La fonction RATIONNELLE Mathématiques SN La fonction RATIONNELLE

Mathématiques SN - La fonction RATIONNELLE - Équations et graphique 1 x f(x) = (forme générale de BASE) a + k b (x – h) f(x) = (forme générale TRANSFORMÉE) a + k x – h f(x) = (forme CANONIQUE) Polynôme 1 Polynôme 2 3x – 4 2x + 5 f(x) = (forme P / Q) Exemple : f(x) =

Mathématiques SN - La fonction RATIONNELLE - Équations et graphique 1 x 1 f(x) = (forme générale de BASE) x f(x) Ø 1 1 2 ½ 4 ¼ ½ 2 ¼ 4

Mathématiques SN - La fonction RATIONNELLE - Équations et graphique 1 x 1 f(x) = (forme générale de BASE) x f(x) -1 -1 -2 -½ -4 -¼ Centre (0, 0) -½ -2 -¼ -4 -⅛ -8

Mathématiques SN - La fonction RATIONNELLE - Équations et graphique - 1 x 1 f(x) = (forme générale TRANSFORMÉE où a = -1) x f(x) 1 -1 2 -½ 4 -¼ -1 1 Centre (0, 0) -2 ½ -4 ¼

Mathématiques SN - La fonction RATIONNELLE - Équations et graphique 1 - x 1 f(x) = (forme générale TRANSFORMÉE où b = -1) x f(x) 1 -1 2 -½ 4 -¼ -1 1 Centre (0, 0) -2 ½ -4 ¼

Mathématiques SN - La fonction RATIONNELLE - Équations et graphique - 4 - 2 (x – 1) 1 f(x) = + 3 x f(x) 1 Ø 2 5 Centre (1, 3) 3 4 1 ½ -1 -1 2

Mathématiques SN - La fonction RATIONNELLE - Équations et graphique a + k b (x – h) 1 f(x) = (forme générale TRANSFORMÉE) Asymptotes (h, k) = centre y = k x = h Équations des asymptotes Centre (h, k) y = k Dom f =  \ {h} Ima f =  \ {k} x = h

Mathématiques SN - La fonction RATIONNELLE - Recherche de l’équation Exemple : Trouver l’équation dont les deux asymptotes du graphique ont pour équation x = 3 et y = 5 et dont le point (-1, 2) appartient au graphique.

Exemple : Trouver l’équation dont les deux asymptotes du graphique ont pour équation x = 3 et y = 5 et dont le point (-1, 2) appartient au graphique. a x – h Esquisse du graphique f(x) = + k 1 a - 1 – 3 2 = + 5 a - 4 y = 5 - 3 = Centre (3, 5) P (-1, 2) 12 = a x = 3 12 x – 3 Réponse : f(x) = + 5

Mathématiques SN - La fonction RATIONNELLE - Forme canonique <---> générale <---> P / Q 6 3x – 9 Exemple #1 : Écrire l’équation sous la forme canonique. f(x) = 1 + 2 6 3 (x – 3) f(x) = + 2 2 x – 3 Centre (3, 2) f(x) = + 2

Écrire l’équation sous la forme canonique. 18 - 3x + 9 Exemple #2 : Écrire l’équation sous la forme canonique. f(x) = – 7 18 - 3 (x – 3) f(x) = – 7 - 6 x – 3 f(x) = – 7

Écrire l’équation sous la forme canonique. 4x + 2 2x – 2 Exemple #3 : Écrire l’équation sous la forme canonique. f(x) = RAPPEL… 7 2 1 2 3 reste 1 3 + (ou 3,5) – 6 3 1 4x + 2 2x – 2 6 2x – 2 – 2 reste 6 2 + (4x – 4) 2 6 6 2x – 2 f(x) = + 2 6 2 (x – 1) f(x) = + 2 3 x – 1 f(x) = + 2

