Modélisation numérique des assemblages de composites de Saxcé, D. Crépin, M. Pyrz (2003) Modélisation numérique des assemblages de composites (inserts, rivets, collages,…) Problèmes de nature 3D Existence de singularités de contraintes J’en viens au second volet de ce triptyque consacré au matériaux composites. Si la conception des plaques composites stratifiés ou, comme ici, de plaques sandwich, peut être considéré comme globalement maîtrisé (grâce à la théorie classique des laminés), celle des assemblages pose encore pas mal de difficultés. Ses jonctions sont de nature variée, par exemple des inserts, des rivets ou des collage. On est en tout d’abord confronté à des problèmes 3D. De plus, pour des matériaux fragiles, des fissures peuvent s’amorcer là où le champs de contrainte est singulier, c’est-à-dire qu’il tend vers l’infini.

EF Mixtes Singuliers 2 3 1 4 Code Surcontraintes Motivation/Objectif Optimisation Inserts 2 3 1 Pour illustrer la démarche, on s’intéresse ici à un insert fixé à un plaque sandwich. Voici une ruine typique obtenue par arrachement d’un insert. Dans une première étape, on cherche à déterminer l’exposant de la singularité, ce qui donne déjà des informations qualitatives pouvant apporter une aide à la conception. Dans une seconde étape, on effectue un calcul de structure avec des éléments finis hybrides, enrichis par la solution singulière trouvée à la première étape. Les temps de calculs sont suffisamment petits pour envisager, dans une étape ultérieure, l’optimisation de l’insert, en utilisant des algorithmes de type génétiques ou évolutionnaires. 4

Singularité autour d’une ligne Terme singulier (analogie avec les poutres de Lekhtniskii: 1963) Conditions limites Problème aux valeurs propres : Première étape, la singularité. On sait qu’elle peut naître dans un voisinage tubulaire de « lignes singulières », à la jonction entre plusieurs matériaux, élastiques isotropes ou anisotropes. Par des techniques de développements asymptotiques et sous certaines conditions que je ne détaillerais pas, on déterminer le terme singulier. Il est de cette forme. L’intensité du gradient de contrainte est contrôlée par des F.I.C., comme en Mécanique de la rupture. « r » étant la distance à la ligne, l’exposant « alpha » est négatif, mais pas forcément égal à -0.5 comme pour une fissure dans un milieu homogène. On choisi donc une solution de ce type dans chaque matériau (correspondant à une part du gâteau) puis on écrit les C.L. et d’interface. On obtient un problème aux V.P. . On recherche les valeurs de l’exposant « alpha » pour lesquelles le système a des solutions non nulles. Sauf exception, on doit le résoudre numériquement.

Insert structural en alliage d’aluminium placé sous les peaux d ’un «sandwich»  (GPa):Tissu de verre EL=ET=17.61 ET ’=3 GLT=1.905 GTT ’=GLT ’=1.25 LT=0.08 TT ’= LT ’=0.2 (GPa): Mousse polychlorure de vinyle E=70.10-3  =0.4  (GPa):Aluminium E=71  =0.34 complexe réelle Voici un insert en aluminium. Le sandwich est composé de 2 peaux en stratifié à base de fibres de verre et, entre les deux, d’une mousse. Le stratifié supérieur recouvre l’insert. La ligne singulière, en rouge, se trouve à la jonction entre les 3 matériaux. On a représenté la distribution des exposants propres « alpha » le long de la ligne, à gauche sa partie réelle, à droite sa partie imaginaire. Il y a 1 exposant réel et 2 complexes conjugués. La partie imaginaire est la manifestation d’une singularité oscillante. « alpha » a une périodicité de « pi demi », ce qui était attendu. Le fait important à souligner est le caractère assez fort de la singularité, avec une partie réelle d’environ –O.45, proche de la singularité -0.5 d’une fissure.

