls. Les systèmes déquations linéaires homogènes ont toujours au moins une solution. Remarque:

Définition: Une matrice est dite échelonée réduite ligne (ERL) si Ex: Le premier coefficient non nul dune ligne est un 1 (on nomme ce coefficient le pivot). 1. Tous les coefficients de la colonne du pivot sont nuls. 3. Le pivot dune ligne est toujours à droite des pivots des lignes au dessus. 2.

Définition: En dautre terme, toutes matrices est l-équivalente à une unique matrice ERL. Sietavecet des matrices ERL, alors Deux matrices, et sont dites ligne- équivalente (l-équivalente) si peut sobtenir de par une suites dopérations lignes. On écrit alors; Proposition:

Définition: Soit une matrice et sa matrice ERL l-équivalente. Le rang de, noté est le nombre de lignes non nulles de. Exemple:

Aujourdhui, nous avons vu Les systèmes déquations linéaires Les trois opérations ligne. Système déquations linéaires homogène. Matrices ERL.

Devoir: p.172 # 1 à 14