Écrire l’équation sous la forme générale. 8x – 5 2x + 1 Exemple #4 : Écrire l’équation sous la forme générale. f(x) = 8x – 5 2x + 1 - 9 2x + 1 4 reste - 9 – (8x + 4) 4 + 4 - 9 - 9 2 (x + ½) f(x) = + 4

Mettre les termes sur le même dénominateur ! 2 3 (x + 1) Exemple #5 : Écrire l’équation sous la forme P / Q. f(x) = – 4 2 3x + 3 Mettre les termes sur le même dénominateur ! f(x) = – 4 2 3x + 3 4 (3x + 3) 3x + 3 f(x) = – 2 3x + 3 12x + 12 3x + 3 f(x) = – 2 – (12x + 12) 3x + 3 f(x) = 2 – 12x – 12 3x + 3 f(x) = - 12x – 10 3x + 3 f(x) =

Mathématiques SN - La fonction RATIONNELLE - Résolutions d’équations Esquisse du graphique 6 2 (x – 1) Exemple #1 : Trouver les zéros de . f(x) = 1 + 2 Centre (1, 2) 6 2 (x – 1) 0 = + 2 Il faut que 2 (x – 1) ≠ 0 Donc que x ≠ 1 6 2 (x – 1) - 2 = - 4 (x – 1) = 6 - 4x + 4 = 6 x = -½ Réponse : x  { -½ }

Trouver l’ordonnée à l’origine de . 4x + 2 2x – 2 Exemple #2 : Trouver les zéros de . f(x) = 4x + 2 2x – 2 0 = Il faut que 2x – 2 ≠ 0 Donc que x ≠ 1 0 = 4x + 2 - 2 = 4x -½ = x Réponse : x  { -½ } 4x + 2 2x – 2 Exemple #3 : Trouver l’ordonnée à l’origine de . f(x) = 4(0) + 2 2(0) – 2 f(0) = 0 + 2 0 – 2 f(0) = f(0) = - 1 Réponse : f(0) = - 1

Mathématiques SN - La fonction RATIONNELLE - Résolutions d’inéquations Esquisse du graphique 2 2x – 6 Exemple #1 : Résoudre . – 3  0 1 2 2 (x – 3) f(x) = – 3 x = 3 Équations des asymptotes y = -3 Centre (3, -3)

Exemple #1 : Résoudre . Réponse : 2 2x – 6 – 3  0  0 Esquisse du graphique 2 2x – 6 – 3  0 Il faut que 2x – 6 ≠ 0 Donc que x ≠ 3 1 2 2x – 6  3 2  3 (2x – 6) 2  6x – 18 20  6x 20 6  x Centre (3, -3) 10 3  x 10 3 Réponse : x  - ∞ , 3 [ U [ , + ∞

Exemple #2 : Résoudre . 3x – 2 x + 1  -2x + 3 3x – 2 x + 1 -5 x + 1 – 3 reste -5 3 + -5 -5 x + 1 f(x) = + 3

Exemple #2 : Résoudre . x = -1 y = 3 3x – 2 x + 1  -2x + 3 -5 x + 1 Esquisse du graphique -5 x + 1 1 + 3 x = -1 Équations des asymptotes y = 3 Centre (-1, 3)

Exemple #2 : Résoudre . Réponse : 3x – 2 x + 1 3x – 2  -2x + 3 x + 1 Esquisse du graphique 3x – 2 x + 1  -2x + 3 Il faut que x + 1 ≠ 0 Donc que x ≠ -1 1 3x – 2  (x + 1) (-2x + 3) 3x – 2  -2x2 + 3x – 2x + 3 0  -2x2 – 2x + 5 Centre (-1, 3) -b  b2 – 4ac 2a x = -(-2)  (-2)2 – 4(-2)(5) 2(-2) x = 2  44 -4 x = x1 ≈ -2,16 et x2 ≈ 1,16 Réponse : x  [ -2,16 , -1 [ U [ 1,16 , + ∞