Mécanique des Milieux continus ? INTRODUCTION Comment structurer la Mécanique des Milieux continus ? LA MECANIQUE AFFINE groupe affine groupe de Galilée (Mécanique classique) groupe de Poincaré (Relativité Générale) Comment structurer la Mécanique des Milieux continus ? Parmi les approches connues : Il y a les méthodes de puissances virtuelles et le calcul variationnel. Ca permet de déduire les équations de manière systématiques. Et puis, si on doit traiter des comportements dissipatifs, il y a la thermodynamique des milieux continus. On peut dire que ce sont des « multinationales ». Maintenant, voici une « start-up », la Mécanique affine. On part de la remarque suivante : il y a 2 groupes importants pour la mécanique (et la physique) : Le groupe de Galilée en Mécanique classique, Et le groupe de Lorentz-Poincaré en Relativité générale. Suivant un mathématicien célèbre, Felix Klein, une géométrie, c’est un groupe. On peut lui associer une classe de tenseurs et une famille de connexions, en d’autres termes des symboles de Christoffel. géometrie groupe de transformations classe de tenseurs famille de connexions (symboles de Christoffel)

GENERALISATION DU CONCEPT DE TENSEUR Les tenseurs sont des objets dont les composantes sont modifiées par une représentation linéaire d’un groupe donné de transformations groupe orthogonal groupe affine groupe de transformation classe de tenseur groupe linéaire tenseurs vectoriels tenseurs Euclidiens tenseurs affines Nous allons tout d’abord généraliser le concept de torseur. Voici une définition possible : les tenseurs sont des objets dont les composantes sont modifiées suivant certaines règles traduisant une représentation linéaire d’un groupe donné de transformations. En choisissant le groupe linéaire, on a la classe correspondante des tenseurs usuels, que nous appellerons tenseurs vectoriels. Si on se restreint aux transformations orthogonales, on obtient celle des tenseurs Euclidiens. On peut aussi considérer le groupe affine, une extension du groupe linéaire par adjonction des translations. Lui correspond la classe des tenseurs affines.

point fonction affine vecteur covecteur torseur (forme linéaire) TENSEURS AFFINES point fonction affine TENSEURS VECTORIELS vecteur covecteur (forme linéaire) Les types les plus simples de tenseurs vectoriels sont les vecteurs et les co-vecteurs ou formes linéaires. Leurs composantes sont modifiées suivant des règles bien connues faisant intervenir la matrice de passage P d’un changement de base. De même, les types les plus simples de tenseurs affines sont les points et les fonctions affines (à valeur dans IR). Leurs composantes sont modifiées suivant des règles qui, outre la matrice de passage, font intervenir la translation C correspondant au changement d’origine. Notons que les composantes d’une fonction affine sont les composantes covariantes PHI de la forme linéaire associée et la hauteur ‘khi’ de la fonction ‘psi’ au dessus de l’origine. On peut bien entendu construire des types de tenseurs affines plus complexes. Ceux que nous avons baptisé torseurs par exemple. Ils vont jouer un rôle fondamental en Mécanique. torseur

TORSEUR A VALEUR VECTORIELLE espace vectoriel des fonctions affines espace vectoriel cible convention: base de l’espace vectoriel Pour les définir, considérons un espace affine donné. le point essentiel est de remarquer que les fonctions affines sur cet espace forment un espace vectoriel A*T. Nous auront besoin également d’un espace vectoriel cible R. Pour la commodité, nous adopterons une convention : les indices relatifs au premier espace seront placés à gauche tandis que ceux relatifs à l’espace cible seront placés à droite. Nous définissons les torseurs µ comme des fonctions bilinéaires antisymétriques sur l’espace des fonctions affines, à valeurs vectorielles, dans l’espace cible. Par le choix d’un repère affine, nous pouvons exprimer la valeur de µ en fonction des composantes affines de ses arguments ‘psi’ et ‘psi’ chapeau et la décomposer dans la base ‘eta’ ‘gamma’ de l’espace cible. Nous faisons ainsi apparaître les composantes affines du torseur, les T à 2 indices et les J à 3 indices, antisymétriques en ‘alpha’ et ‘beta’. Elles se transforment suivant les règles tensorielles suivantes. Notons que les nouveaux J dépendent non seulement des anciens J mais aussi des T par l’intermédiaires de termes faisant intervenir la translation C associée au changement d’origine. composantes affines de

les distances et les angles les volumes GROUPE DE GALILEE translation spatiale rotation changement d’horloge Boost galiléen laisse invariant : le M.R.U. les durées les distances et les angles les volumes Et la physique classique ? Elle est donnée par le groupe de Galilée. Il est composé de transformations affines avec une matrice de passage P et une translation C. En ajoutant une dimension supplémentaire, on peut les représenter par une transformation linéaire de cette forme. Les transformations galiléennes sont les transformations affines particulières qui conservent : le Mouvement Rectiligne Uniforme (ou MRU), les durées, les distances et les angles ainsi que les volumes. On montre aisément qu’elles sont de cette forme où ‘tau’ est un changement d’horloge, ‘k’ une translation spatiiale, ‘u’ une vitesse d’entraînement d’un repère par rapport à l’autre, (ou boost galiléen) et une rotation.

