1 Diagnostic Pépite et Conceptions

2 Plan Profils cognitifs en algèbre Relecture possible en terme de conception – Objets de lalgèbre Étude de cas – Analyse a priori dune tâche Tentative dinterprétation des procédures en terme de conception – Reformulation en termes de conceptions (essais) Vers une esquisse de conceptions en algèbre

3 3 Le domaine de lalgèbre élémentaire Dimension objet Objets Expressions, formules, équations, fonctions Statuts des lettres : variable, indéterminée, inconnue Systèmes de représentation représentation symbolique algébrique articulation avec dautres systèmes de représentation Dimension outil, selon les champs de problèmes Outil de résolution via leur mise en équation problèmes (arithmétiques ou non) modélisés sous forme déquations via modélisation de problèmes intra ou extra mathématiques modélisés sous forme de relations fonctionnelles entre données et variables de généralisation et de preuve (cadres numérique et géométrique) de calcul (cadres algébrique et fonctionnel) Modèle de la compétence algébrique à ce niveau scolaire

4 Diagnostic Déterminer les compétences et les connaissances des élèves en algèbre : étude des procédures utilisées pour résoudre des problèmes du domaine algébrique Diagnostic – 20 taches diagnostiques et une grille d'analyse multidimensionnelle (dimensions et critères) – Niveau microscopique : codage des réponses – Niveau macroscopique : Profils cognitifs en algèbre – Caractéristiques personnelles : %, leviers et fragilités – Echelle de compétence – Stéréotype : 3 dimensions (usage de l'outil algébrique, traduction, calcul algébrique) os

5 UA : Usage de loutil algébrique UA4 : Outil algébrique non disponible et conception arithmétique : – du connu vers linconnu – « = » annonce de résultat – lettre étiquette – preuve par lexemple UA3 : Pseudo-algébrique : – usage de « lettre-objet » – « pseudo » règles de formation, de traduction – « = » non équivalence (abréviation) UA2 : Algébrique dans un domaine dapplication privilégiant un des statuts de la lettre – erreurs de traduction si reformulation nécessaire UA1 : Algébrique – disponibilité de loutil algébrique et mobilisation adaptée. – adaptabilité du statut des lettres en lien avec les classes de problèmes

6 Échelles sur la composante Usage de lalgèbre (UA) Plusieurs conceptions peuvent cohabitées. – UA 4 : démarche arithmétique privilégiée sur les différents types de problèmes (modélisation, preuve) – UA 3 : pseudo algébrique dans un domaine majoritaire – UA 2 : algébrique sur un domaine dapplication majoritaire limité à un ou 2 types de problèmes (statut des lettres) et peu complexes (affines, congruents) – UA 1 : algébrique sur un vaste domaine dapplication, problèmes de tous types, congruents ou non

7 Composante : calcul algébrique (CA) CA3 : Cohabitation de plusieurs conceptions dans un ensemble de pbs (preuve, …) dont pseudo-structurale mettant en jeu des règles de formation et de transformation incorrectes du type concaténation (= « abréviation », lettres-objets non liés à nombre) CA2 : Traitement essentiellement syntaxique avec des erreurs récurrentes de transformation privilégiant une conception procédurale des expressions (lettre évaluée, cohabitation = « annonce résultat », équivalence, équivalence expressions non mobilisée, ….) CA1: Traitement algébrique prenant en compte les aspects syntaxique et sémantique des expressions sappuyant sur une adaptabilité dans linterprétation des expressions selon les usages visés (conception structurale).

8 Composante : traduction algébrique blabla

9 Odile, Jules, Bertille Odile : – UA3, TA3, CA2 Jules – UA3, TA2, CA3 Bertille – UA2, TA1, CA2

10 Relecture possible Réinterpréter les règles daction – Théorèmes en actes, propriétés en actes – Relativement à des concepts en jeu dans la résolution Difficultés – Analyse multidimensionnelle : articuler les conceptions relatives à plusieurs concepts Un vs plusieurs concepts – Cohabitation de plusieurs conceptions

11 Preuve et programme de calcul

Preuve et programme de calcul (1) SolutionsCodesConceptions = × 3 = = = 32 32/4 = = = 7 V3 incorrecte L5 pas de lettres J2 justification : par lexemple T2 traduction pas-à-pas séparée CN1 calcul correct Preuve : par lexemple Égalité : annonce de résultat Expression : processus x + 8 = 8x 8x 3 × 8x = 24+3x= 27x 27x-4 = 23x 23x+x=24x 24x/4=6x 6x+2=8x 8x-x=7 V3 incorrecte L3 lettres et règles fausses J31 pseudo-formelle T2 traduction pas-à-pas séparée EA42 assemblage Preuve : formelle Égalité : annonce de résultat Expression : processus et résultat Equivalence dexpressions : assemblage

Preuve et programme de calcul (2) SolutionsCodesConceptions 5+8 =13 × 3=39-4 =35+5=40 40/4= = = 7 V3 incorrecte L5 pas de lettres J2 justification par lexemple T4 traduction pas-à-pas enchainée CN1 calcul correct Preuve : par lexemple Égalité : annonce de résultat et abréviation Expression : processus [ x+8] × 3 = 3x+24-4 = 3x+20 = 4x+20 = [4x+20]/4 = x+5 = x+5+2 = x+7 = x+7-x = 7 V3 incorrecte L3 lettres et règles fausses J31 pseudo-formelle T4 traduction pas-à-pas enchainée EA 1 calcul correct Preuve : formelle Égalité : abréviation Expression : processus Equivalence dexpressions : correcte dans le premier degré ?