Le cas d’un insert structural débouchant Considérons à présent le même insert mais débouchant cette fois-ci à travers la peau supérieure. Le calcul montre que les 3 exposants propres sont réels. On a pas représenté le troisième : il est quasi nul. On peut l’assimiler à un déplacement rigide. Avec un exposant d’environ -0.2, la singularité est nettement plus faible que dans le cas précédent. Cette étude donne des indications qualitatives mais utiles à la conception. Si le recouvrement de l’insert est certes plus esthétique, il est aussi plus propice à l’amorce de fissure. Cette solution est donc moins résistante que lorsque l’insert est débouchant.

+ Modèle métis déplacement Nguyen Dang Hung (1980) ELEMENTS FINIS HYBRIDES METIS Modèle métis déplacement Nguyen Dang Hung (1980) UNISOLVENCE Le champ de déplacement à l’interface peut être prolongée de manière unique dans un espace complet de polynômes + POTENTIEL CONVEXE le Lagrangien ne comporte plus que des intégrales de volumes dont l’évaluation numérique est plus précise, énergie la convergence de l’élément métis est monotone et, les maillages étant identiques, plus rapide que celle de l’élément pur correspondant. J’en arrive à la seconde étape, celle du calcul des structures. On a développé des éléments hybrides ou mixtes d’un type particulier que nous appelons « métis ». Ils sont à 2 champs, celui de déplacement au bord, et celui de contrainte à l’intérieur. Contrairement aux éléments hybrides classiques, le champ de déplacement est « unisolvent », c’est-à-dire qu’on peut le prolonger de manière unique à l’intérieur de l’élément, par un polynôme complet. Le potentiel d’énergie complémentaire étant convexe, ces éléments on 2 avantages essentiels : 1. Le Lagrangien ne comporte plus que des intégrales de volume dont l’évaluation numérique est plus précise. 2. La convergence de l’élément métis est monotone décroissante donc plus régulière (alors qu’elle est oscillante pour un hybride quelconque), et, les maillages étant identiques, elle est plus rapide que celle de l’élément déplacement pur correspondant.

Modèle utilisé: éléments métis 3D 1°) Discrétisation de toute la structure par des éléments hybrides 2°) Eléments singuliers près de la ligne On va discrétiser la structure avec ces éléments. Loin des singularités, les éléments sont « réguliers », c’est-à-dire avec un champ de contrainte polynomial. Près de la ligne, ils sont « singuliers », c’est-à-dire enrichi par le terme singulier déterminé à la première étape.

Test: poutre stratifiée en traction Voici un benchmark illustrant les performances de l’élément régulier. Il faut savoir qu’en 2D, il est aisé de générer des champs de contrainte en équilibre interne au moyen de potentiel d’Airy avec un polynôme complet. Ca marche bien. En 3D, il y a 6 potentiels de contrainte, composantes du tenseur de Beltrami. Ces champs sont donc très riches. Pour des raisons de temps de calcul et de convergence, il n’est pas envisageable de travailler avec des polynômes complets. Grâce aux conditions de Brezzi, on va donc sélectionner automatiquement les bons termes. Voici une poutre encastrée et chargée à l’autre extrémité. Quand le rapport entre les hauteurs aux 2 extrémités augmente, les performances d’un élément hybride classique se dégradent dramatiquement pour atteindre, dans cet exemple, une erreur de l’ordre de 45 %. En sélectionnant les bons termes, l’erreur est quasi-nulle en dépit de la distorsion des mailles.

Insert structural sous les peaux d ’un sandwich A ma connaissance, notre outil de calcul est tout à fait original et unique. Il permet d’aborder des problèmes d’assemblage très complexes, tels que celui de cette jonction par insert fixé à plaque sandwich. On construit les éléments singulier à partir de la connaissance des exposants singuliers. Le calcul de structure permet ensuite de déterminer de manière précise la répartition des contraintes singulières le long de la ligne, via les F.I.C. représenté dans ce diagramme. Faute de temps, je me limiterai à cet exemple typique. L’étude des assemblages est à mon sens un domaine suscitant un regain d’intérêt, en raison d’une demande forte de la part des industriels, et du fait que des percées sont aujourd’hui possible grâce à la puissance des machines de calcul, pour autant qu’on veuille bien développer des outils logiciels adaptés, tels que celui-ci.