LOI DE TRANSPORT DU MOMENT TORSEUR D’UN ARC T = vecteur des efforts normal et tranchants M =vecteur des moments fléchissants et de torsion matrice de produit vectoriel: Appliquons cette démarche générale à un exemple simple, la statique d’un arc. Faisons une coupe en un point. La section droite est soumise à un vecteur des efforts T et à un vecteur des moments M. Construisons le torseur d’un arc sans charges distribuées. Le milieu curviligne étant de dimension 1, il sera à valeur scalaire. On peut ainsi le représenter par une matrice antisymétrique. T est identifié au vecteur des efforts et J à une matrice antisymétrique associé au vecteur axial M par l’application ‘j’ représentant le produit vectoriel. Considérons un changement d’origine représenté par une translation C’ (la matrice de passage P étant l’identité). Quelle est son effet sur les composantes du torseur ? La règle tensorielle de changement des composantes de torseur, écrite ici sous forme matricielle, conduit à deux relations attendues : la conservation des efforts et la règle de transport des moments. translation spatiale: loi de transport : LOI DE TRANSPORT DU MOMENT

temps espace TORSEUR D’UNE PARTICULE MATERIELLE événement quantité de moment cinétique quantité de mouvement quantité de position boost masse Passons à la dynamique d’une particule matérielle. On peut la décrire par une suite d’événements, donc de points de l’espace-temps dont les coordonnés sont la date ‘t’ et les composantes du vecteur-position ‘r’. C’est une trajectoire, donc un milieu continu de dimension 1. Quel est son torseur ? Nous recherchons ses invariants par transformation galiléenne. On fait ainsi apparaître un scalaire ‘m’ que nous identifierons à la masse, et un vecteur-colonne l0 de norme invariante que nous identifierons au spin de la particule. S’il s’agit d’un solide rigide idéalisé par un point, c’est donc son moment cinétique intrinsèque. La particule est alors représentée dans un repère affine en mouvement avec son centre. Pour connaître ces composantes dans un repère quelconque, appliquons un boost galiléen de vitesse d’entraînement ‘v’. Grâce à la règle tensorielle de modification des composantes, on voit apparaître des variables connues : la quantité de mouvement ‘p’ et le moment cinétique (incluant le terme de transport ou moment orbital), mais aussi la quantité de position ‘q’, produit de la masse par le vecteur-position. masse spin

M CHAMP DE TORSEUR variété sous-variété MILIEUX CONTINUS DE DIMENSION ARBITRAIRE variété sous-variété f M Ces deux exemples sont encourageants. Nous voudrions construire une approche générale pour des milieux continus de dimension arbitraire. Nous le représentons par une sous-variété ‘N’ plongée dans une variété ‘M’ qui sera l’espace en statique, l’espace-temps en dynamique. L’idée-clé est que le comportement du milieu continu peut être représenté par un champs de torseur sur N. Au point courant ‘X’ de ‘M’, on voit l’espace tangent comme un espace affine. L’espace vectoriel tangent au point courant ‘xi’ de ‘N’ sera notre espace cible ‘R’. CHAMP DE TORSEUR

affine transformation CONNEXION AFFINE connexion affine affine transformation connexion galiléenne gravité effets de Coriolis Nous devons à présent nous donner un moyen de paralléliser la variété ‘M’, munie de la géométrie du groupe affine. En passant d’un point ‘X’ à un autre infiniment voisin, nous devons donner les mouvements de la base locale, donc une petite matrice de passage ‘dP’, et le mouvement de l’origine, donc une petite translation ‘dC’. Nous définissons ainsi une matrice de connexion ‘omega’, contenant les symboles de Christoffel, une un vecteur de connexion affine ‘omega A’. En se restreignant au groupe de Galilée, nous définissons ainsi une connexion galiléenne. Le calcul montre qu’elle est de cette forme. Les symboles de Christoffel s’interprètent comme la gravité ‘g’ et les effets de Coriolis ‘OMEGA’. Galilean transformation

