3.1 DÉTERMINANTS (SUITE) Cours 6
Au dernier cours, nous avons vu La définition axiomatique du déterminant. Le calcul d’aire à l’aide du déterminant. La façon de résoudre un système d’équations linéaires à deux équations et à deux inconnues à l’aide de la règle de Cramer.
Le déterminant en dimension 3. Le calcul d’un volume à l’aide du déterminant. La façon de résoudre un système d’équations linéaires à trois équations et à trois inconnues à l’aide de la règle de Cramer.
Volumes Ça serait bien si on pouvait faire quelque chose de semblable pour les volumes! Regardons si les propriétés du déterminant correspondent aux propriétés des volumes orientés.
Dans l’espace Volume négatif Volume positif
Définition: Le déterminant de trois vecteurs dans l’espace est un nombre (Si on a les coordonnées des vecteurs on peut aussi noter le déterminant) tel que les six propriétés suivantes sont respectées.
D1. D2. D3.
D4.
D5.
D6.
D1.
D2. Hum... pas de volume!
D3.
D4.
D5.
D6.
Calculons le volume.
On refait ça avec eux.
Exemple: Trouver le volume du parallélépipède suivant Mais ça, c’est le volume orienté. Pour obtenir le volume, il suffit de prendre la valeur absolue.
Faites les exercices suivants p.98 # 10 à 12
Théorème: Règle de Cramer La preuve est semblable à celle pour un système à deux équations et à deux inconnues.
volume du parallélépipède Volume d’un tétraèdre volume du parallélépipède
Le déterminant peut servir à établir si trois vecteurs sont dans un même plan. Car s’ils sont dans un même plan, ils n’auront pas de volume.
Faites les exercices suivants p.102 #13 à 17
Aujourd’hui, nous avons vu Le déterminant en dimension 3 Le calcul d’un volume à l’aide du déterminant. La façon de résoudre un système d’équations linéaires à trois équations et à trois inconnues à l’aide de la règle de Cramer.
Devoir: p.101, #1 à 28