Preuve et programme de calcul (3) ProcédureCodeConceptions (3+8 × 3-4+3)/ / V3 incorrecte L5 pas de lettres J2 par lexemple T3 globale non parenthésée CN1 : calcul correct ((5+8)×3-4+5)/4+2-5=7 ? ((13)×3-4+5)/4+2-5=7 ? (39-4+5)/4+2-5=7 ? =7 ? 10-3=7 ? 7=7 ? V3 incorrecte L5 pas de lettres J2 par lexemple T2 équation, globale parenthèsée EA1 : écriture alg. correcte ((x + 8) × x) / x =( 3x x)/ x =(4x +20) / x =x x =7 V1 correcte L1 nb généralisé J2 preuve par lexemple T1 globale, parenthésée EA1 : écriture alg. correcte Preuve algébrique Égalité : équivalence et identité Expression : résultat respectant la structure

15 Égalité Conceptions sous-jacentes aux règles daction mobilisant l'égalité ? Caractéristiques : – Relation d'équivalence – Conservation de l'égalité par opérations Conceptions – Abréviation (P) Production dexpressions numériques, (R) Règles de traduction, (L) Symbolique, ( Σ) Perceptif – Annonce de résultat : priorité à l'évaluation du calcul – Relation d'équivalence

16 Conceptions sur légalité (1) ConceptionAbréviation Annonce de résultat Equivalence Relation déquivalence NonNon symétrique oui Conservation de légalité par opération Non oui UA 3 2/31 TA 3 2/31 CN 32/31

17 Conceptions sur légalité (2) ConceptionAbréviation Annonce de résultat Equivalence Ensemble de problèmes Production dexpressions Calcul réfléchi Production dexpressions Résolution déquations … Opérateurs Règles de traduction Règles de traduction, transformation Représentations Symbolique ou numérique ContrôlePerceptifArithmétique Variables didactiques

18 Expressions Conceptions sous-jacentes aux règles daction pour interpréter une expression ? Caractéristiques – Écriture symbolique liée à la structure d'expression – Dénotation d'une expression – Adaptabilité dans l'interprétation d'une expression Registre des écritures algébriques En articulation avec d'autres registres Type de problèmes – Développement, factorisation – Variables didactiques Nature et complexité de l'expression

19 Conceptions sur les expressions Conception Pseudo structural ProcéduralStructural Exemples dopérateurs a n + b n = ab n a 2 = 2a (a+b) 2 =a 2 + b 2 (a+b) 2 =a 2 +b 2 +2ab Dénotation conservée Non StructuralNon Procédural/ syntaxique Distinction résultat / processus NonOui CA3 CA2

20 Équivalence des Expressions Conceptions sous-jacentes aux règles daction pour transformer une expression ? Caractéristiques – Conservation de la dénotation par application didentités – adaptabilité entre aspects procédural / structural, syntaxique /sémantique – Distinction processus/résultat dun calcul Type de problèmes – Développement, factorisation – Variables didactiques Nature et complexité de l'expression

4 conceptions principales Conception : assemblage – Contrôle : Obtenir un résultat sans signe opératoire Ex : a n + b n = ab n Conception linéarisation – Contrôle : via des expressions 1e degré Ex : x² 2x ; Conception : procéduro-syntaxique – Contrôle : Application dune règle (souvent fausse) sans contrôle de la dénotation Ex : a 2 + b 2 = (a + b) 2, a 2 = 2a Conception : identité

4 conceptions principales ConceptionAssemblageLinéarisationSyntaxiqueIdentité Exemples dopérateurs a n + b n = ab n a 2 = 2aa 2 + b 2 = (a+b) 2 2ab +a 2 + b 2 = (a+b) 2 Dénotation conservée Non Oui Reconnaissance de la structure Non Oui Distinction résultat/processus NonOui Niveau Calcul algébrique CA3 CA2CA1 ContrôleRésultat sans signe opératoire Application de règle sans contrôle de dénotation

23 Équivalence des expressions (2) ConceptionAssemblageLinéarisation Procéduro- Syntaxique Identité Ensemble de problèmes Ex.2,4,9,6,1 6 Opérateurs a n + b n = ab n a 2 = 2aa 2 + b 2 = (a+b) 2 2ab +a 2 + b 2 = (a+b) 2 ReprésentationsSymbolique Contrôle Perceptif Application de règle sans contrôle sémantique Contrôle syntaxique et sémantique, appui sur structure Variables didactiques Somme de puissances Puissances Transformations usuelles Idem+ reformulations

Conceptions Preuve

Conceptions Traduction

Conception Jules NotionsConceptionsDomaine Égalitéannonce de résultat9.2, 20 ExpressionsPseudo structural Équivalence dexpressions1-Assemblage 2-Procéduro-syntaxique 4 Traduction Preuve

Conception Odile NotionsConceptionsDomaine Égalité Expressions Équivalence dexpressions Traduction d Preuve

Conception Caroline NotionsConceptionsDomaine Égalité Expressions Équivalence dexpressions Traduction d Preuve

Perspectives Plusieurs concepts Cest quand il y a un décalage quon va pouvoir jouer