DIVERGENCE COVARIANTE AFFINE application tangente convention: Divergence covariante affine d’un torseur connexion affine connexion affine connexion affine POINT DE VUE MECANIQUE milieu continu de dimension arbitraire p son comportement est décrit par un champ de torseur Nous pouvons à présent développer des outils d’Analyse tensorielle affine. Grâce aux composantes ‘U’ de l’application tangente au plongement de la sous-variété ‘N’ dans ‘M’, et aux nouveau symboles de la connexion affine, nous pouvons définir la divergence covariante (c’est-à-dire intrinsèque) d’un champs torseur. Nous l’avons dit, d’un point de vue mécanique, il représente le comportement du milieu continu. Sur cette base, nous proposons un principe général qui stipule que la divergence du champ de torseur est nulle. Nous allons montrer qu’il permet d’en déduire les équations d’équilibre en Statique et les équations du mouvement en Dynamique. la divergence covariante affine du champ de torseur est nulle principe général

Déclinons le principe général… Dynamique des points matériels Statique des poutres et arcs Ce principe général peut être décliné en fonction de la l’espace environnant ‘M’, de dimension 3 en Statique, 4 en Dynamique, et du milieu continu considéré. Examinons d’abord la Dynamique des points matériels. Dynamique des milieux 3D Dynamique des coques

principe général temps espace PLUS A PROPOS DES PARTICULES MATERIELLES... temps événement espace Le milieu continu étant la trajectoire, de dimension 1, le torseur est à valeur scalaire. Sa divergence dégénère en une simple dérivée covariante. Il y a deux groupes d’équations que nous allons à présent détailler dans le cadre galiléen. Pour le premier, on obtient la conservation de la masse et la loi de Newton. Le dernier terme traduit les effets de Coriolis. Pour faciliter la compréhension, on a mis en rouge les termes classique en l’absence de ces effets. Dans le second groupe, on obtient le théorème du moment cinétique (ou du moment dynamique) et une équation méconnue mais élégante qui stipule que la dérivée de la quantité de position ‘q’ est la quantité de position ‘p’. principe général conservation de la masse loi de Newton théorème du moment cinétique

Déclinons le principe général… Dynamique des points matériels Statique des poutres et arcs Continuons à décliner le principe général, cette fois-ci pour la Statique des poutres et des arcs.

Pas de forces distribuées (seulement des forces concentrées) PLUS A PROPOS DES ARCS . . . Pas de forces distribuées (seulement des forces concentrées) = vecteur tangent T = vecteur des efforts normal et tranchants U M =vecteur des moments fléchissants et de torsion EQUILIBRE STATIQUE Rappelons que pour la simplicité, nous ne considérons que des arcs sans charges distribuées. Nous avons parlé de l’application tangente ‘U’. Elle prend ici la forme du vecteur unitaire tangent à la courbe. Appliquons de nouveau le principe général. Le premier groupe a trait à la dérivée du vecteur des efforts, le second à celle du vecteur des moments. Dans le cadre galiléen, on obtient, comme attendu, les équations d’équilibre des forces et des moments. principle général équilibre des forces équilibre des moments

Déclinons le principe général… Dynamique des points matériels Statique des poutres et arcs Ces résultats sont encourageants. Continuons à décliner le principe général. Examinons à présent le cas de la Dynamique des milieux 3D Dynamique des milieux 3D

mêmes coordonnées sur et DYNAMIQUE DES CORPS 3D mêmes coordonnées sur et convention: densité contraintes dynamiques quantité de mouvement boost densité contraintes principales Les variété ‘M’ et ‘N’ sont de même dimension. On obtient le formalisme Eulérien en choisissant les même coordonnées ‘X’ sur ‘M’ et ‘xi’ sur ‘N’. Puisqu’il n’y a plus lieu de distinguer les indices relatifs à ‘N’ et ‘M’, nous les placerons tous à droite. Quelle est la signification des composantes ‘Tαγ’ que nous placerons dans une matrice ? Nous recherchons ses invariants par transformation galiléenne. Le scalaire ‘rho’ est identifié à la densité de masse. Les autres invariants sont les contraintes principales ‘sigma i’. Ils sont relatifs à la matière au repos. Pour connaître ces composantes dans un repère quelconque, appliquons un boost galiléen de vitesse d’entraînement ‘u’. Grâce à la règle tensorielle de modification des composantes, on voit apparaître la quantité de mouvement ‘p = rho u’ et les contraintes dynamiques, différence du terme cinétique et des contraintes de Cauchy ‘sigma’.

la divergence affine du champ de torseur est nulle DYNAMIQUE DES CORPS 3D principe général la divergence affine du champ de torseur est nulle Appliquons le principe général. On a affaire ici à une vrai divergence. La divergence des composantes ‘J’ donne lieu à un premier groupe d’équations. Moyennant un hypothèse supplémentaire qui stipule que le milieu n’est pas micro-polaire, nous en déduisons que les composantes ‘T’ sont symétrique, ce qui généralise le principe de réciprocité des contraintes à la Dynamique. Et le second groupe ? Il permet de déduire les équations d’Euler du milieu continu : l’équation de conservation de la masse et celle de la quantité de mouvement, où apparaît de manière naturelle la dérivée particulaire incluant les termes de convection. conservation De la masse de la quantité de mouvement dérivée particulaire Équations d’Euler

