Fonctions de base et fonctions transformées Rôle des paramètres

Les fonctions sont associées à des situations bien précises; chaque fonction possède donc son propre modèle théorique. Fonction polynomiale de degré 0 Fonction polynomiale de degré 1 f(x) = ax0 f(x) = x1 ou ou f(x) = a f(x) = x

Fonction de variation inverse Fonction polynomiale de degré 2 Fonction de variation inverse Fonction racine carrée f(x) = x a f(x) = x2 f(x) = x

Fonction exponentielle Fonction en escalier Fonction valeur absolue f(x) = cx f(x) = [ x ] f(x) = x Fonction périodique Fonction définie par parties

Toutes ces fonctions sont appelées des fonctions de base. En leur ajoutant des paramètres, on obtient des fonctions transformées. Exemple: f(x) = 1x2 f(x) = x2 c’est-à-dire f(x) = -1x2 et

Le paramètre a

La fonction polynomiale de degré 2 Sa forme de base est : f(x) = x2 En lui ajoutant le paramètre a: f(x) = ax2 Une variation du paramètre a: Si a = 1 Si a = -1 Si a > 1 Si a < -1 Si 0 < a < 1 Si -1 < a < 0

Remarque: Toutes les fonctions de base sont, en fait, des fonctions dont le paramètre a = 1. f(x) = ax2 f(x) = 1x2 f(x) = x2 f(x) = a x f(x) = 1 x f(x) = x f(x) = acx f(x) = 1cx f(x) = cx f(x) = a x f(x) = 1 x f(x) = x f(x) = a sinx f(x) = 1 sinx f(x) = sinx

La fonction valeur absolue La forme générale est : f(x) = |x| En lui ajoutant le paramètre a: f(x) = a |x| Une variation du paramètre a Si a = 1 Si a = -1 Si a > 1 Si a < -1 Si 0 < a < 1 Si -1 < a < 0

La fonction exponentielle La forme générale est : f(x) = cX Exemple: f(x) = 2X En lui ajoutant le paramètre a: Une variation du paramètre a Si a = 1 Si a = -1 Si a > 1 Si a < -1 Si 0 < a < 1 Si -1 < a < 0

La fonction racine carrée La forme générale est : f(x) = x En lui ajoutant le paramètre a: f(x) = a x Une variation du paramètre a Si a = 1 Si a = -1 Si a > 1 Si a < -1 Si 0 < a < 1 Si -1 < a < 0

La fonction périodique C’est une fonction qui se répète selon une certaine période. Une des plus connues est la fonction sinusoïdale. Sa forme générale est : f(x) = sin(x) En lui ajoutant le paramètre a: f(x) = a sin(x) Si a = 1 Si a = -1 Si a > 1 Si a < -1 Si 0 < a < 1 Si -1 < a < 0

Le paramètre a Généralement, ce paramètre a un effet d’étirement ou de contraction verticale. De plus, a < 0, provoque une réflexion par rapport à l’axe des abscisses ( l’axe des x ). R é f l e x i o n V e r t i ca l

Le paramètre b

La fonction périodique Exemple: f(x) = sinx En lui ajoutant le paramètre b: f(x) = sin ( b*x ) Une variation du paramètre b Si b = 1 Si b > 1 Si 0 < b < 1

Comment faire la différence entre le paramètre a et b. Avec certaines fonctions, la différence entre le paramètre a et b est difficile à voir. Regardons le graphique de la fonction racine carrée : f(x) = x En lui ajoutant le paramètre a et b : f(x) = a bx Si a = 4 f(x) = 4 x Si b = 9 f(x) = 9x Il n’est pas facile de voir la différence entre le paramètre a et b. Pourquoi ne voit-on pas la différence ici ??????

La fonction racine carrée La forme générale est : f(x) = x En lui ajoutant le paramètre b: f(x) = bx Une variation du paramètre b Si b > 0 Exemple : Si b = 9 On a f(x) = 9x Si on extrait la racine carrée de 9 On a f(x) = 3 x x 9x 9 = • car Donc, si le paramètre b > 0, la fonction ressemblera beaucoup plus à une variation du paramètre a. f(x) = a x

La fonction racine carrée La forme générale est : f(x) = x En lui ajoutant le paramètre b: f(x) = bx Une variation du paramètre b Si b < 0 On a : f(x) = -bx On sait que la racine carrée d’un nombre négatif n’existe pas dans R. Ainsi, la valeur de x n’a pas le choix d’être négative. Si b = -1 Si -1 < b < 0 Si b < -1

Le paramètre b Généralement, ce paramètre a un effet d’étirement ou de contraction horizontale. Avec certaines fonctions, la différence entre le paramètre a et b est difficile à voir. De plus, b < 0, provoque une réflexion par rapport à l’axe des ordonnées ( l’axe des y ). Horizontale Réflexion