Déclinons le principe général… Dynamique des points matériels Statique des poutres et arcs Pour terminer ce bref tour d’horizon de la mécanique des milieux continus, déclinons le principe général Dans le cas de la dynamique des coques. Dynamique des milieux 3D Dynamique des coques

idéalisation d’un corps mince et lisse VARIABLES DE COQUES idéalisation d’un corps mince et lisse corps 3D contraintes dans le plan contraintes de cisaillement transversales quantité de mouvement densité de masse translation intégration sur l’épaisseur w Pour ne pas entrer dans trop de détails, disons que nous nous limiterons au cas usuel d’un corps 3D mince et lisse, idéalisé par sa surface moyenne. Pour la commodité, on travaille dans les coordonnées ‘theta’ adaptées à la surface. Suivant l’analyse précédente, les composantes ‘T’ sont les contraintes dans le plan tangent, celles de cisaillement transversal la quantité de mouvement et la densité de masse. Et les composantes ‘J’ ? Le milieu 3D n’étant pas micro-polaire, elles sont nulles, mais seulement par rapport au point courant à travers l’épaisseur. Par translation au point milieu, la règle tensorielle de modification des composantes conduit aux expression suivantes. Ensuite, on procède classiquement à l’intégration sur l’épaisseur, ce qui donne les variables de coques correspondantes. Le calcul montre que l’on obtient les efforts membranaires ‘N’, avec un terme cinétique additionnel, les efforts tranchants ‘Q’ et la densité surfacique de masse. Pour les composantes ‘J’, on reconnaît les moments fléchissant et de torsion, ainsi qu’un moment cinétique faisant intervenir le taux de variation temporelle ‘w’ de la normale. shell densité surfacique de masse efforts tranchants efforts de membrane efforts cinétiques moments fléchissants et de torsion moment cinétique

la divergence affine du champ de torseur est nulle DYNAMIQUE DES COQUES a = 1ère b = 2ème formes fondamentales principle général la divergence affine du champ de torseur est nulle dans le plan tangent hors du plan temps efforts cinétiques Pour les coques, que donne notre principe de divergence affine nulle du torseur ? Examinons successivement les deux groupes d’équations. On s’attend à retrouver les équations bien connues … mais il y a quelques surprises. Pour le premier groupe, nous obtenons les équations du mouvement dans le plan tangent et transversales. On reconnaît les termes usuels, incluant les forces de gravité, de Coriolis et d’inertie, mais il y a des intrus, les efforts cinétiques. En outre, la coordonnée du temps donne lieu à une équation supplémentaire traduisant la conservation de la masse. Le second groupe d’équations est encore plus surprenant. Elle contiennent des termes additionnels faisant intervenir de nouveaux symboles de Christoffel dus aux effets de Coriolis et à la variation temporelle du projecteur ‘pi’ sur le plan tangent et du vecteur normal ‘n’. Pour les solides, ces termes sont d’ordinaire négligeables car proportionnels aux carrés des vitesses, mais devrait sans doute être considérés dans des situations telles qu’explosions de réservoirs ou crashs. relations de symétrie nouveaux Christoffel

La structure de la mécanique est révélée par l’étude d’un objet unique CONCLUSIONS C. Vallée J.-M. Souriau É. Cartan (1923) La Mécanique affine La structure de la mécanique est révélée par l’étude d’un objet unique le torseur, qui peut se décliner de différentes manières. En guise de conclusion, je voudrais mettre se travail en perspective. Il n’aurait sans doute pas vu le jour sans la collaboration précieuse de Claude Vallée, Professeur à l’Université de Poitiers, et sans cette source d’inspiration essentielle qu’ont été les leçons données, lors des Colloques Internationaux de Théories Variationnelles, par Jean-marie Souriau, Professeur Emérite à l’Université d’Aix-Marseille. Ce travail s’inscrit enfin dans le sillage du mémoire de 1923 d’Elie Cartan, souvent cité mais à mon sens insuffisamment inexploité. La Mécanique affine, dont je viens de brosser un rapide exposé, est une approche basée sur quelques idées simples mais fructueuses, si on se donne la peine de les développer. La structure de la Mécanique y est en effet révélée par l’étude d’un objet unique, le torseur. En le déclinant suivant le choix du groupe, la dimension du milieu continu et de l’espace environnant, on obtient les différentes mécanique, depuis celle des systèmes de points matériels à celle des corps 3D.